(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和練習(xí)(含解析)
《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和練習(xí)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和練習(xí)(含解析)(21頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和 [做真題] 題型一 an與Sn關(guān)系的應(yīng)用 1.(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=________. 解析:法一:因?yàn)镾n=2an+1,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=2a1+1,解得a1=-1; 當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=2a2+1,解得a2=-2; 當(dāng)n=3時(shí),a1+a2+a3=2a3+1,解得a3=-4; 當(dāng)n=4時(shí),a1+a2+a3+a4=2a4+1,解得a4=-8; 當(dāng)n=5時(shí),a1+a2+a3+a4+a5=2a5+1,解得a5=-16; 當(dāng)n=6時(shí),a1+a2+a3+a4+a5+a6=2a6+1,解
2、得a6=-32; 所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63. 法二:因?yàn)镾n=2an+1,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=2a1+1,解得a1=-1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an=-2n-1,所以S6==-63. 答案:-63 2.(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________. 解析:因?yàn)?an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, 所以Sn+1-Sn=SnSn+1. 因?yàn)?Sn≠0
3、,所以-=1,即-=-1. 又=-1,所以{}是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列. 所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-. 答案:- 題型二 數(shù)列求和 1.(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=__________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,依題意,即解得 所以Sn=, 因此=2=. 答案: 2.(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解:(1)設(shè){an}的公差為d
4、,由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16. 3.(2016·高考全國(guó)卷Ⅱ)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和. 解:(1)設(shè){an}的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n. b1=[
5、lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (2)因?yàn)閎n= 所以數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和為1×90+2×900+3×1=1 893. [山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見] 能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.能利用數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.(求通項(xiàng)公式、求和、解實(shí)際問(wèn)題) Sn,an關(guān)系的應(yīng)用 [典型例題] (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2 019=( ) A.-22 019-1 B.32 019-6 C.- D.
6、- (2)(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一))已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),則=________. (3)(一題多解)(2019·濟(jì)南市調(diào)研測(cè)試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,則a4=________. 【解析】 (1)因?yàn)閍1=S1,所以3a1=3S1=2a1-3?a1=-3. 當(dāng)n≥2時(shí),3Sn=2an-3n,3Sn-1=2an-1-3(n-1),所以an=-2an-1-3,即an+1=-2(an-1+1),所以數(shù)列{an+1}是以-2為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列. 所以an+1=(-2)×(-2)
7、n-1=(-2)n, 則a2 019=-22 019-1. (2)由題意可知nan+1+2anan+1=(n+1)an,兩邊同除以anan+1,得-=2,又=,所以是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以=n+n(n-1)×2=n2-n. (3)法一:由Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)可得S2=3S1+1=3a1+1, 即a2=2a1+1=-1.根據(jù)Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)①,知Sn+1=3Sn+2n+1-3②, ②-①可得,an+1=3an+2n(n≥2). 兩邊同時(shí)除以2n+1可得=·+(n≥2),令bn=,可得bn+1=·bn+(n≥2). 所以bn+1+1=(
8、bn+1)(n≥2),數(shù)列{bn+1}是以b2+1=為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 所以bn+1=·(n≥2), 所以bn=·-1(n≥2).* 又b1=-也滿足*式, 所以bn=·-1(n∈N*),又bn=,所以an=2nbn,即an=3n-1-2n. 所以a4=33-24=11. 法二:由Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,知S2=3S1+4-3,所以a2=-1. S3=3S2+8-3,所以a3=1.S4=3S3+16-3,所以a4=11. 【答案】 (1)A (2)n2-n (3)11 (1)給出Sn與an的遞推關(guān)系求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1
9、=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an. (2)形如an+1=pan+q(p≠1,q≠0),可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-1,則a1+a3+a5+a7+a9=( ) A.40 B.44 C.45 D.49 解析:選B.法一:因?yàn)镾n=n2-1,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以an=,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=4
10、4.故選B.
法二:因?yàn)镾n=n2-1,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以an=,所以{an}從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列,a2=3,公差d=2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+4a6=4×(2×6-1)=44,故選B.
