2021-2022學(xué)年四川省綿陽市高一下學(xué)期開學(xué)考試（2月） 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、2021-2022學(xué)年四川省綿陽市高一下學(xué)期開學(xué)考試（2月） 數(shù)學(xué)試題 一、單選題 1．設(shè)集合，，則（???????） A．{2，3} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4} A 【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算直接可得答案. 【詳解】集合，， 則, 故選：A. 2．已知弧長(zhǎng)為的扇形圓心角為，則此扇形的面積為（???????） A． B． C． D． C 【分析】由扇形弧長(zhǎng)公式可得半徑，再應(yīng)用扇形面積公式求面積即可. 【詳解】若扇形的半徑為，則，故， 所以扇形的面積為. 故選：C 3．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則∠BAC=

2、A． B． C． D． C 【詳解】試題分析：由余弦定理有.所以. 余弦定理. 4．函數(shù)的定義域?yàn)椋???????） A． B． C． D． C 根據(jù)正切型三角函數(shù)定義域的求法，求得的定義域. 【詳解】由，解得，所以的定義域?yàn)? 故選：C 本小題主要考查正切型三角函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題. 5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（???????） A． B． C． D． C 判斷函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到答案. 【詳解】，函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算得到； 故函數(shù)在有唯一零點(diǎn) 故選： 本題考查了零點(diǎn)存在定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力. 6．若＝(3，5)，＝(－1，2)，

3、則等于（???????） A．(4，3) B．(－4，－3) C．(－4，3) D．(4，－3) A 【分析】由計(jì)算即可得出結(jié)果. 【詳解】 故選：A 7．函數(shù)與函數(shù)且的圖象大致是（???????） A． B． C． D． B 【分析】分0＜a＜1和a＞1兩種情況，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)即可進(jìn)行判斷﹒ 【詳解】函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且過定點(diǎn)(0，1＋a)， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜1＋a＜2，即f(x)與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)介于1和2之間，此時(shí)過定點(diǎn)(1，0)且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，沒有符合的選項(xiàng)； 當(dāng)a＞1時(shí)，1＋a＞2，即f(x)與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，此時(shí)g(x

4、)過定點(diǎn)(1，0)且在(0，＋∞)單調(diào)遞增，符合的選項(xiàng)為B. 故選：B. 8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)（???????） A． B． C． D． A 【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用圖象變換即得. 【詳解】∵， ∴． 故選：A． 9．已知，則（???????） A． B． C． D． D 【分析】利用誘導(dǎo)公式變形，再借助二倍角的余弦公式計(jì)算作答. 【詳解】依題意，， 所以. 故選：D 10．若是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，則，，的大小關(guān)系是（???????） A． B． C． D． A 【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得在上單

5、調(diào)遞減，根據(jù)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出的范圍，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可比較函數(shù)大小. 【詳解】因?yàn)榍?，有? 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 由為偶函數(shù)，得函數(shù)在上單調(diào)遞減， 因?yàn)椋? 所以， 即. 故選：A 11．若A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且，是方程的兩個(gè)實(shí)根，那么△ABC是（???????） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能 A 【分析】由韋達(dá)定理求得和，再由兩角和的正切公式求得，然后由誘導(dǎo)公式得后可判斷C角的范圍．得三角形形狀． 【詳解】解：由題得tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝， ∴ tan

6、(A＋B)＝＝， ∴ tan C＝－tan(A＋B)＝－， 因?yàn)? ∴ C為鈍角，所以三角形為鈍角三角形． 故選：A． 12．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（???????） A． B． C． D． D 【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個(gè)整體，研究在的零點(diǎn)，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終列出關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍 【詳解】因?yàn)?，所?由，得. 當(dāng)時(shí)，，又，則. 因?yàn)樵谏系牧泓c(diǎn)為，，，，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以或解得. 故選：D 二、填空題 13．已知，，則______. 由余弦值，求得正弦值，再利用倍角公式求解即可.

