《(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 蘇教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 蘇教版(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用
課時(shí)作業(yè)練
1.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1), f(4), f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)= .?
答案 n(2n+3)
解析 設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),由f(0)=1,得b=1.又 f(1), f(4), f(13)成等比數(shù)列,所以[f(4)]2=f(1)·f(13),即(4a+1)2=(a+1)(13a+1),解得a=2,則f(x)=2x+1,所以f(2)+f(4)+…+f(2n)=2×(2+4+6+…+2n)+n=n(2n+3).
2.(2018江蘇揚(yáng)州高三模擬)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{
2、an}的前n項(xiàng)和為Sn,若4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,且a3=3a22,則S3= .?
答案 1327
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0,由題意得4a4+6a5=2a3,即4a3q+6a3q2=2a3,解得q=13(舍負(fù)),則a3=13a2=3a22,所以a2=19,所以a1=13,a3=127,則S3=13+19+127=1327.
3.(2018江蘇南京秦淮中學(xué)月考)若方程x2-x+m=0和x2-x+n=0的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為15,第4項(xiàng)為45的等差數(shù)列,則|m-n|= .?
答案 225
解析 由題意知構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)是15,第4項(xiàng)是45,則公
3、差d=15,第2項(xiàng)是25,第3項(xiàng)是35,則|m-n|=15×45-25×35=225.
4.(2019江蘇淮陰中學(xué)高三模擬)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=12,a3+a5=10,則log2a1+log2a2+…+log2a10= .?
答案 35
解析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0,則a3+a5=12q2+12q4=10,則q=2,an=12×2n-1=2n-2,則log2an=n-2,則log2a1+log2a2+…+log2a10=-1+0+1+…+8=10×72=35.
5.(2018常州教育學(xué)會學(xué)業(yè)水平檢測)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2a3a4=a
4、2+a3+a4,則a3的最小值為 .?
答案 3
解析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0,則由a2a3a4=a2+a3+a4,得a33=a3q+a3+a3q,則a32=1q+q+1≥3,又a3>0,則a3≥3,當(dāng)且僅當(dāng)q=1時(shí)取等號,則a3的最小值為3.
6.(2018江蘇南京多校高三段考)已知△ABC的三邊長構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列,則△ABC最大角的余弦值為 .?
答案 -24
解析 設(shè)三角形的三邊長分別為a2,a,2a(a>0),則最大角的余弦值為a22+a2-2a22×a22=-24.
7.(2017江蘇六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3+x,等差數(shù)列{an
5、}滿足: f(a2-1)=2, f(a2 016-3)=-2,Sn是其前n項(xiàng)和,則S2 017= .?
答案 4 034
解析 由函數(shù)f(x)=x3+x可得f(x)為奇函數(shù),且單調(diào)遞增.由f(a2-1)=2, f(a2 016-3)=-2可得f(a2-1)=f(-(a2 016-3)),即a2-1=-(a2 016-3),所以a2+a2 016=4.
從而S2 017=a1+a20172×2 017=a2+a20162×2 017=2×2 017=4 034.
8.(2018江蘇蘇州月考)已知數(shù)列{an}中,a1=1且an+1=an+2n+1,設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an-1,對
6、任意正整數(shù)n,不等式1b2+1b3+…+1bn
7、3成等差數(shù)列.
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對一切正整數(shù)n,有1a1+1a2+…+1an<32.
解析 (1)由2Sn=an+1-2n+1+1得
2a1=a2-3,2(a1+a2)=a3-7.①?②
又由a1,a2+5,a3成等差數(shù)列得2(a2+5)=a1+a3.③
由①②③得a1=1.
(2)∵2Sn=an+1-2n+1+1,④
∴當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=an-2n+1.⑤
④-⑤,得2(Sn-Sn-1)=an+1-an-2n+1+2n,
即an+1=3an+2n(n≥2),∴an+1+2n+1=3(an+2n),
∴{an+2n
8、}是以3為公比的等比數(shù)列,
∴an+2n=(a1+2)·3n-1=3n,
即an=3n-2n(n≥2).
又a1=1滿足上式,∴an=3n-2n(n∈N*).
(3)證明:∵1an=13n-2n=13n·11-23n≤13n·11-23=3·13n,
∴1a1+1a2+…+1an≤3×13+132+…+13n
=3×131-13n1-13=321-13n<32,n∈N*.
10.(2018江蘇南京秦淮中學(xué)期中)已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a5=6,a1,a3,a7成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an2n,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn;
9、
(3)設(shè)cn=4n+(-1)n-1λ·2an(λ為整數(shù),n∈N*),試確定整數(shù)λ的值,使得對任意的n∈N*,總有cn+1>cn成立.
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).
∵a1,a3,a7成等比數(shù)列,∴a1(a1+6d)=(a1+2d)2,∴2a1d=4d2,∵d≠0,∴a1=2d,
又a5=a1+4d=6,∴d=1,a1=2,∴an=2+(n-1)×1=n+1.
(2)bn=an2n=n+12n,Tn=221+322+423+…+n+12n,
12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1,
∴12Tn=1+122+123+…+12n-n+12n+1=
10、1+141-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,
∴Tn=3-n+32n.
(3)cn=4n+(-1)n-1λ·2n+1,cn+1=4n+1+(-1)nλ·2n+2,對任意的n∈N*,要cn+1>cn恒成立,則
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),4n+1+λ·2n+2>4n-λ·2n+1,∴3λ·2n+1>-3·4n,∴λ>-2n-1(n=2,4,6,…).
