高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 第2節(jié) 數(shù)學(xué)證明學(xué)案 北師大版選修1-21

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2　數(shù)學(xué)證明 1．理解演繹推理的概念． 2．掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理． 3．了解合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別． 1．合情推理的結(jié)論有時(shí)是不正確的，對(duì)于數(shù)學(xué)命題，需要通過__________嚴(yán)格證明． 2．________是最常見的一種演繹推理形式． 第一段講的是一般性道理，稱為________；第二段講的是研究對(duì)象的特殊情況，稱為________；第三段是由大前提和小前提作出的判斷，稱為______． 先表述大前提、小前提，由此給出結(jié)論，即為________推理的形式． 大前提、小前提都正確，得到的結(jié)論才正確，二者中有一個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)論不正確． 在應(yīng)用三段論證明的過程中，因?yàn)樽鳛橐话阈缘览淼拇笄疤岫际熘?，所以書寫時(shí)往往省略這類大前提． 【做一做1－1】 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)都是增函數(shù)，函數(shù)y＝x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)． 上述推理錯(cuò)誤的原因是(　　)． A．大前提不正確 B．小前提不正確 C．推理形式不正確 D．大、小前提都不正確 【做一做1－2】 三段論：“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②所以這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的小前提是__________． 3．在數(shù)學(xué)中，證明一個(gè)命題，就是根據(jù)命題的條件和已知的定義、公理、定理，利用________的法則將命題推導(dǎo)出來． 4．__________是認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)；________是證明命題、建立理論體系的基礎(chǔ)． 答案：1．演繹推理 2．三段論　大前提　小前提　結(jié)論　三段論 【做一做1－1】 A　對(duì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)來說，當(dāng)a＞1時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)是減函數(shù)，所以大前提不正確． 【做一做1－2】 ③ 3．演繹推理 4．合情推理　演繹推理 1．三段論推理的依據(jù) 剖析：三段論的論斷基礎(chǔ)是這樣一個(gè)公理：“凡肯定(或否定)了某一類對(duì)象的全部，也就肯定(或否定)了這一類對(duì)象的各部分或個(gè)體．”簡(jiǎn)言之：“全體概括個(gè)體．” 要得到一個(gè)正確的結(jié)論，大前提和小前提都必須正確，二者中一個(gè)有錯(cuò)誤，結(jié)論就不正確，如所有的動(dòng)物都用肺呼吸，魚是動(dòng)物，所以魚用肺呼吸，此推理顯然錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是大前提錯(cuò)了．再如所有的能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，合數(shù)是偶數(shù)，所以合數(shù)能被2整除．錯(cuò)誤的原因是小前提錯(cuò)了． 2．合情推理與演繹推理的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系 剖析：(1)合情推理是根據(jù)特殊的事物、事例，憑個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)一般性結(jié)論的推理過程，歸納推理與類比推理是合情推理的兩種方法，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎(chǔ)． (2)演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯推理得到新結(jié)論的推理過程，演繹推理有利于提高嚴(yán)密的邏輯思維能力． (3)從推理形式上看，歸納推理是由部分到整體、特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理，而演繹推理則是由一般到特殊的推理． (4)從推理所得的結(jié)論來看，合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待于進(jìn)一步證明；而演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． (5)合情推理與演繹推理是相輔相成的．合情推理是認(rèn)識(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問題、數(shù)學(xué)結(jié)論和證明問題的方法與思路的重要途徑，演繹推理是證明數(shù)學(xué)命題、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，它們各有利弊，各有千秋，是兩種重要的推理形式，我們不僅要學(xué)會(huì)證明、解答問題，更重要的是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、探索問題，所以兩種推理都要學(xué)會(huì)、掌握． 題型一 利用三段論證明問題 【例題1】 梯形的兩腰和一底如果相等，則它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角． 已知：在如圖所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝AB，AC和BD是它的對(duì)角線． 求證：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA. 分析：本題可由三段論逐步推理論證． 反思：命題的推理證明為多個(gè)三段論，稱為復(fù)合三段論．事實(shí)上，每一次三段論的大前提可不寫出，某一次三段論的小前提如果是它前面某次三段論的結(jié)論，也可不再寫出，即過程可簡(jiǎn)寫． 