高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 學業(yè)分層測評（7）映射 北師大版必修

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 學業(yè)分層測評（7）映射 北師大版必修1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．給出如圖228所示的對應： 圖228 其中構(gòu)成從A到B的映射的個數(shù)為(　　) A．3　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 【解析】　由映射的定義可知，構(gòu)成從A到B的映射有①②③. 【答案】　A 2．(2016西安高一檢測)設集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，則圖229中，能表示P到Q的映射的是(　　) 圖229 A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4) C．(1)(4) D．(3) 【解析】　如圖(1)，對于P中的每個元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在圖(2)中，當P中元素x取(0,1]的值時，在Q中對應的元素不唯一，所以(2)不是映射；在圖(3)中，當P的元素取(1,2]的值時，Q中沒有元素與它對應，所以(3)不是P到Q的映射；與(1)相同，(4)也是P到Q的映射． 【答案】　C 3．下列對應法則中，能建立從集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是(　　) A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2 C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1 【解析】　因為12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24. 故從集合A到集合B的映射的對應關(guān)系為f：x→x2－1. 【答案】　D 4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是從A到B的映射，若1和8的原像分別是3和10，則5在f下的像是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】　由題意解得 ∴f：x→y＝x－2， ∴5在f下的像是5－2＝3. 【答案】　A 5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是(　　) A．4　 B．5 C．6　　　　 D．7 【解析】　對應關(guān)系是f：a→|a|.因此，3和－3對應的像是3；－2和2對應的像是2；1和－1對應的像是1；4對應的像是4.所以B＝{1,2,3,4}．故選A. 【答案】　A 二、填空題 6．設M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若對于N中元素p，在M中恰有一個原像，則p的值為________． 【解析】　由題意知，關(guān)于x的方程－x2＋2x＝p有兩相等實根，∴Δ＝4－4p＝0，p＝1. 【答案】　1 7．下列對應f是從集合A到集合B的函數(shù)的是________． ①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ②A＝Z，B＝{－1,1}，n為奇數(shù)時，f(n)＝－1；n為偶數(shù)時，f(n)＝1； ③A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，對應關(guān)系f；每個男生對應自己的身高． 【解析】　對于①，集合A中的元素沒有剩余，即A中的任何一個元素在B中都有唯一確定的像，同時集合A和B都是數(shù)集，可知對應f是集合A到集合B的函數(shù)． 同理，對于②，對應f也是集合A到集合B的函數(shù)． 對于③，集合A，B不是數(shù)集，不是函數(shù)關(guān)系． 【答案】?、佗? 8．已知集合A＝B＝R，映射f：x→x2＋2x－4，若a在B中且在A中沒有原像，則a的取值范圍是________． 【解析】　∵x2＋2x－4＝(x＋1)2－5≥－5. ∵a在B中且在A中沒有原像， 則a<－5. 【答案】　(－∞，－5) 三、解答題 9．設集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，從集合P到集合Q的映射為f：(x，y)→(x＋y，xy)，求 (1)集合Q中與集合P中元素(3,2)對應的元素； (2)集合P中與集合Q中元素(3,2)對應的元素． 【解】　(1)由3＋2＝5,32＝6， 故與集合P中元素對應的元素為(5,6)． (2)由解得或 故與集合Q中元素(3,2)對應的元素為(1,2)或(2,1)． 10．下列對應是否是從A到B的映射，能否構(gòu)成函數(shù)？ (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝； (2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}， f：a→b＝(a－1)2. (3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x； (4)A＝{x|x是平面M內(nèi)的矩形}，B＝{x|x是平面M內(nèi)的圓}，f：作矩形的外接圓． 【解】　(1)當x＝－1時，y的值不存在； ∴不是映射，更不是函數(shù)． (2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分別對應到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函數(shù)． (3)∵當A中的元素不為零時，B中有兩個元素與之對應，∴不是映射，更不是函數(shù)． (4)是映射，但不是函數(shù)，因為A、B不是數(shù)集． [能力提升] 1．設集合A與集合B都是自然數(shù)集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中為元素n2＋n，則在映射f下，像20的原像是(　　) A．2 B．3 C．4 D．4或－5 【解析】　令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0， 解得n＝－5或4. ∵n∈N，∴n＝4. 【答案】　C 2．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，從A到B的映射f：A→B滿足f(a)＋f(b)＝0，那么這樣的映射f：A→B的個數(shù)有(　　) A．2個 B．3個 C．5個 D．8個 【解析】　由f(a)，f(b)∈{－1,0,1}，且f(a)＋f(b)＝0知，這樣的映射有： 共3個． 【答案】　B 3．給定映射f(x，y)→(，x＋y)，在對應關(guān)系f下像(2,3)的原像是(a，b)，則函數(shù)y＝ax2＋bx的頂點坐標是________． 【解析】　由題意a＝4，b＝－1，則y＝4x2－x的頂點坐標為. 【答案】　 4．設集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一個映射，并滿足f：(x，y)→(－xy，x－y)． (1)求B中元素(3，－4)在A中的原像； (2)試探索B中哪些元素在A中存在原像； (3) 求B中元素(a，b)在A中有且只有一個原像時，a，b所滿足的關(guān)系式. 【導學號：04100023】 【解】　(1)設(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或 所以(3，－4)在A中的原像有兩個，即(－1,3)和(－3,1)． (2)設任意(a，b)∈B，則它在A中的原像(x，y)應滿足，　 由②式得y＝x－b，將它代入①式，并化簡得x2－bx＋a＝0.③ 當且僅當Δ＝b2－4a≥0時，方程③有實數(shù)根，因此只有當B中元素(a，b)滿足b2－4a≥0時，在A中才有原像． (3)由以上(2)的解題過程可知，當B中元素(a，b)滿足b2＝4a時，它在A中有且只有一個原像．