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章末綜合測評(二) 參數(shù)方程
(時(shí)間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．下列點(diǎn)不在直線(t為參數(shù))上的是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3,2)
【解析】 直線l的普通方程為x＋y－1＝0，
因此點(diǎn)(－3,2)的坐標(biāo)不適合方程x＋y－1＝0.
【答案】 D
2．圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圓上一點(diǎn)，則對應(yīng)的參數(shù)θ的值是( )
A. B.π C.π D.π
【解析】 ∵點(diǎn)Q(－2,2)在圓上，
∴且0≤θ<2π，∴θ＝π.
【答案】 B
3．直線(t為參數(shù))的斜率為( )
A．2 B．－2
C. D．－
【解析】 直線的普通方程為2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
【答案】 B
4．已知O為原點(diǎn)，當(dāng)θ＝－時(shí)，參數(shù)方程
(θ為參數(shù))上的點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角為( )
A. B. C. D.
【解析】 當(dāng)θ＝－時(shí)，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝.
【答案】 C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，當(dāng)θ為一切實(shí)數(shù)時(shí)，線段AB的中點(diǎn)軌跡為( )
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
【解析】 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x，y)，
則(θ為參數(shù))，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示橢圓．
【答案】 C
6．橢圓(θ為參數(shù))的離心率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，∴e＝.故選A.
【答案】 A
7．(2016汕頭月考)已知圓M：x2＋y2－2x－4y＝10，則圓心M到直線(t為參數(shù))的距離為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由題意易知圓的圓心M(1,2)，由直線的參數(shù)方程化為一般方程為3x－4y－5＝0，所以圓心到直線的距離為d＝＝2.
【答案】 B
8．若直線(t為參數(shù))與圓
(φ為參數(shù))相切，那么直線的傾斜角為( )
A.或 B.或
C.或 D．－或－
【解析】 直線的普通方程為y＝tan αx，圓的普通方程為(x－4)2＋y2＝4，由于直線與圓相切，則＝2.
∴tan α＝，∴α＝或.故選A.
【答案】 A
9．若直線y＝x－b與曲線θ∈[0,2π)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號：91060032】
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
【解析】 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
將y＝x－b代入(*)，化簡得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依題意，Δ＝[－(4＋2b)]2－42(b2＋3)>0，
解得2－
0.
由此知在l上兩點(diǎn)P1，P2都在A(0,2)的下方，則|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】 C
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．雙曲線(φ是參數(shù))的漸近線方程為________．
【解析】 化參數(shù)方程為普通方程，得y2－x2＝1.故其漸近線為y＝x，即xy＝0.
【答案】 xy＝0
14．(2016東莞模擬)在極坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)(1,0)且與直線θ＝(ρ∈R)垂直，則直線極坐標(biāo)方程為________．
【解析】 由題意可知在直角坐標(biāo)系中，直線θ＝的斜率是，所求直線是過點(diǎn)(1,0)，且斜率是－，所以直線方程為y＝－(x－1)，化為極坐標(biāo)方程ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化簡得2ρsin＝1.
【答案】 2ρsin＝1或2ρcos＝1或ρcos θ＋ρsin θ＝1
15．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線θ＝與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．
【解析】 曲線可化為y＝(x－2)2，射線θ＝可化為y＝x(x≥0)，聯(lián)立這兩個(gè)方程得：x2－5x＋4＝0，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)就是此方程的根，線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.
【答案】
16．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________．
【解析】 由已知可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直線的普通方程為x＋y＝m.又圓的普通方程為x2＋y2＝b2，不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)(c,0)，則得c＝m.又因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故橢圓C的離心率為e＝.
【答案】
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)已知圓O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)．
(1)求圓心和半徑；
(2)若圓O上點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)θ＝，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解】 (1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圓心O(0,0)，半徑r＝2.
(2)當(dāng)θ＝時(shí)，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－)．
18．(本小題滿分12分)已知曲線C：(φ為參數(shù))．
(1)將C的方程化為普通方程；
(2)若點(diǎn)P(x，y)是曲線C上的動點(diǎn)，求2x＋y的取值范圍．
【解】 (1)由曲線C：得
＋＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝sin(φ＋θ)，
，
∴2x＋y∈[－，]，
∴2x＋y的取值范圍是[－，]．
19．(本小題滿分12分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
【解】 (1)由曲線C：得x2＋y2＝16，
∴曲線C的普通方程為x2＋y2＝16.
(2)將代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小題滿分12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn)．
(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；
(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．
【解】 (1)依題意有P(2cos α，2sin α)，
Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0＜α＜2π)．
(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離
d＝＝(0＜α＜2π)．
當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．
21．(本小題滿分12分)(2016昆明調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點(diǎn)P(4,2)且傾斜角為α的直線；在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)若曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|PM|＋|PN|的取值范圍．
【解】 (1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入C：x2＋y2＝4x，得
t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，
則有
∴sin αcos α>0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1<0，t2<0.
而|PM|＋|PN|
＝＋
＝|t1|＋|t2|
＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.
∵α∈，∴α＋∈，
∴
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