高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何章末檢測(cè)（A）北師大版選修2-1

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第二章　空間向量與立體幾何(A) (時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分) 1．以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線(xiàn)的充要條件；②若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb；③若ab＝0，bc＝0，則a＝c；④若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則a＋b，b＋c，c＋a構(gòu)成空間的另一個(gè)基底； ⑤|(ab)c|＝|a||b||c|. A．2 B．3 C．4 D．5 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，則(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 4．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a為(　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，則sin〈，〉等于(　　) A．－ B. C. D．－ 6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成角的大小為(　　) A．60 B．90 C．105 D．75 7．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，則(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確 8．若兩點(diǎn)A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于(　　) A．19 B．－ C. D. 9. 如圖所示，在四面體P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值為(　　) A. B. C. D. 10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值等于(　　) A. B. C. D. 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答　案 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，則|a－2b|＝______. 12．若三點(diǎn)A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是________________． 13．如圖所示， 已知正四面體ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，則直線(xiàn)DE和BF所成角的余弦值為_(kāi)_______． 14．平面α的法向量為(1,0，－1)，平面β的法向量為(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為_(kāi)_______． 15. 如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 三、解答題(本大題共6小題，共75分) 16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求證：AB1＝CA1. 17．(12分)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)分別是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1， －3)，D(3，－5,3)． 求證：四邊形ABCD是一個(gè)梯形． 18.(12分) 如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為A1D1和CC1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ACD1； (2)求異面直線(xiàn)EF與AB所成角的余弦值． 19．(12分) 如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. 求證：C1C⊥BD. 20.(13分) 如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，求OA與BC所成角的余弦值． 21．(14分) 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求異面直線(xiàn)EF與A1D所成角的余弦值； (2)證明AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1—ED—F的正弦值． 第二章　空間向量與立體幾何(A) 1．C　[只有命題④正確．] 2．D 　[如圖，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.] 3．D　[∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使，∴.] 4．C　[設(shè)a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)， ＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥， ∴∴或 ∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．] 5．C　[∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴sin〈，〉＝.] 6．B　[ 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB1＝1，則A(0,0,1)，B1， C1(0，，0)， B. ∴＝， ＝，∴＝－－1＝0，即AB1與C1B所成角的大小為90.] 7．A　[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.] 8．C　[＝(1－x,2x－3，－3x＋3)， 則||＝ ＝＝. 故當(dāng)x＝時(shí)，||取最小值．] 9．C　[如圖所示， 作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，設(shè)AB＝1，則易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝， 可以求得BD＝，ED＝. ∵＝＋＋， ∴2＝2＋2＋2＋2＋2＋2. ∴＝－，∴cos〈，〉＝－， 即二面角B—AP—C的余弦值為.] 10．B 　[以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，易知＝(1,1,1)，＝， 故cos〈，〉＝， 從而sin〈，〉＝.] 11. 解析　∵a－2b＝(8，－5,13)， ∴|a－2b|＝＝. 12．不等邊的銳角三角形 解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3，1)，>0，得∠A為銳角；>0，得∠C為銳角；>0，得∠B為銳角，所以△ABC是銳角三角形且||＝， ||＝，||＝. 13. 解析　因四面體ABCD是正四面體，頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為4， 則＝(＋)(＋)＝0＋＋＋0＝41cos 120＋14cos 120＝－4， BF＝DE＝＝， 所以異面直線(xiàn)DE與BF的夾角θ的余弦值為： cos θ＝＝. 14.或 解析　設(shè)n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)， 則cos〈n1，n2〉＝＝－， ∴〈n1，n2〉＝.因平面α與平面β所成的角與〈n1，n2〉相等或互補(bǔ)，所以α與β所成的角為或. 15. 解析　因?yàn)椋剑? 所以2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以||＝， 即AD的長(zhǎng)為. 16．證明　以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)， 則B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)， ＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)， 由已知＝ca－a2－b2＋d2＝0， ＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2. 再由兩點(diǎn)間距離公式可得： |AB1|2＝a2＋b2＋d2， |CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2， ∴AB1＝CA1. 17．證明　因?yàn)椋?1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因?yàn)椋剑剑? 所以和共線(xiàn)，即AB∥CD. 又因?yàn)椋?3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， 因?yàn)椤佟伲耘c不平行， 所以四邊形ABCD為梯形． 18．(1)證明　 如圖所示，分別以DA、DC、DD1所在的直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得D(0,0,0)， A(2,0,0)，B(2,2,0)， C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)， F(0,2,1)． 易知平面ACD1的一個(gè)法向量是＝(2,2,2)． 又∵＝(－1,2，－1)，由＝－2＋4－2＝0，∴⊥. 又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. (2)解　∵＝(0,2,0)， cos〈，〉＝＝＝. 19．證明　設(shè)＝a，＝b，＝c， 依題意，|a|＝|b|， 又設(shè)，，中兩兩所成夾角為θ， 于是＝－＝a－b， ＝c(a－b)＝ca－cb ＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0， 所以C1C⊥BD. 20．解　因?yàn)椋剑? 所以＝－ ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝84cos 135－86cos 120＝－16＋24. 所以cos〈，〉＝＝＝. 即OA與BC所成角的余弦值為. 21．(1)解　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)AB＝1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E. 易得＝，＝(0,2，－4)， 于是cos〈，〉 ＝＝－. 所以異面直線(xiàn)EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明　易知＝(1,2,1)， ＝，＝， 于是＝0，＝0. 因此，AF⊥EA1，AF⊥ED. 又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED. (3)設(shè)平面EFD的法向量u＝(x，y，z)， 則即 不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)， 由(2)可知，為平面A1ED的一個(gè)法向量， 于是cos〈u，〉＝＝， 從而sin〈u，〉＝. 所以二面角A1—ED—F的正弦值為. - 10 -