高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析7 概率與統(tǒng)計練習 理

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7．概率與統(tǒng)計 1．隨機抽樣方法 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等，且是不放回抽樣． [問題1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． 答案　24 解析　由抽樣比例可知＝，則x＝24. 2．對于統(tǒng)計圖表問題，求解時，最重要的就是認真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直方圖，應注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [問題2]　(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________． 答案　4 解析　由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，落在區(qū)間[139,151]的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． 3．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和，眾數(shù)是最高矩形的中點的橫坐標． [問題3]　某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為________． 答案　77.5 解析　由直方圖估計評分的平均值為550.05＋650.2＋750.35＋850.25＋950.15＝77.5. 4．變量間的相關(guān)關(guān)系 假設我們有如下一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．線性回歸方程＝x＋， 其中 [問題4]　回歸直線＝x＋必經(jīng)過點________． 答案　(，) 5．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式適合范圍：事件A與B互斥． (2)P()＝1－P(A)． [問題5]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率之和為________． 答案　 6．古典概型 P(A)＝(其中，n為一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗中包含的基本事件個數(shù))． [問題6]　(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 答案　B 解析　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p＝＝0.6. 7．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，記事件“該點在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.此處D的度量不為0，其中“度量”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的度量分別為長度、面積和體積等． 即P(A)＝. [問題7]　在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　記“點P到點O的距離大于1”為A， P(A)＝＝1－. 8．解排列組合問題的常用策略 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果． [問題8]　4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的4個盒中，則恰有1個空盒的放法共有________種． 答案　144 解析　把4個球分成3組，每組至少1個，即分的小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有種．最后將三組球放入4個盒中的3個，有分配方法數(shù)A種，因此，放法共有A＝144(種)． 9．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)． (2)系數(shù)和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)最值：n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第(＋1)項，二項式系數(shù)為；n為奇數(shù)時，(n＋1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)最大為第項及第＋1項，其二項式系數(shù)為 [問題9]　已知(＋)n展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列． (1)求n； (2)求第三項的二項式系數(shù)及該項的系數(shù)． 解　(1)前三項系數(shù)為1，C，C，成等差數(shù)列， 所以2C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0，得n＝1(舍)或n＝8. (2)由n＝8可知其通項公式為 Tk＋1＝C()8－k()k 所以第三項的二項式系數(shù)為C＝28， 第三項系數(shù)為()2C＝7. 10．條件概率 P(A|B)＝. [問題10]　設A、B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為________． 答案　 11．離散型隨機變量的均值、方差 (1)離散型隨機變量的均值、方差：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值，D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn叫做這個離散型隨機變量X的方差． (2)兩點分布與二項分布的均值、方差． ①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [問題11]　若隨機變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案　 解析　根據(jù)概率之和為1，求出x＝， 則E(ξ)＝02x＋13x＋…＋5x＝40x＝. 12．一般地，如果對于任意實數(shù)a4)＝0.2， 由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2， P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3. 易錯點1　抽樣方法理解不準 例1　一個總體中100個個體的編號為0,1,2,3，…，99，并依次按其分為10個小組，組號為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號碼0～9)隨機抽取的號碼為l，那么依次錯位地抽取后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的個位數(shù)為l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，則所抽取的第5組的號碼是________． 易錯分析　本題易錯點有兩個：一是忽視題中對組號的描述，誤以為第一個號碼6為第一組的號碼導致錯誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號碼的個位數(shù)都為6.所以解決此類問題，一定要根據(jù)題中的條件準確進行編號與抽樣． 解析　由題意，第0組抽取的號碼為6，則第一組抽取的號碼的個位數(shù)為6＋1＝7，所以選17. 因為7＋1＝8，第二組抽取號碼的個位數(shù)為8，故選28. 因為8＋1＝9，第三組抽取號碼的個位數(shù)為9，故選39. 因為9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四組抽取號碼的個位數(shù)為0，故選40. 因為0＋1＝1，第五組抽取號碼的個位數(shù)為1，故選51. 答案　51 易錯點2　誤解基本事件的等可能性 例2　若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率為________． 易錯分析　解本題時易出現(xiàn)的錯誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯誤地認為基本事件總數(shù)為11(點數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點數(shù)和為4的事件錯誤地計算為(1,3)(2,2)兩種，從而導致出錯． 解析　將先后擲2次出現(xiàn)向上的點數(shù)記作點坐標(x，y)，則共可得點坐標的個數(shù)為66＝36，而向上點數(shù)之和為4的點坐標有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率P＝＝.故填. 