(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí)(含解析)
《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí)(含解析)(16頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 [做真題] 題型一 等差數(shù)列 1.(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則( ) A.a(chǎn)n=2n-5 B.a(chǎn)n=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析:選A.法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)? 所以 解得 所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故選A. 法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)? 所以 解得 選項(xiàng)A,a1=2×1-5=-3; 選項(xiàng)B,a1=3×1-10=-7,排除B; 選
2、項(xiàng)C,S1=2-8=-6,排除C; 選項(xiàng)D,S1=-2=-,排除D.故選A. 2.(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)?S3=S2+S4,所以3(3a1+d)=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,因?yàn)閍1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故選B. 3.(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為( ) A
3、.-24 B.-3 C.3 D.8 解析:選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a,即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2,又a1=1,所以d2+2d=0,又d≠0,則d=-2,所以a6=a1+5d=-9,所以{an}前6項(xiàng)的和S6=×6=-24,故選A. 4.(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1≠0,a2=3a1,則=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1, 所以====4. 答案:4 題型二 等比數(shù)列 1.(2019·高考全國(guó)
4、卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析:選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以q=2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4. 2.(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,
5、且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 解析:選B.每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為{an},則前7項(xiàng)的和S7=381,公比q=2,依題意,得S7==381,解得a1=3,故選B. 3.(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=,a=a6,則S5=________. 解析:通解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===. 優(yōu)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍=a6,所以a
6、2a6=a6,所以a2=1,又a1=,所以q=3,所以S5===. 答案: 4.(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. 解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=6.
7、 綜上,m=6. 題型三 等差、等比數(shù)列的判定與證明 (2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式. 解:(1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn). 又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. 由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因?yàn)閍1
8、-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1. 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-, bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. [山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見(jiàn)] 1.?dāng)?shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法 了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù). 2.等差數(shù)列、等比數(shù)列 (1)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念. (2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式. 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [典型例題] (1)已知等比數(shù)列{an}的
9、前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,=,則數(shù)列{an}的公比q為( ) A.4 B.2 C. D. (2)(2019·開(kāi)封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3. ①若a3+b3=7,求{bn}的通項(xiàng)公式; ②若T3=13,求Sn. 【解】 (1)選C.因?yàn)椋健?,所以q≠1.所以==1+q5,所以1+q5=,所以q=. (2)①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=3,得d+q=4,(*) 由a3+b3=7,得2d+q
10、2=8,(**) 聯(lián)立(*)(**),解得q=2或q=0(舍去), 因此數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1. ②因?yàn)門3=1+q+q2,所以1+q+q2=13, 解得q=3或q=-4, 由a2+b2=3,得d=4-q,所以d=1或d=8. 由Sn=na1+n(n-1)d, 得Sn=n2-n或Sn=4n2-5n. 等差、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略 (1)抓住基本量,首項(xiàng)a1、公差d或公比q; (2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項(xiàng)和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列; (3)由于等比
11、數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常采用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(多選)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對(duì)于任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則( ) A.a(chǎn)9=17 B.a(chǎn)10=18 C.S9=81 D.S10=91 解析:選BD.因?yàn)閷?duì)于任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),所以Sn-1-Sn=Sn-Sn-1+2,所以an+1-an=2.所以數(shù)列{an}在n≥2時(shí)是等差數(shù)列,公差為2,又a1=1,a2=2,則a9=2+7×2=16,a10=
12、2+8×2=18,S9=1+8×2+×2=73,S10=1+9×2+×2=91.故選BD. 2.(一題多題)(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.若a3=4,a2a6=64,則S5=( ) A.32 B.31 C.64 D.63 解析:選B.通解:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)閍n>0,所以q>0,由條件得,解得,所以S5=31,故選B. 優(yōu)解:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)閍n>0,所以q>0,由a2a6=a=64,a3=4,得q=2,a1=1,所以S5=31,故選B. 3.(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列,Sn
13、為其前n項(xiàng)和,已知S1,S2,S4成等比數(shù)列,且a3=5,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______. 解析:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(a1+a2)2=a1(a1+a2+a3+a4),因?yàn)閍3=5,所以(5-2d+5-d)2=(5-2d)(5-2d+15),解得d=2或d=0(舍去),所以5=a1+(3-1)×2,即a1=1,所以an=2n-1. 答案:an=2n-1 等差(比)數(shù)列的性質(zhì) [典型例題] (1)在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,則的值為( ) A.-
14、 B.- C. D.-或 (2)(2019·長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè))設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,則λ=( ) A. B. C.2 D.3 (3)(2019·福建漳州質(zhì)檢改編)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a2+a9+a19=6,則a10=________,S19=________. 【解析】 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,則a9=-,所以==a9=-,故選B. (2)因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n
15、項(xiàng)和, 若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8, 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得:S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列, 所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8), 所以2(3S4-S4)=S4+(λ·3S4-3S4), 解得λ=2. (3)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a2+a9+a19=3(a1+9d)=3a10=6,所以a10=2,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得S19==19a10=38. 【答案】 (1)B (2)C (3)2 38 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略 抓關(guān)系 抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)
16、入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解 用性質(zhì) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(一題多解)(2019·福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,則a33=( ) A.82 B.97 C.100 D.115 解析:選C.通解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由得解得所以a33=a1+32d=4+32×3=100,故選C. 優(yōu)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a8-a5=9,得3d=9,即d=3.由S8-S5=66,得a6+a7+a8=66,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)知3a7
17、=66,即a7=22,所以a33=a7+(33-7)×d=22+26×3=100,故選C. 2.(一題多解)(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則Sn取得最大值時(shí)n的值為( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:選D.法一:設(shè){an}的公差為d,則由題意得,解得所以an=-2n+17,由于a8>0,a9<0,所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8,故選D. 法二:設(shè){an}的公差為d,則由題意得,解得則Sn=15n+×(-2)=-(n-8)2+64,所以當(dāng)n=8時(shí),Sn取得最大值,故選D. 3.(一題多解)已知數(shù)列{an}
18、滿足an=若對(duì)于任意的n∈N*都有an>an+1,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.
