《2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習課 第2課時 圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質(zhì)練習（含解析）新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習課 第2課時 圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質(zhì)練習（含解析）新人教A版選修2-1（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2課時 圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質(zhì)
課后篇鞏固提升
基礎(chǔ)鞏固
1.已知橢圓x29+y2n2=1(n>0)與雙曲線x24-y2m2=1(m>0)有相同的焦點,則動點P(n,m)的軌跡是( )
A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分
C.拋物線的一部分 D.圓的一部分
解析∵橢圓x29+y2n2=1與雙曲線x24-y2m2=1有相同的焦點,∴9-n2=4+m2,即m2+n2=5(00,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B
2、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
解析
由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作EF⊥CD于點E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因為點F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因為e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C.
答案C
3.已知
3、點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),MA=-4MB,若拋物線y2=ax經(jīng)過A和B兩點,則a的值為( )
A.2 B.-2 C.-4 D.4
解析∵A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),
∴直線AB的方程為y=43(x-1),與y2=ax聯(lián)立可得y2-34ay-a=0.∴y1+y2=34a,①
y1y2=-a,②
∵MA=-4MB,∴y1=-4y2.③
由①②③可得a=4.故選D.
答案D
4.如果過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,那么直線l的斜率k的取值范圍是(
4、 )
A.-∞,-22 B.22,+∞
C.-12,12 D.-22,22
解析設(shè)過點M(-2,0)的直線l的方程為y=k(x+2),
聯(lián)立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0.
∵過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,∴Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)≥0,
整理得k2≤12,解得-22≤k≤22,
∴直線l的斜率k的取值范圍是-22,22.
故選D.
答案D
5.已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點P,使得由點P所作的圓C1的兩
5、條切線互相垂直,則橢圓C2的離心率的取值范圍是( )
A.22,32 B.12,1
C.32,1 D.22,1
解析設(shè)P(m,n),由題意知m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1,
∴e2m2=b2,又0<|m|b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|12≤λ≤2,∠F1PF2=π2,則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.0,22 B.22,53
C.23,53 D.53,1
解析設(shè)F1(-c,0),F2(c,0)
6、,由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a,
可設(shè)|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a.①
由∠F1PF2=π2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,
即為(λ2+1)t2=4c2.②
由②÷①2,可得e2=λ2+1(λ+1)2.
令m=λ+1,可得λ=m-1,
即有λ2+1(λ+1)2=m2-2m+2m2=21m-122+12.
由12≤λ≤2,可得32≤m≤3,即13≤1m≤23,
則當m=2時,取得最小值12;
當m=32或m=3時,取得最大值59.
即有12≤e2≤59,解得22≤e≤53.
故選B.
答案B
7.(2018江蘇
7、高考)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值為 .?
解析因為雙曲線的右焦點F(c,0)到漸近線y=±bax的距離為|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因為a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2.
答案2
8.拋物線y2=-8x上到焦點距離等于6的點的坐標是 .?
解析∵拋物線方程為y2=-8x,可得2p=8,p2=2,
∴拋物線的焦點為F(-2,0),準線為x=2.
設(shè)拋物線上點P(m,n),到焦點F的距離等于6,
根據(jù)拋
8、物線的定義,得點P到F的距離等于P到準線的距離,即|PF|=-m+2=6,解得m=-4,
∴n2=8m=32,可得n=±42,
因此,點P的坐標為(-4,±42).
答案(-4,±42)
9.(2019全國Ⅰ高考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若F1A=AB,F1B·F2B=0,則C的離心率為 .?
解析如圖,
由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.
又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.
由F1B·F2B=0,得F1B⊥F2B.則O
9、A⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.
故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.
則ba=tan60°=3.
所以e=ca=1+ba2=1+3=2.
答案2
10.
(2018江蘇高考)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點3,12,焦點為F1(-3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1F2.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線l與橢圓C交于A,B兩點.若△OAB的面積為267,求直線l的方程.
解(1)因為橢圓C的焦點為F1(-3
10、,0),F2(3,0),
可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
又點3,12在橢圓C上,
所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.
因此,橢圓C的方程為x24+y2=1.
因為圓O的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3,
所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0,
即y=-x0y0x+3y0.
由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得
(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)
因為
11、直線l與橢圓C有且只有一個公共點,
所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.
因為x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.
因此,點P的坐標為(2,1).
②因為三角形OAB的面積為267,
所以12AB·OP=267,從而AB=427.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2.
因為x02+y02=3,
所以AB2=16(
12、x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0,
解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此P的坐標為102,22.
綜上,直線l的方程為y=-5x+32.
能力提升
1.已知點A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點為F,射線FA與拋物線相交于M,與其準線相交于點N,若|FM|∶|MN|=2∶5,則a=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析依題意點F的坐標為a4,0,設(shè)M在準線上的射影為K,
由拋物線的定義知|MF|=|MK|,
∴|FM|∶|MN|=2∶5,
則|KN|∶|KM|=1∶2,kFN=0-1a4
13、-0=-4a,kFN=-12.
∴4a=2,求得a=2.故選A.
答案A
2.(2019全國Ⅲ高考)雙曲線C:x24-y22=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點.若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為( )
A.324 B.322 C.22 D.32
解析由已知可得a=2,b=2,
則c=a2+b2=6,∴F(6,0).
∵|PO|=|PF|,∴xP=62.
又P在C的一條漸近線上,不妨設(shè)在漸近線y=22x上,
∴yP=22×62=32.
∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6×32=324.故選A.
答案A
3.(2019全國Ⅲ高考)設(shè)F
14、1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為 .?
解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.
由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.
設(shè)點M的坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0),
則S△MF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0.
又S△MF1F2=12×4×82-22=415,
∴4y0=415,解得y0=15.
又點M在橢圓C上,∴x0236+(15)220=1,
解得x0=3或x0=-3(
15、舍去).
∴點M的坐標為(3,15).
答案(3,15)
4.(2018北京高考)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為 ;雙曲線N的離心率為 .?
解析根據(jù)題意可畫出下圖,其中BD和AC為雙曲線的漸近線,
ABF2CDF1是正六邊形.
由題意可知∠BOF2=π3,故雙曲線的漸近線BD的方程為y=nmx=3x,故雙曲線的離心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2.
設(shè)AB=x,由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=3
16、x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=3-1.
答案3-1 2
5.(2018全國Ⅱ高考)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)
17、=4k2+4k2.
由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則
y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.
解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.
因此所求圓的方程為
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
6.已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為22,且一個焦點坐標為(2,0).
(1)求橢圓M的方程;
(2)設(shè)直
18、線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點,求點O到直線l的距離的最小值.
解(1)由題意可設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∴ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,
∴橢圓M的方程為x24+y22=1.
(2)當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=4,化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
∴x0=x1+x2=-4km1+2k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.
∵點P在橢圓M上,∴x024+y022=1.
∴4k2m2(1+2k2)2+2m2(1+2k2)2=1,化為2m2=1+2k2,滿足Δ>0.
又點O到直線l的距離d=|m|1+k2=12+k21+k2
=1-12(1+k2)≥1-12=22.
當且僅當k=0時取等號.
當直線l無斜率時,由對稱性可知:點P一定在x軸上,從而點P的坐標為(±2,0),直線l的方程為x=±1,∴點O到直線l的距離為1.
∴點O到直線l的距離的最小值為22.
9
2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習課 第2課時 圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質(zhì)練習（含解析）新人教A版選修2-1