2.(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且Sn=λan-1(λ為常數(shù)),若數(shù)列{bn}滿足anbn=-n2+9n-20,且bn+1 11、
所以Sn=2an-1,所以Sn-1=2an-1-1(n≥2),
所以an=2an-1,所以an=2n-1.
因?yàn)閍nbn=-n2+9n-20,
所以bn=,
所以bn+1-bn==<0,
解得4 12、n=1-an②,則①-②得an=an-1,故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,所以Tn=a+a+…+a==.
答案:
數(shù)列求和問(wèn)題
[典型例題]
命題角度一 公式法求和
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)T2n=-+-+…+-,求T2n.
【解】 (1)證明:由an+1=,得==+,
所以-=.
又a1=1,則=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.
(2)設(shè)bn=-=,
由(1)得,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,
所以-=-,即bn==-×,
所以bn+ 13、1-bn=-=-×=-.
又b1=-×=-×=-,
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-,公差為-的等差數(shù)列,
所以T2n=b1+b2+…+bn=-n+×=-(2n2+3n).
求解此類題需過(guò)“三關(guān)”:第一關(guān),定義關(guān),即會(huì)利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義,判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列;第二關(guān),應(yīng)用關(guān),即會(huì)應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求解,需掌握等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式:Sn=或Sn=na1+d;等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式:Sn=;第三關(guān),運(yùn)算關(guān),認(rèn)真運(yùn)算,此類題將迎刃而解.
命題角度二 裂項(xiàng)相消法求和
(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為公差不為0 14、的等差數(shù)列,a1=5,且a2,a9,a30成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
【解】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),依題意得(a1+d)(a1+29d)=(a1+8d)2.
又a1=5,所以d=2,所以an=2n+3.
(2)依題意得bn+1-bn=2n+3(n∈N*),所以bn-bn-1=2n+1(n≥2且n∈N*),
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3==n2+2n(n≥2且 15、n∈N*),b1=3,上式也成立,
所以bn=n(n+2)(n∈N*),所以==.所以Tn==.
(1)裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng),使這些裂開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消,要注意消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng).
(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).
[提醒] 常見的裂項(xiàng)式有:=
,=[-],=-等.
命題角度三 錯(cuò)位相減法求和
(2019·唐山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=.
(1)求an;
(2)若bn=(n-1)an,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.
【解】 (1)由已知可得, 16、2Sn=3an-1,①
所以2Sn-1=3an-1-1(n≥2),②
①-②得,2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,
化簡(jiǎn)得an=3an-1(n≥2),
在①中,令n=1可得,a1=1,
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
從而有an=3n-1.
(2)bn=(n-1)3n-1,
Tn=0×30+1×31+2×32+…+(n-1)×3n-1,③
則3Tn=0×31+1×32+2×33+…+(n-1)×3n.④
③-④得,-2Tn=31+32+33+…+3n-1-(n-1)×3n
=-(n-1)×3n
=.
所以Tn=.
(1)求解此類題 17、需掌握三個(gè)技巧:一是巧分拆,即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的和,并求出等比數(shù)列的公比;二是構(gòu)差式,求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式,然后乘以等比數(shù)列的公比,兩式作差;三是得結(jié)論,即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和.
(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn):一是判斷模型,即判斷數(shù)列{an},{bn}一個(gè)為等差數(shù)列,一個(gè)為等比數(shù)列;二是錯(cuò)開位置;三是相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號(hào),學(xué)生常在此步出錯(cuò),一定要小心.
命題角度四 分組轉(zhuǎn)化求和
(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=4,數(shù)列{bn}滿足bn=log2an,且b1+b2+b3=12.
(1)求數(shù)列{ 18、an}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=+an,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
【解】 (1)由bn=log2an和b1+b2+b3=12得log2(a1a2a3)=12,
所以a1a2a3=212.
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
因?yàn)閍1=4,所以a1a2a3=4·4q·4q2=26·q3=212,
計(jì)算得q=4.
所以an=4·4n-1=4n.
(2)由(1)得bn=log24n=2n,
cn=+4n=+4n=-+4n.
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為An,則An=1-+-+…+-=,
設(shè)數(shù)列{4n}的前n項(xiàng)和為Bn,
則Bn==(4n-1),
所以Sn=+(4n-1).
19、
(1)在處理一般數(shù)列求和時(shí),一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和.在利用分組求和法求和時(shí),常常根據(jù)需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論.最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式.
(2)分組求和的策略:①根據(jù)等差、等比數(shù)列分組.②根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.
命題角度五 并項(xiàng)求和
數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n,n∈N*,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和為( )
A.5 050 B.5 100
C.9 800 D.9 850
【解析】 設(shè)k∈N*,
當(dāng)n=2k時(shí),a2k+1=-a2k+4k,即a2k+1+a2k=4k,①
當(dāng)n=2k-1時(shí),a2k 20、=a2k-1+4k-2,②
聯(lián)立①②可得,a2k+1+a2k-1=2,
所以數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和
Sn=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
=(a1+a3+…+a99)+[(-a3+4)+(-a5+4×2)+(-a7+4×3)+…+(-a101+4×50)]
=25×2+[-(a3+a5+…+a101)+4×(1+2+3+…+50)]
=25×2-25×2+4×
=5 100.
故選B.
【答案】 B
(1)將一個(gè)數(shù)列分成若干段,然后各段分別利用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及錯(cuò)位相減法進(jìn) 21、行求和.利用并項(xiàng)求和法求解問(wèn)題的常見類型:一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào);二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號(hào)因子“(-1)n”.
(2)運(yùn)用分類討論法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口:一是對(duì)分類討論的“度”的把控,如本題,因?yàn)榭梢缘扔?,也可以等于0,因此分類的“度”可定位到“n分為奇數(shù)與偶數(shù)”,有些含絕對(duì)值的數(shù)列,其分類的“度”需在零點(diǎn)處下功夫;二是對(duì)各類分法做到不重不漏,解題的思路就能順暢.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1.(2019·唐山市摸底考試)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a4=3,a2,a3,a5成等比數(shù)列.
(1)求an;
(2)設(shè)bn=n·2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn 22、,求Tn.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則an=a1+(n-1)d.
因?yàn)閍2,a3,a5成等比數(shù)列,
所以(a1+2d)2=(a1+d)(a1+4d),
化簡(jiǎn)得,a1d=0,
又d≠0,
所以a1=0.
又a4=a1+3d=3,
所以d=1.
所以an=n-1.
(2)bn=n×2n-1,
Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,①
則2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n.②
①-②得,
-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n
=-n×2n
=(1-n)×2n-1.
所以Tn=(n-1)×2n+1.
2 23、.(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列{an}中,a5-a3=4,前n項(xiàng)和為Sn,且S2,S3-1,S4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(-1)n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a5-a3=4,得2d=4,d=2.
所以S2=2a1+2,S3-1=3a1+5,S4=4a1+12,
又S2,S3-1,S4成等比數(shù)列,
所以(3a1+5)2=(2a1+2)(4a1+12),
解得a1=1,
所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n=(-1)n,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=-+-+…-+=-1+=-.
24、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=-+-+…+-
=-1-=-.
所以Tn=.
數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題
[典型例題]
(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,3a2-a1=1,且=(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且b1=,4bn=an-1an(n≥2),證明:Tn<1.
【解】 (1)因?yàn)椋?n≥2),所以=+(n≥2).
又a1=1,3a2-a1=1,
所以=1,=,
所以-=,
所以是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.
所以=1+(n-1)=(n+1),
即an=.
(2)證明:因?yàn)?bn=a 25、n-1an(n≥2),
所以bn==-(n≥2),
所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=1-<1.
解決與數(shù)列求和有關(guān)的不等式間的常用方法是“放縮法”
(1)如果和式能夠求出,則求出結(jié)果后進(jìn)行放縮,本例就是這種類型.
(2)如果和式不能求出,則需要把數(shù)列的通項(xiàng)放縮成能夠求和的形式,求和后再進(jìn)行放縮,但要注意放縮的“尺度”和“位置”.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an+1=,a1=1且n∈N*.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)anbn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<(n∈N*).
解:(1 26、)由an+1=,
得(2n-1)an+1=4Sn-1,
可得(2n-3)an=4Sn-1-1(n≥2),
兩式相減得(2n+1)an=(2n-1)an+1,
即=(n≥2),
又由an+1=,a1=1,得a2=3,
所以=,
所以為常數(shù)列,
所以=1,即an=2n-1.
(2)證明:由an=2n-1,得Sn=n2,
所以bn=.
當(dāng)n=1時(shí),T1=1<成立;
當(dāng)n≥2時(shí),bn==<
=,所以Tn<1+
=1+<.
綜上,Tn<(n∈N*).
[A組 夯基保分專練]
一、選擇題
1.(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n+ 27、1,bn=(-1)nan(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為( )
A.49 B.50
C.99 D.100
解析:選A.由題意得,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,所以數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故選A.
2.(一題多解)(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( )
A.2n-1 B.
C. D.
解析:選B.法一:當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a2,則a2=.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an,則Sn 28、-Sn-1=an=2an+1-2an,所以=,所以當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,所以an=,所以Sn=1++×+…+×=1+=,當(dāng)n=1時(shí),此式也成立.
故選B.
法二:當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a2,則a2=,所以S2=1+=,結(jié)合選項(xiàng)可得只有B滿足,故選B.
3.?dāng)?shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=( )
A.1 B.-2
C.3 D.-3
解析:選A.因?yàn)閍n+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-a 29、n-2(n≥3).
所以an+3=-an(n∈N*),
所以an+6=-an+3=an,
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列.
因?yàn)? 019=336×6+3,
所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故選A.
4.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}滿足2an+1+an=3(n≥1),且a3=,其前n項(xiàng)和為Sn,則滿足不等式|Sn-n-6|<的最小整數(shù)n是( )
A.8 B.9
C.10 D.11
解析:選C.由2an+1+an=3,得2(an+1-1)+(an-1)=0,即=-(*),
又a3=,所以a3-1=,代入(*)式,有a2-1=-,a1- 30、1=9,所以數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為9,公比為-的等比數(shù)列.所以|Sn-n-6|=|(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)-6|==<,又n∈N*,所以n的最小值為10.故選C.
5.(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an+Sn=2n,2bn=2an+2-an+1,則++…+=( )
A. B.
C. D.
解析:選D.因?yàn)閍n+Sn=2n①,所以an+1+Sn+1=2n+1②,②-①得2an+1-an=2n,所以2an+2-an+1=2n+1,又2bn=2an+2-an+1=2n+1,所以bn=n+1,==-,則++…+=1-+-+…+-=1 31、-=,故選D.
6.(多選)一個(gè)彈性小球從100 m高處自由落下,每次著地后又跳回原來(lái)高度的再落下,設(shè)它第n次著地時(shí),經(jīng)過(guò)的總路程記為Sn,則當(dāng)n≥2時(shí),下面說(shuō)法正確的是( )
A.Sn<500
B.Sn≤500
C.Sn的最小值為
D.Sn的最大值為400
解析:選AC.第一次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了100 m,第二次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了m,第三次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了m,…,以此類推,第n次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了
m.所以Sn=100+=100+400.Sn是關(guān)于n的增函數(shù),所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn的最小值為S2,且S2=.又Sn=100+400<100+400=500.故選AC.
二、填空 32、題
7.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問(wèn)這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述的已知條件,可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為________.
解析:設(shè)該女子第一天織布x尺,
則=5,解得x=,
所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為=.
答案:
8.(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8=________.
解析:法一:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,
則數(shù)列{an}是公差為3的等 33、差數(shù)列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8=8a1+d=92.
法二:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列,S8===92.
答案:92
9.(2019·江西九江統(tǒng)考改編)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,2Sn=an+1,bn=(-1)n·(log3an)2,則an=________,數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為________.
解析:根據(jù)題意,數(shù)列{an}滿足2Sn=an+1①,則當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an②,由①-②可得(an+1-3an)=0,所以an+1-3an=0,即an+1=3 34、an(n≥2).由2Sn=an+1,可求得a2=3,a2=3a1,則數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n-1,bn=(-1)n·(log3an)2=(-1)n·(log33n-1)2=(-1)n(n-1)2,則b2n-1+b2n=-(2n-2)2+(2n-1)2=4n-3.所以數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=1+5+9+…+(4n-3)==2n2-n.
答案:3n-1 2n2-n
三、解答題
10.(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))已知{an}是等差數(shù)列,且lg a1=0,lg a4=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a1,ak,a6是等比數(shù)列{b 35、n}的前3項(xiàng),求k的值及數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和.
解:(1)因?yàn)閘g a1=0,lg a4=1,
所以a1=1,a4=10.
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則d==3.
所以an=a1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)知a1=1,a6=16,
因?yàn)閍1,ak,a6是等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),所以a=a1a6=16.
又an=3n-2>0,
所以ak=4.
因?yàn)閍k=3k-2,
所以3k-2=4,得k=2.
所以等比數(shù)列{bn}的公比q===4.
所以bn=4n-1.
所以an+bn=3n-2+4n-1.
所以數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和為Sn=+= 36、n2-n+(4n-1).
11.(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)證明:因?yàn)閍n+1=,所以-=-=-==-.
又a1=1,所以=-1,
所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng),-為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知=-1+(n-1)=-,所以an=2-=,
所以bn=-1=-1=-1==,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=
==,
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=.
12.(2019·福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足 37、Sn=2an-n.
(1)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求an;
(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b3=a2,b7=a3,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-1,所以a1=1.
因?yàn)镾n=2an-n①,所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-(n-1)②,
①-②得an=2an-2an-1-1,所以an=2an-1+1,
所以===2.
所以{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
所以an+1=2·2n-1,所以an=2n-1.
(2)由(1)知,a2=3,a3=7,所以b3=a2=3,b7=a3=7.
設(shè){bn}的公差為d,則b 38、7=b3+(7-3)·d,所以d=1.
所以bn=b3+(n-3)·d=n.
所以anbn=n(2n-1)=n·2n-n.
設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和為Kn,數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和為Tn,
則Kn=2+2×22+3×23+…+n·2n③,
2Kn=22+2×23+3×24+…+n·2n+1④,
③-④得,
-Kn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,
所以Kn=(n-1)·2n+1+2.
又Tn=1+2+3+…+n=,
所以Kn-Tn=(n-1)·2n+1-+2,
所以數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為(n-1)·2n+1-+2.
39、
[B組 大題增分專練]
1.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1=1,=an+1(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{a}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解:(1)由=an+1得a-a=2,且a=1,
所以數(shù)列{a}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
所以a=1+(n-1)×2=2n-1,
又由已知易得an>0,所以an=(n∈N*).
(2)bn==
=-,
故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+…+bn=(-1)+(-)+…+(-)=-1.
2.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n 40、項(xiàng)和Sn滿足=+1(n≥2,n∈N),且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)記bn=,Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求使Tn≥成立的n的最小值.
解:(1)由已知有-=1(n≥2,n∈N),所以數(shù)列為等差數(shù)列,又==1,
所以=n,即Sn=n2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又a1=1也滿足上式,所以an=2n-1.
(2)由(1)知,bn==,
所以Tn===.
由Tn≥得n2≥4n+2,即(n-2)2≥6,所以n≥5,
所以n的最小值為5.
3.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其 41、前n項(xiàng)和為Sn,且Sn為an與的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)由題意知,2Sn=an+,即2Snan-a=1,①
當(dāng)n=1時(shí),由①式可得S1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,代入①式,
得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,
整理得S-S=1.
所以{S}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,S=1+n-1=n.
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù),所以Sn=,
所以an=Sn-Sn-1=-(n≥2),
又a1=S1=1,
所以an=-.
(2)bn===(-1)n(+),
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 42、,
Tn=-1+(+1)-(+)+…+(+)-(+)=-;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Tn=-1+(+1)-(+)+…-(+)+(+)=.所以{bn}的前n項(xiàng)和Tn=(-1)n.
4.(2019·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn=其中k∈N*.
①求數(shù)列{a2n(c2n-1)}的通項(xiàng)公式;
②求 aici(n∈N*).
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得
解得故 43、an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.,所以,{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×2n.
(2)①a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1.,所以,數(shù)列{a2n(c2n-1)}的通項(xiàng)公式為a2n(c2n-1)=9×4n-1.
② aici= [ai+ai(ci-1)]
= ai+ a2i(ci-1)
=[2n×4+×3]+(9×4i-1)
=(3×22n-1+5×2n-1)+9×-n
=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*).
- 21 -
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