解析:法一:因?yàn)閍n>an+1,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,所以解得<λ<.
所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
法二:因?yàn)閍n>an+1恒成立,所以0<λ<1.
若0<λ≤,則當(dāng)n<6時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列或常數(shù)列,不滿足對(duì)任意的n∈N*都有an>an+1;
若<λ<1,則當(dāng)n<6時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,當(dāng)n≥6時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,又對(duì)任意的n∈N*都有an>an+1,所以a6 19、)數(shù)列的判定與證明
[典型例題]
(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n≥2).
(1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并判斷n,an,Sn是否成等差數(shù)列?
【解】 (1)證明:因?yàn)閍3=7,a3=3a2-2,所以a2=3,
所以an=2an-1+1,
所以a1=1,
==2(n≥2),
所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,an+1=2n,
所以an=2n-1,
所以Sn=-n=2n+1-n-2,
所以n+Sn-2an= 20、n+(2n+1-n-2)-2(2n-1)=0,
所以n+Sn=2an,
即n,an,Sn成等差數(shù)列.
判斷(證明)等差(比)數(shù)列應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明,其他方法最后都會(huì)回到定義,如證明等差數(shù)列可以證明通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù),但最后還得使用定義才能說(shuō)明其為等差數(shù)列.
(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時(shí),不能僅僅證明an+1=qan,還要說(shuō)明a1≠0,才能遞推得出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零,最后判定數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an+1-3an=3n(n 21、∈N*)且a1=1.
(1)設(shè)bn=,證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)證明:由已知得an+1=3an+3n,得bn+1===+1=bn+1,
所以bn+1-bn=1,又a1=1,所以b1=1,
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,bn==n,所以an=n·3n-1,cn=,
所以Sn===-.
2.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意的n∈N*,都有Sn=2-an,數(shù)列{bn}滿足b1=2a1,bn=(n≥2,n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
22、(2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2-a1,解得a1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=an-1-an,即=(n≥2,n∈N*).
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)因?yàn)閍1=1,所以b1=2a1=2.
因?yàn)閎n=,
所以=+1,
即-=1(n≥2).
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為,
公差為1的等差數(shù)列.
所以=+(n-1)·1=,
故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=.
數(shù)列與新定義相交匯問(wèn)題
[典型例題]
對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A=(a 23、1,a2,a3,…),定義新序列ΔA=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),它的第n項(xiàng)為an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1,且a12=a22=0,則a2=________.
【解析】 令bn=an+1-an,依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,所以bn=b1+(n-1)×1,
a1=a1,
a2-a1=b1,
a3-a2=b2,
…
an-an-1=bn-1,
累加得an=a1+b1+…+bn-1=a1+(n-1)b1+=(n-1)a2-(n-2)a1+,
分別令n=12,n=22,
得
解得a1=,a2=100.
【答案】 100
數(shù)列 24、新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路
(1)閱讀審清“新定義”.
(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí).
(3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí),求解證明相關(guān)結(jié)論.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1.對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an+1-an=2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.2 B.2n
C.2n+1-2 D.2n-1-2
解析:選C.因?yàn)閍n+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a 25、1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,所以Sn==2n+1-2.
2.(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=,=,n∈N+,且bn=.記Pn=b1×b2×…×bn,Sn=b1+b2+…+bn,則3n+1Pn+Sn=________.
解析:因?yàn)椋剑剑?,所以bn==-,所以Sn=b1+b2+…+bn=++…+=-.因?yàn)椋?,所以bn==,所以Pn=b1×b2×…×bn=××…×=.又a1=,故3n+1Pn+Sn=+-==3.
答案:3
一、選擇題
1.(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1.若數(shù)列為等差數(shù)列, 26、則a9=( )
A. B.
C. D.-
解析:選C.因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,a3=2,a7=1,
所以數(shù)列的公差d===,所以=+(9-7)×=,所以a9=,故選C.