答案　 易錯點3　幾何概型中“測度”確定不準 例3　在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C. (1)在斜邊AB上任取一點M，求AM＜AC的概率； (2)在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率． 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對事件的度量方式，不注意題中兩問中點M生成方式的差異，誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長度來度量造成錯解． 解　(1)如圖所示，AB＝AC. 由于點M是在斜邊AB上任取的，所以點M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應是線段AB. 所以P(AM＜AC)＝＝. (2)由于在∠ABC內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝＝＝. 易錯點4　互斥事件概念不清 例4　對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互為互斥事件的是________；互為對立事件的是________． 易錯分析　對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚，就會出現(xiàn)錯誤的判斷．對立事件和互斥事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件必有一個要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生．所以兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件． 解析　因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝Ω，故B與D互為對立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 易錯點5　排列、組合問題混淆 例5　如圖所示，A，B，C，D是海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？ 易錯分析　搞不清幾個元素之間有無順序，混淆排列與組合的區(qū)別． 解　由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖： 第一種：，第二種： 對于第一種結(jié)構(gòu)，連接方式只需考慮中心位置的情況，共有C種方法． 對于第二種結(jié)構(gòu)，有CA種方法． ∴總共有C＋CA＝16(種)． 易錯點6　概率計算時是否有序理解不清 例6　袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個白球的概率為p.從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止． (1)求恰好摸5次停止的概率； (2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列． 易錯分析　注意題中的摸球是“有放回地”，另外條件“有3次摸到紅球即停止”在解題中要充分考慮． 解　(1)C()2()2＝. (2)隨機變量ξ的取值為0,1,2,3. 由n次獨立重復試驗概率公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k， 得P(ξ＝0)＝C(1－)5＝， P(ξ＝1)＝C(1－)4＝， P(ξ＝2)＝C()2(1－)3＝， P(ξ＝3)＝1－＝. 隨機變量的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 1．某學校利用系統(tǒng)抽樣的方法，從學校高三年級全體1 000名學生中抽50名學生做學習狀況問卷調(diào)查．現(xiàn)將1000名學生從1到1000進行編號，共分50組．在第一組中隨機抽取一個號，如果抽到的是17號，則第8組中應取的號碼是(　　) A．177 B．157 C．417 D．367 答案　B 解析　根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特點，可知抽取出的編號成首項為17，公差為20的等差數(shù)列，所以第8組的編號是17＋(8－1)20＝157. 2．如圖是2016年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為(　　) A．85,84 B．84,85 C．86,84 D．84,86 答案　A 解析　由圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87. ∴平均數(shù)為＝85，眾數(shù)為84. 3．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示， 從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為＝. 4．(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝31＝.∴P＝＝. 5．某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時段內(nèi)，有1 000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有________輛．(注：分析時車速均取整數(shù)) 答案　300 解析　由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標出頻率，而小于90 km/h的都標出了，故考慮對立事件．由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.01＋0.02＋0.04)10＝0.7，所以車速不小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為1－0.7＝0.3.因此在這一時段內(nèi)通過該站的車速不小于90 km/h的汽車有1 0000.3＝300(輛)． 6．春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖產(chǎn)品的銷售額y(單位：萬元)與當天的平均氣溫x(單位：℃)有關(guān)．現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表： 平均氣溫(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額(萬元) 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程＝x＋的系數(shù)＝－，則＝________. 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)可得＝－4，＝25，所以線性回歸方程＝－x＋過點(－4,25)，代入方程得25＝－(－4)＋，解得＝. 7．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學在期末考試中的六科成績，已知甲同學的平均成績?yōu)?5，乙同學的六科成績的眾數(shù)為84，則x，y的值分別為________，________. 答案　6　4 解析　甲＝＝85， 解得x＝6，由題圖可知y＝4. 8．從2男3女共5名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均等)，這2名都是男生或都是女生的概率為______． 答案　 解析　設2名男生為A，B,3名女生為a，b，c，則從5名同學中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，…，(b，c)，共10種，而這2名同學剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6種， 故所求概率為1－＝. 9．已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是________． 答案　 解析　該人投籃4次，命中3次的概率為 P1＝C3＝； 該人投籃4次，命中4次的概率為P2＝C4＝， 故至少命中3次的概率是P＝＋＝. 10．某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8，且n∈N*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”． (1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值； (2)當n＝12時，設選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和均值E(X)． 解　(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為 ＝， 則≥. 化簡得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16， 故n的最大值為16. (2)由題意可得，X的可能取值為0,1,2. 則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0＋1＋2＝1.