（課標通用版）2020版高考數學大一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數 第5講 函數的圖象與性質的綜合檢測 文

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1、第5講 函數的圖象與性質的綜合 [基礎題組練] 1．下列函數中，是奇函數且在(0，1)內是減函數的是(　　) ①f(x)＝－x3；②f(x)＝；③f(x)＝－sin x；④f(x)＝xe|x|. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 解析：選A.對于①，f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，且在(0，1)內，若x1f(x2)，故①滿足題意；對于②，f(－x)＝＝＝f(x)，則f(x)是偶函數，故②不滿足題意；對于③，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，且在(0，1)內，若x1f(x2)，故③滿足題意；對

2、于④，f(－x)＝－xe|－x|＝－xe|x|＝－f(x)，但f(x)在(0，1)內是增函數，故④不滿足題意．綜上，選A. 2．函數f(x)＝的圖象大致是(　　) 解析：選C.因為f(－x)＝＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A，B.因為f′(x)＝＝>0，所以函數f(x)在R上是增函數，排除D.故選C. 3．若偶函數y＝f(x)為R上周期為6的周期函數，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于________． 解析：因為y＝f(x)為偶函數，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)， 所以f(x)＝x2＋(1

3、－a)x－a，1－a＝0. 所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)． f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1. 答案：－1 4．使log2(－x)

4、)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數． 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4) ＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數與f(x＋2)＝－f(x)， 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 從而可知函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 設當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. 6．已

5、知函數f(x)＝|x|(x－a)，a>0， (1)作出函數f(x)的圖象； (2)寫出函數f(x)的單調區(qū)間； (3)當x∈[0，1]時，由圖象寫出f(x)的最小值． 解：(1)f(x)＝ 其圖象如圖． (2)由圖知，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)，；單調遞減區(qū)間是. (3)由圖象知，當>1，即a>2時，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a； 當0<≤1，即0

6、＝(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析：選D.因為函數f(x)與g(x)的圖象關于直線y＝x對稱，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因為函數f(x)為偶函數，所以f(－2)＝f(2)＝3.故選D. 2．(2019·長春質量檢測(二))定義在R上的奇函數f(x)，滿足在(0，＋∞)上單調遞增，且f(－1)＝0，則f(x＋1)>0的解集為(　　) A．(－∞，－2)∪(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞) 解析：選D.因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0.因為

7、f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以當01時，f(x)>0.由奇函數性質可得，當x<－1時，f(x)<0；當－10.因為f(x＋1)>0，所以x＋1>1或－1

8、象可以由y＝的圖象向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，所以函數f(x)的圖象關于點(1，2)中心對稱，A正確，D錯誤；易知函數f(x)在(－∞，1)上單調遞減，故B錯誤．易知函數f(x)的圖象是由y＝的圖象平移得到的，所以不存在兩點A，B使得直線AB∥x軸，C錯誤．故選A. 4．已知函數f(x)在[0，4]上是增函數，且函數y＝f(x＋4)是偶函數，則下列結論正確的是(　　) A．f(2)

9、＝f(x＋4)的圖象關于直線x＝0對稱，所以函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝4對稱，所以f(5)＝f(3)，又函數y＝f(x)在[0，4]上是增函數，所以f(2)

10、＝f(2)＝－f(－2)＝1. 答案：1 6．(2019·廣州五校聯(lián)考)已知函數f(x)＝若f(3－a2)2a，解得－3

11、函數，求x的取值范圍． 解：(1)因為對于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)為偶函數．證明如下： 令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數． (3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數， 所以f(x－1)<2，等價于f(|x－1|)

12、)上是增函數， 所以0<|x－1|<16，解得－150)在區(qū)間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，求這四個根的和． 解：因為f(x)為奇函數并且f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)， 即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱， 并且是周期為8的周期函數． 因為f(x)在[0，2]上是增函數， 所以f(x)在[－2，2]上是增函數，在[2，6]上是減函數． 據此可畫出y＝f(x)圖象的草圖(如圖)： 其圖象也關于直線x＝－6對稱， 所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 6