2.(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=2,S3=-6,則S5=( )
A.18 B.10
C.-14 D.-22
解析:選D.法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,得,解得,所以S5==-22,故選D.
法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,易知q≠1,令A(yù)=,則Sn=Aqn-A,,解得,所以Sn=[(-2)n-1],所以S5=×[(-2)5-1]=-22,故選D. 27、
3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,則tan 的值是 ( )
A.- B.-1
C.- D.
解析:選A.依題意得,a=(-)3,3b6=7π,所以a6=-,b6=,所以==-,故tan=tan=tan=-tan=-,故選A.
4.(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),a5+a7-a=0,則S11的值為( )
A.11 B.12
C.20 D.22
解析:選D.通解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則由(a1+4d)+(a1+6 28、d)-(a1+5d)2=0,得(a1+5d)(a1+5d-2)=0,所以a1+5d=0或a1+5d=2,又a1>0,所以a1+5d>0,則a1+5d=2,則S11=11a1+d=11(a1+5d)=11×2=22,故選D.
優(yōu)解:因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質(zhì),并結(jié)合a5+a7-a=0,得2a6-a=0,a6=2,則S11===11a6=22,故選D.
5.等差數(shù)列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又|a6|=|a11|,所以 29、-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,則a8=-<0,a9=>0,所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值,故選C.
6.(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則下列命題正確的是( )
A.?dāng)?shù)列{|an|}是等比數(shù)列
B.?dāng)?shù)列{anan+1}是等比數(shù)列
C.?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
D.?dāng)?shù)列{lg a}是等比數(shù)列
解析:選ABC.因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以=q.對(duì)于A,==|q|,所以數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列,A正確;對(duì)于B,=q2,所以數(shù)列{anan+1}是等比數(shù)列,B正確;對(duì)于C,==,所以數(shù)列是等比數(shù)列,C正確;對(duì)于D,==,不一定是常數(shù),所以D錯(cuò)誤.
二、填空題 30、
7.(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=7.當(dāng)n∈N*時(shí),an+2是乘積an·an+1的個(gè)位數(shù),則a2 019=________.
解析:a1=3,a2=7,a1a2=21,a3=1,a2a3=7,a4=7,a3a4=7,a5=7,a4a5=49,a6=9,a5a6=63,a7=3,a6a7=27,a8=7,a7a8=21,a9=1,a8a9=7,所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列,又2 019=6×336+3,所以a2 019=a3=1.
答案:1
8.在數(shù)列{an}中,n∈N*,若=k(k為常數(shù)),則稱{an}為“等差比數(shù)列”,下列是對(duì)“等差比數(shù)列” 31、的判斷:
①k不可能為0;
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
④“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確判斷的序號(hào)是________.
解析:由等差比數(shù)列的定義可知,k不為0,所以①正確,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí),等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以②錯(cuò)誤;當(dāng){an}是等比數(shù)列,且公比q=1時(shí),{an}不是等差比數(shù)列,所以③錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0,所以④正確.
答案:①④
9.(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=f(x-1)+1,則g(x)的圖象關(guān)于_____ 32、___對(duì)稱,若an=g+g+g+…+g(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)閒(x)=,所以f(-x)===-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)間(x)=f(x-1)+1,所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,若x1+x2=2,則有g(shù)(x1)+g(x2)=2,所以an=g+g+g+…+g=2(n-1)+g(1)=2n-2+f(0)+1=2n-1,即an=2n-1,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
答案:(1,1) an=2n-1
三、解答題
10.(2019·昆明市診斷測(cè)試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q<1,若a2=2,a1+a2 33、+a3=7.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解:(1)由已知得,
則或(舍去).
所以an=4×=23-n.
(2)因?yàn)閎n=log2an=log223-n=3-n,所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為-1的等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,
則Tn==.
11.(2019·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-9,前三項(xiàng)的積為-15.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{an}為遞增數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則依題意得a2=-3,則 34、a1=-3-d,a3=-3+d,
所以(-3-d)(-3)(-3+d)=-15,得d2=4,d=±2,
所以an=-2n+1或an=2n-7.
(2)由題意得an=2n-7,所以|an|=,
①n≤3時(shí),Sn=-(a1+a2+…+an)=n=6n-n2;
②n≥4時(shí),Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2.
綜上,數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn=.
12.(2019·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,a3=7,且對(duì)任意的n∈N*,都有an-2an+1+an+2=0,數(shù)列{bn}滿足bn=a2 35、n-1,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值.
解:(1)令n=1得,a1-2a2+a3=0,解得a2=5.
又由an-2an+1+an+2=0知,an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1=2,
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,
于是an=2n+1,bn=a2n-1=2n+1.
(2)由(1)知,bn=2n+1.
于是b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+n=+n=2n+1+n-2.
令f(n)=2n+1+n-2,易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù),
又f(9)=210+9-2=1 031,f(10)=211+10-2=2 056,
故使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10.
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