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1、大題精做11 圓錐曲線：存在性問題
[2019·株洲一模]已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，
且軸，的周長為6．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，設(shè)為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請說明理由．
【答案】（1）；（2）當時，．
【解析】（1）由題意，，，，
∵的周長為6，∴，
∴，，∴橢圓的標準方程為．
（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件．
①當過點的直線的斜率不存在時，，，
∴，
∴當時，；
②當過點的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立，化簡得，
∴，．
∴
，
∴，解得，即時，；
綜上所述，當時，．
2、
1．[2019·宜昌調(diào)研]已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點，是橢圓的上焦點．
問：是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
2．[2019·江西聯(lián)考]已知點為拋物線的焦點，拋物線上的點滿足(為坐標原點)，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于不同的兩點，，是否存在實數(shù)及定點，對任意實數(shù)，
都有？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由．
3．[2019·哈
3、三中期末]在圓上取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，
當點在圓上運動時，設(shè)線段中點的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）試問在上是否存在兩點，關(guān)于直線對稱，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標
原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
1．【答案】（1）；（2）存在直線或．
【解析】（1）∵，，且有，解得，，
∴橢圓的方程為．
（2）由題可知的斜率一定存在，設(shè)為，設(shè)，，
聯(lián)立，
∴，
∵，∴為線段的中點，∴……④，
將④代入②解得……⑤
將④代入③得……⑥
將⑤代入⑥解得……⑦
將⑦式代入①式檢驗成立，
∴，即存在直線或合題意．
4、2．【答案】（1）；（2）存在及點，對任意實數(shù)，都有．
【解析】（1）由得點橫坐標為，
由拋物線定義及得，，所以，
所以拋物線的方程為．
（2）假設(shè)存在實數(shù)及定點，對任意實數(shù)，都有，
設(shè)，，，
聯(lián)立，得，
則，，，
由，得
，
所以，，，當時不滿足題意，所以，
即存在及點，對任意實數(shù)，都有．
3．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）設(shè)，則點，
將代入圓，可得，
的方程為．
（2）顯然，直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
，化為，
設(shè)，，則，，
依題意，可得，，
又，
，
，解得，
由的中點在直線上，
，
，化為，
把代入化為，解得（舍去）或，
，解得，滿足，即滿足，
在上存在兩點，關(guān)于直線對稱，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點，
直線的方程為．
7
2019高考數(shù)學三輪沖刺 大題提分 大題精做11 圓錐曲線：存在性問題 理