題型二 用三段論的簡(jiǎn)寫形式證明 【例題2】 如圖所示，A，B，C，D四點(diǎn)不共面，M，N分別是△ABD和△BCD的重心． 求證：MN∥平面ACD. 分析：證明線面平行，關(guān)鍵是在面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，本題是三段論證明的應(yīng)用． 反思：本題為一個(gè)三段論推理的問題，可以簡(jiǎn)寫，遵循的原則是：如果a?b，b?c，則a?c. 題型三 通過計(jì)算推理證明 【例題3】 已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，bn＝an(n∈N＋)． (1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且f′(x)存在，則當(dāng)x1＞x2(x1，x2∈D)時(shí)，總有＜f′(x1)． 已知函數(shù)y＝xn＋1(n∈N＋)是(0，＋∞)上的凹函數(shù)，請(qǐng)根據(jù)上述定理證明bn＜bn＋1. 分析：本題綜合了數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、不等式等問題，在定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行論證推理，需要通過計(jì)算f′(x)及不等式轉(zhuǎn)化完成． 反思：本題是用省略大前提的三段論及有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行推理證明的． 答案：【例題1】 證明：(1)等腰三角形兩底角相等，(大前提) △DAC是等腰三角形，DA，DC為兩腰，(小前提) ∴∠1＝∠2.(結(jié)論) (2)兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行線AD，BC被AC截出的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提) ∴∠1＝∠3.(結(jié)論) (3)等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，(大前提) ∠2和∠3都等于∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，(結(jié)論) 即AC平分∠BCD. (4)同理BD平分∠CBA. 【例題2】 證明：連接BM，BN并延長(zhǎng)分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連接PQ. ∵M(jìn)，N分別是△ABD和△BCD的重心， ∴P，Q分別為AD，DC的中點(diǎn)． 又∵， ∴MN∥PQ. 又∵M(jìn)N平面ADC，PQ平面ADC， ∴MN∥平面ACD. 【例題3】 證明：(1)∵Sn＝， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝. ∵a1＞0，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－. ∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0. ∵an＞0，∴an＝an－1＋1. ∴{an}為等差數(shù)列，an＝n. (2)由(1)知bn＝n. 由函數(shù)y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn. ∵y＝xn＋1在(0，＋∞)上是凹函數(shù)， ∴當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)，有＜(n＋1)x， 即x[(n＋1)x2－nx1]＜x.令x1＝1＋，x2＝1＋，得(n＋1)x2－nx1＝1. ∴x＜x，即n＜n＋1. ∴bn＜bn＋1. 1下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　)． A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180 B．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì) C．某校高三共有10個(gè)班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人 D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 答案：A　演繹推理的一般形式是三段論．選項(xiàng)A符合三段論形式，選項(xiàng)B，C，D都是猜測(cè)，不符合三段論，故選A. 2由“①正方形的對(duì)邊相等；②平行四邊形的對(duì)邊相等；③正方形是平行四邊形．”根據(jù)三段論推理得出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是(　　)． A．① B．② C．③ D．其他 答案：A 3推理：“①矩形是平行四邊形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四邊形．”中的小前提是(　　)． A．① B．② C．③ D．①和② 答案：B 4“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等．”此推理的大前提為(　　)． A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形 B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形 C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形 D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形 答案：B 5如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA.求證：ED＝AF. 答案：分析：要證ED＝AF，根據(jù)DE∥BA，可通過證明四邊形AEDF為平行四邊形來證明． 證明：(1)同位角相等，兩條直線平行，(大前提) ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) ∴DF∥EA.(結(jié)論) (2)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提) DE∥BA，且DF∥EA，(小前提) ∴四邊形AEDF為平行四邊形．(結(jié)論) (3)平行四邊形的對(duì)邊相等，(大前提) ED和AF為平行四邊形的對(duì)邊，(小前提) ∴ED＝AF.(結(jié)論)