高考數學二輪復習 第3部分 幾何證明選講考點整合 選修4-1 文

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選修4－1　幾何證明選講 考點整合 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似． 判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似． 判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似． (2)相似三角形的性質 ①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比； ②相似三角形周長的比等于相似比； ③相似三角形面積的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項． 2．(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． (2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數． 3．(1)圓內接四邊形的性質定理： ①圓的內接四邊形的對角互補； ②圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角． (2)圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 4．(1)圓的切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑． (2)圓的切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (4)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． (5)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． 類型一　三角形相似及應用 [例1]　(2016高考全國甲卷)如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點重合)，且DE＝DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F. (1)證明：B，C，G，F四點共圓； (2)若AB＝1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積． 解：(1)證明：因為DF⊥CE，所以△DEF∽△CDF，則有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， ＝＝， 所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF， 因此∠CGF＋∠CBF＝180，所以B，C，G，F四點共圓． (2)由B，C，G，F四點共圓，CG⊥CB知FG⊥FB.如圖，連接GB.由G為Rt△DFC斜邊CD的中點，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍， 即S＝2S△GCB＝21＝. [解后反思]　本題在證明四點共圓之后，不要試圖在已知圖形中畫出圓，而要通過想象圓的位置，利用圓的性質進行解題，否則可能會由于圖形過于復雜而影響解題思路． 1．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和圓O分別交于D和E兩點． (1)求證：＝； (2)求ADAE的值． 解：(1)證明：∵PA為圓O的切線， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P為公共角， ∴△PAB∽△PCA， ∴＝. (2)∵PA為圓O的切線，PC是過點O的割線， ∴PA2＝PBPC，即102＝5PC， ∴PC＝20，∴BC＝15. 又∵∠CAB＝90，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3， 如圖， 連接EC，則∠AEC＝∠ABC， 又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB， ∴＝，∴ADAE＝ABAC＝36＝90. 類型二　圓的有關性質 [例2]　(2016高考全國乙卷)如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120.以O為圓心，OA為半徑作圓． (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD. 證明：(1)如圖，設E是AB的中點，連接OE. 因為OA＝OB，∠AOB＝120， 所以OE⊥AB，∠AOE＝60. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)連接OD，因為OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設O′是A，B，C，D四點所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O′在線段AB的垂直平分線上，所以OO′⊥AB. 同理可證OO′⊥CD 所以AB∥CD. [解后反思]　解此類題的關鍵：一是熟記直線與圓相關的性質，解題才有路；二是注意數形結合思想的轉化． 2．(2016高考全國丙卷)如圖，⊙O中的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F兩點． (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小； (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明OG⊥CD. 解：如圖，連接PB，BC，則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因為，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180，因此∠PCD＝60. (2)證明：因為∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180，由此知C，D，F，E四點共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F，E四點的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上．又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD.