(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5講 第1課時(shí) 橢圓及其性質(zhì)檢測(cè) 文

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1、第5講 第1課時(shí) 橢圓及其性質(zhì) [基礎(chǔ)題組練] 1.已知正數(shù)m是2和8的等比中項(xiàng),則圓錐曲線x2+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(  ) A.(±,0)  B.(0,±) C.(±,0)或(±,0) D.(0,±)或(±,0) 解析:選B.因?yàn)檎龜?shù)m是2和8的等比中項(xiàng),所以m2=16,即m=4,所以橢圓x2+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),故選B. 2.曲線+=1與曲線+=1(k<144)的(  ) A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等 解析:選D.曲線+=1中c2=169-k-(144-k)=25,所以c=5,所以兩曲線的焦距相等. 3.(2019·鄭州市第二次質(zhì)

2、量預(yù)測(cè))已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長(zhǎng)為12,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:選D.由橢圓的定義,知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以a=3.因?yàn)闄E圓的離心率e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=5,所以橢圓C的方程為+=1,故選D. 4.(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)(二))已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2且垂直于

3、長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(  ) A. B.1 C. D. 解析:選D.法一:不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方,由題意知:F2(1,0),將F2的橫坐標(biāo)代入方程+=1中,可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為,故|AB|=3,所以內(nèi)切圓半徑r===,其中S為△ABF1的面積,C為△ABF1的周長(zhǎng)4a=8. 法二:由橢圓的通徑公式可得|AB|==3,則S=2×3×=3,C=4a=8,則r==. 5.若橢圓C:+=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)等于焦距,則橢圓的離心率為________. 解析:由題意可得b=c,則b2=a2-c2=c2,a=c,故橢圓的離心率e==. 答案: 6.(201

4、9·貴陽模擬)若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長(zhǎng)為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析:由題意可知e==,2b=4,得b=2, 所以解得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 答案:+=1 7.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(-3,0). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn),求△F1PF2的面積. 解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0), 依題意得因此a=5,b=4, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)易知|yP|=4,又c=3, 所以S△F1PF2=|yP|×2c=×4×6=12. 8.分別

5、求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)與橢圓+=1有相同的離心率且經(jīng)過點(diǎn)(2,-); (2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3,過P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn). 解:(1)由題意,設(shè)所求橢圓的方程為+=t1或+=t2(t1,t2>0),因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(2,-),所以t1=+=2,或t2=+=. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+=1. (2)由于焦點(diǎn)的位置不確定,所以設(shè)所求的橢圓方程為+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0), 由已知條件得 解得a=4,c=2,所以b2=12. 故橢圓方程為+=1或+=1. [綜合題組練] 1.(

6、2019·貴陽市摸底考試)P是橢圓+=1(a>b>0)上的一點(diǎn),A為左頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),PF⊥x軸,若tan∠PAF=,則橢圓的離心率e為(  ) A. B. C. D. 解析:選D.如圖,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,因?yàn)镻F⊥x軸,所以xP=c,將xP=c代入橢圓方程得yP=,即|PF|=,則tan∠PAF===,結(jié)合b2=a2-c2,整理得2c2+ac-a2=0,兩邊同時(shí)除以a2得2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍去).故選D. 2.(2019·湖北八校聯(lián)考)如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(xiàn)(-5,0)為橢圓C的左焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|且|PF|=6

7、,則橢圓C的方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:選C.由題意知,c=5,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,連接PF′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,所以∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理得|PF′|==8,又|PF|+|PF′|=2a=6+8=14,所以a=7,所以b2=a2-c2=24,所以橢圓C的方程為+=1,故選C. 3.(綜合型)已知△ABC的頂點(diǎn)A(-3,0)和頂點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)C在橢圓+=1上,則=___

8、_____. 解析:由橢圓方程知a=5,b=4,所以c==3,所以A,B為橢圓的焦點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以|AC|+|BC|=2a=10,|AB|=2c=6.所以===3. 答案:3 4.已知橢圓方程為+=1(a>b>0),A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),M,N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,若|k1·k2|=,則橢圓的離心率為________. 解析:設(shè)M(x0,y0),則N(x0,-y0),|k1·k2|=====, 從而e==. 答案: 5.(2019·蘭州市診斷考試)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),且離心率為. (1)

9、求橢圓C的方程; (2)設(shè)M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為-.若動(dòng)點(diǎn)P滿足=+2,求點(diǎn)P的軌跡方程. 解:(1)因?yàn)閑=,所以=, 又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(,1),所以+=1, 解得a2=4,b2=2, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由=+2得x=x1+2x2,y=y(tǒng)1+2y2, 因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓+=1上, 所以x+2y=4,x+2y=4, 故x2+2y2=(x+4x1x2+4x)+2(y+4y1y2+4y)=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y

10、2). 設(shè)kOM,kON分別為直線OM與ON的斜率,由題意知, kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0, 所以x2+2y2=20, 故點(diǎn)P的軌跡方程為+=1. 6.(綜合型)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)M(2,1)在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程; (2)直線l平行于OM,且與橢圓C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).若∠AOB為鈍角,求直線l在y軸上的截距m的取值范圍. 解:(1)依題意有解得 故橢圓C的方程為+=1. (2)由直線l平行于OM,得直線l的斜率k=kOM=, 又l在y軸上的截距為m,所以l的方程為y=x+m. 由得x2+2mx+2m2-4=0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn), 所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0, 解得-2

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