∵n為偶數(shù),∴當(dāng)n=2時(shí),(-2n-1)max=-2,∴λ>-2;
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),4n+1-λ·2n+2>4n+λ·2n+1,∴3λ·2n+1<3·4n,∴λ<2n-1(n=1,3,5,…).
∵n為奇數(shù),∴當(dāng)n=1時(shí),
11、(2n-1)min=1,∴λ<1.
由①②得-2<λ<1,∵λ為整數(shù),∴λ=-1或0.
11.(2018徐州銅山高三模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a(a>0),其前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)bn=an+an+1(n∈N*).數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=n2.
(1)求證:數(shù)列{bn}的任意連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若?n∈N*,且n≥2,不等式(an-1)(an+1-1)≥2(1-n)恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:由Tn=n2,得bn=Tn-Tn-1=2n-1(n≥2),
由于b1=1符合上式,所以bn=2n-1(n∈N*
12、),
假設(shè){bn}中存在連續(xù)三項(xiàng)bk-1,bk,bk+1(k∈N*,k≥2)成等比數(shù)列,則bk2=bk-1bk+1,即(2k-1)2=(2k-3)(2k+1),
可得4k2-4k+1=4k2-4k-3,顯然不成立,所以假設(shè)不成立,
從而數(shù)列{bn}的任意連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列.
(2)由(1)得an+an+1=bn=2n-1.所以an-(n-1)=-(an+1-n),即an+1-nan-(n-1)=-1,
所以數(shù)列{an-(n-1)}為等比數(shù)列,且公比為-1,
因?yàn)閍1=a>0,所以an=a·(-1)n-1+n-1(n∈N*).
(3)不等式(an-1)(an+1-1)≥2(1-n
13、)可轉(zhuǎn)化為anan+1-(an+an+1)+1≥2(1-n),
由于an+an+1=2n-1,所以不等式為anan+1≥0.
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),an=a+n-1,an+1=-a+n,
所以anan+1=(a+n-1)·(-a+n)=-a2+a+n(n-1)≥0,
即-a2+a≥-n(n-1)對任意n∈N*,且n≥2恒成立,所以-a2+a≥-2,解得-1≤a≤2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=-a+n-1,an+1=a+n,
由anan+1≥0,得-a2-a≥-n(n-1)對任意n∈N*,且n≥2恒成立,所以-a2-a≥-2,解得-2≤a≤1,
又a>0,所以a的取值范圍是0
14、滾動(dòng)練
(滾動(dòng)循環(huán) 夯實(shí)基礎(chǔ))
1.(2017課標(biāo)全國Ⅱ改編)設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},則A∪B= .?
答案 {1,2,3,4}
2.若函數(shù)f(x)=x(2x+1)(x-a)為奇函數(shù),則a= .?
答案 12
解析 由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)得定義域xx∈R,x≠-12且x≠a關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,則a=12.
3.(2018江蘇蘇州張家港月考)等差數(shù)列{an}中,S30=930,d=2,則a3+a6+…+a30= .?
答案 330
解析 ∵S30=930,d=2,∴30a1+30×292×2=930,解得a1=2.
∴a3=2+2×2=6
15、,數(shù)列{a3n}的公差=3d=6,則a3+a6+…+a30=10×6+10×92×6=330.
4.已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R滿足f(-x)=f(x),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?
答案 (2,+∞)
解析 由函數(shù)f(x)對任意的x∈R滿足f(-x)=f(x),得該函數(shù)是偶函數(shù),因?yàn)閒(x)有4個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-ax+1有2個(gè)零點(diǎn),所以Δ=(-a)2-4>0,a2>0,a>0,1>0,解得a>2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).
5.已知函數(shù)f(x)=2sin x+1(x∈[0,2π]),若函數(shù)
16、h(x)=|f(x)|+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是 .?
答案 {a|-3
17、,2)=2xF=2?xF=1,即F(1,2),所以AE·BF=(2,1)·(1-2,2)=2×(1-2)+2=2.
7.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 條件.?
答案 充分不必要
解析 由存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,則m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.
8.(2019江蘇南京模擬)已知常數(shù)a≠0, f(x)=aln x+2x.
(1)當(dāng)a=-4時(shí),求f(x)的極值;
(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于-a時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18、解析 (1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f '(x)=ax+2=a+2xx.當(dāng)a=-4時(shí), f '(x)=2x-4x.
所以當(dāng)02時(shí), f '(x)>0,即f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)只有極小值,且在x=2時(shí), f(x)取得極小值f(2)=4-4ln 2.所以當(dāng)a=-4時(shí), f(x)只有極小值4-4ln 2,無極大值.
(2)因?yàn)閒 '(x)=a+2xx,所以當(dāng)a>0,x∈(0,+∞)時(shí), f '(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,沒有最小值;
當(dāng)a<0時(shí),由f '(x)>0得,x>-a2,所以f(x)在-a2,+∞上單調(diào)遞增,由f '(x)<0得,x<-a2,所以f(x)在0,-a2上單調(diào)遞減.所以當(dāng)a<0時(shí), f(x)的最小值為f-a2=aln-a2+2-a2,
根據(jù)題意得aln-a2+2-a2≥-a,即a[ln(-a)-ln 2]≥0.
因?yàn)閍<0,所以ln(-a)-ln 2≤0,解得a≥-2,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0).
8