高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3_4 反證法自我小測(cè) 北師大版選修1-21

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高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.4 反證法自我小測(cè) 北師大版選修1-2 1．x≠2或y≠3是x＋y≠5的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 2．對(duì)命題“如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列”是否成立判斷正確的選項(xiàng)是(　　)． A．不成立 B．成立 C．不能斷定 D．能斷定 3．命題“三角形中至多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是(　　)． A．有兩個(gè)內(nèi)角是直角 B．有三個(gè)內(nèi)角是直角 C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D．沒有一個(gè)內(nèi)角是直角 4．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是(　　)． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．寫出下列命題結(jié)論的否定： (1)若x≥5，則x＜4. (2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a＋bi(a、b∈R)是唯一的． (3)若x、y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)． 6．已知|a|＜1，|b|＜1，求證：. 7．設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都有f(x)≠0，且f(x＋y)＝f(x)f(y)成立．求證：對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(x)＞0. 8．如果一個(gè)整數(shù)n的平方是偶數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)n本身也是偶數(shù)，試證之． 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求{an}的通項(xiàng)公式． (2)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)，它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．  參考答案 千里之行始于足下 1．B 2．B　∵a1＝S1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 由于a1也適合上式，∴an＝4n－5(n∈N*)． 3．C　“最多只有一個(gè)”即“只有一個(gè)或沒有”，它的反面應(yīng)是“最少有兩個(gè)”． 4．C　若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說的話都是錯(cuò)的；同理，可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙． 5．解：(1)若x≥5，則x≥4. (2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a＋bi(a，b∈R)不是唯一的． (3)若x、y都是奇數(shù)，則x＋y不是偶數(shù)． 6．證明：假設(shè)，那么|a＋b|≥|1＋ab|.則(a＋b)2≥(1＋ab)2?|a|≤1且|b|≥1或|a|≥1且|b|≤1，均與已知矛盾，故. 7．證明：假設(shè)對(duì)滿足題設(shè)條件的任意x，f(x)＞0不成立，即存在某個(gè)x0，有f(x0)≤0， ∵f(x)≠0， ∴f(x0)＜0. 又知. 這與假設(shè)f(x0)＜0矛盾，假設(shè)不成立． 故對(duì)任意的x都有f(x)＞0. 8．證明：假設(shè)整數(shù)n不是偶數(shù)，那么n可寫成n＝2k＋1(k∈Z)， 則n2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1. ∵k∈Z，∴2k2＋2k∈Z， 則2(2k2＋2k)為偶數(shù)． 2(2k2＋2k)＋1是奇數(shù)，這與已知“n2是偶數(shù)”矛盾， ∴原命題為真． 百尺竿頭更進(jìn)一步 解：(1)a1＝S1＝2a1－3，則a1＝3. 由?an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3?an＋1＋3＝2(an＋3)， ∴{an＋3}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋3＝6，公比為2. ∴an＋3＝62n－1，即an＝32n－3. (2)假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at(r＜s＜t)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，且ar＜as＜at. ∴只能是ar＋at＝2as，即3(2r－1)＋3(2t－1)＝6(2s－1)． ∴2r＋2t＝2s＋1.∴1＋2t－r＝2s＋1－r.(*) ∵r＜s＜t，r，s，t均為正整數(shù)，∴(*)式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不可能成立． ∴數(shù)列{an}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)．