7、 【詳解】由，且， 得； . 故答案為. 考查同角三角函數(shù)關(guān)系，重點(diǎn)考查倍角公式的使用. 14．函數(shù)，則________． 1 【分析】利用函數(shù)解析式求得. 【詳解】依題意. 故 15．已知向量，，若與垂直，則的值為______. 2 【分析】首先根據(jù)與垂直求得，最后求出的值即可. 【詳解】解：根據(jù)題意，向量，， 則， 若與垂直，則， 解可得：， 則. 故2. 16．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是____． 【分析】先畫出函數(shù)的圖象，把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求

8、解. 【詳解】由題意，函數(shù)，要先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示， 又由方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 即函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)， 可得，且， 則=， 因?yàn)?，則，所以. 故答案為. 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題. 三、解答題 17．求值： (1)； (2)． (1) (2)3 【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和根式和指數(shù)冪的互化公式計(jì)算即可． （2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求得結(jié)果.

9、 【詳解】(1)原式． (2)原式． 18．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．滿足． （1）求； （2）若，，求的面積． (1)；(2). 【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦， 整理可求得的值，進(jìn)而求得的值； (2)由余弦定理及已知中的的值，整理可求得的值，進(jìn)而利用三角形面積公式，即可求解. 【詳解】解：(1)由題意： 因?yàn)檎叶ɡ恚海? 所以對(duì)于， 有， 整理得：, ，在中，，故 . (2)由(1)及題意可得： ， 所以的面積為. 本題主要考查三角恒等變換、正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于

10、中檔題. 19．已知函數(shù). (1)求的值域； (2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (1) (2) 【分析】（1）換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域即可解決； （2）分離參數(shù)后，再構(gòu)造函數(shù)，并求其值域，即可解決. 【詳解】(1)令，當(dāng)時(shí)，， 則可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在上的值域?yàn)? (2)令，當(dāng)時(shí)，， 則關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，可化為 對(duì)恒成立， 所以，即， 又在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 在上的最大值為. 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 20．某企業(yè)為緊抓“長(zhǎng)江大保護(hù)戰(zhàn)略”帶來的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型凈水設(shè)備.生產(chǎn)這種設(shè)

11、備的年固定成本為400萬元，每生產(chǎn)臺(tái)（）需要另投入成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)最不足75臺(tái)時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于75臺(tái)時(shí)，（萬元）.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為90萬元，經(jīng)過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的凈水設(shè)備能全部售完. （1）求年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式； （2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？ （1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，為（萬元） 【分析】（1）根據(jù)條件，利潤(rùn)等于設(shè)備的售價(jià)減去投入成本，再減去年固定成本即可求解； （2）對(duì)（1）中的函數(shù)關(guān)系式分別利用二次函數(shù)和基本不等式求兩段的最大值，再取最大的即可求解. 【詳解】解：當(dāng)年產(chǎn)

12、量不足75臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)； 當(dāng)年產(chǎn)量不少于75臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)， 所以年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為： . （2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，開口向下，對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，（萬元）； 當(dāng)時(shí)，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以（萬元）. 綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，為（萬元） 21．已知函數(shù)，周期，． (1)求函數(shù)的解析式及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍及的值． (1)，單調(diào)遞增區(qū)間； (2)，答案見解析. 【分析】（1）由題設(shè)可得，，即可得解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞增區(qū)間； （2）應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化為與圖象交點(diǎn)問

13、題，根據(jù)對(duì)稱性求的值. 【詳解】(1)由題設(shè)，，，則，又， 所以，故， 令得： ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： (2)作出函數(shù)在上圖象： 0 2 0 -2 -1 函數(shù)的零點(diǎn)，即與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖知：， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 22．已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足. (1)求函數(shù)和的解析式； (2)判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明； (3)函數(shù)在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (1)， (2)在R上單調(diào)遞增，證明見解析 (3) 【分析】（1）利用奇偶性得到關(guān)系式，結(jié)合題干中的條件，解出函數(shù)和的解析式；（2）利用定義證明函數(shù)單調(diào)性步驟：取值，作差，判號(hào)，下結(jié)論；（3）結(jié)合第一問和第二問求解的單調(diào)性和奇偶性，得到等量關(guān)系，參變分離后結(jié)合函數(shù)圖象及對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行求解. 【詳解】(1)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，則，① ，②??? 聯(lián)立解得：，； (2)在R單調(diào)遞增，理由如下： ，且， ， ∵，∴，，， ∴，∴在R單調(diào)遞增； (3)有兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于方程 在R上有兩個(gè)不同的根， ∵為奇函數(shù)，∴等價(jià)于在R上有兩個(gè)不同的根， 由（2）知在R單調(diào)遞增，∴在R上有兩個(gè)不同的根， 顯然不滿足條件，∴， 結(jié)合對(duì)勾函數(shù)圖像及函數(shù)圖像變換得.