(2019高考題 2019模擬題)2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練(六)理(含解析)

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1、基礎(chǔ)鞏固練(六) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘. 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2019·吉林省名校一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則|z|=(  ) A.1 B. C.3 D. 答案 D 解析 ∵復(fù)數(shù)z滿足=i,∴z-i=2i+1,可得z=3i+1.則|z|==.故選D. 2.(2019·長春高三質(zhì)量監(jiān)測)命題“?x∈R,ex≥x+1”的否定是(  ) A.?x∈R,ex

2、1 C.?x?R,ex

3、sinx=-,作出函數(shù)y=sinx和y=-在(0,2π)內(nèi)的圖象,由圖象知兩個函數(shù)此時有兩個不同的交點(diǎn),綜上,f(x)在(0,2π)內(nèi)有四個零點(diǎn),排除B,C.故選A. 4.(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力

4、定律,r滿足方程: +=(R+r). 設(shè)α=.由于α的值很小,因此在近似計算中≈3α3,則r的近似值為(  ) A. R B. R C. R D. R 答案 D 解析 由α=得r=αR,代入+=(R+r),整理得=. 又∵≈3α3,∴3α3≈,∴α≈ , ∴r=αR≈ R.故選D. 5.(2019·秦州區(qū)校級三模)數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長四尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.如下圖,是源于其思想的一個程序框圖.若輸入的a,b分別為8,2,則輸出的n=(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 n=1,

5、a=8+4=12,b=4,a<b否,n=2; n=2,a=12+6=18,b=8,a<b否,n=3; n=3,a=18+9=27,b=16,a<b否,n=4; n=4,a=27+=40.5,b=32,a<b否,n=5; n=5,a=40.5+20.25=60.75,b=64,a<b是, 輸出n=5,故選B. 6.(2019·昆明市第一次摸底)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動,社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳等四個項(xiàng)目,每人限報其中一項(xiàng),記事件A為“4名同學(xué)所報項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項(xiàng)目,則P(A|B)的值為(  )

6、A. B. C. D. 答案 C 解析 P(B)=,P(AB)=,P(A|B)==.故選C. 7.(2019·衡陽市八中模擬)若x,y滿足2y≤x≤y-1,則的取值范圍是(  ) A.∪ B. C.∪ D. 答案 B 解析 由x,y滿足2y≤x≤y-1,作可行域如圖中陰影部分所示,聯(lián)立解得A(-2,-1).∵的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與Q(0,2)連線的斜率,∴動點(diǎn)位于A時,max==,又直線2y=x的斜率為,則的取值范圍為.故選B. 8.(2019·貴州省黔東南州一模)已知函數(shù)f(x)=2x3-(6a+3)x2+12ax+16a2(a<0)只有一個零點(diǎn)x0,

7、且x0<0,則a的取值范圍為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 f′(x)=6(x-1)(x-2a),a<0,當(dāng)x<2a或x>1時,f′(x)>0,當(dāng)2a<x<1時,f′(x)<0,故函數(shù)f(x)的極小值是f(1)=16a2+6a-1,∵x0<0, ∴16a2+6a-1>0,又a<0,則a<-,故選A. 9.(2019·山東日照一模)正方形ABCD的邊長為2,E是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),且·=2,則(+)2的最小值為(  ) A. B.12 C. D.13 答案 C 解析 建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線AB為x軸,直線AD為y軸的平面直角坐標(biāo)系

8、.設(shè)E(x,y),x∈(0,2),y∈(0,2),則=(x,y),=(2,2),由·=2x+2y=2,得x+y=1.所以(+)2=(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4(x+y)+8=2x2-2x+13=22+,所以當(dāng)x=時,(+)2的最小值為. 10.(2019·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)一個正三棱錐(底面積是正三角形,頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的中心)的四個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,球心在三棱錐的底面所在平面上,則該正三棱錐的體積是(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 如圖,設(shè)正三棱錐的底面中心為O,連接OP,延長CO交AB于點(diǎn)D,則CD=OC. ∵O是正三

9、棱錐P-ABC的外接球的球心, ∴OP=OC=1,∴CD=,∴BC=. ∴VP-ABC=S△ABC·OP=××()2×1=.故選C. 11.(2019·浙江高考)設(shè)a,b∈R,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+b,n∈N*,則(  ) A.當(dāng)b=時,a10>10 B.當(dāng)b=時,a10>10 C.當(dāng)b=-2時,a10>10 D.當(dāng)b=-4時,a10>10 答案 A 解析 解法一:考察選項(xiàng)A,a1=a,an+1=a+b=a+,∵2=a-an+≥0,∴a≥an-. ∵an+1=a+>0,∴an+1≥an-+=an+>an,∴{an}為遞增數(shù)列.因此,當(dāng)a1=0時,a10

10、取到最小值,現(xiàn)對此情況進(jìn)行估算.顯然,a1=0,a2=a+=,a3=a+=,a4=a+=,當(dāng)n>1時,an+1>a,∴l(xiāng)g an+1>2lg an,∴l(xiāng)g a10>2lg a9>22·lg a8>…>26lg a4=lg a,∴a10>a=64=C+C1+C2+…+C64=1+64×+×+…+64=1+4+7.875+…+64=12.875+…+64>10,因此符合題意,故選A. 解法二:由已知可得an+1-an=a+b-an=2+b-.對于選項(xiàng)B,當(dāng)a=,b=時,an=恒成立,所以排除B;對于選項(xiàng)C,當(dāng)a=2或-1,b=-2時,an=2或-1恒成立,所以排除C.對于選項(xiàng)D,當(dāng)a=,b=-4

11、時,an=恒成立,所以排除D.故選A. 12.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1).若對任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,則m的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1),∴當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)∈. ∵f(x+1)=2f(x),∴當(dāng)x∈(-1,0]時,x+1∈(0,1],f(x)=f(x+1)=(x+1)x,f(x)∈; 當(dāng)x∈(-2,-1]時,x+1∈(-1,0],f(x)=f(x+1)=f(x+2)=(x+2)(

12、x+1),f(x)∈; …; 當(dāng)x∈(1,2]時,x-1∈(0,1],f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2),f(x)∈; 當(dāng)x∈(2,3]時,x-1∈(1,2],f(x)=2f(x-1)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),f(x)∈[-1,0]; …. f(x)的圖象如圖所示. 若對任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,則有2

13、中二模)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________. 答案 40 解析 由題意即求(2x-y)5的展開式中x2y3與x3y2的系數(shù)和. Tr+1=(-1)rC(2x)5-ryr. x2y3的系數(shù)為(-1)3C·22=-40, x3y2的系數(shù)為(-1)2C·23=80,故所求系數(shù)為-40+80=40. 14.(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=ln x上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________. 答案 (e,1) 解析 設(shè)A(m,n),則曲線y=ln x在點(diǎn)A處的切線方程為

14、y-n=(x-m). 又切線過點(diǎn)(-e,-1),所以有n+1=(m+e). 再由n=ln m,解得m=e,n=1. 故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1). 15.(2019·東城二模)橢圓C1:+=1與曲線C2關(guān)于直線y=-x對稱,C1與C2分別在第一、二、三、四象限交于點(diǎn)P1,P2,P3,P4.若四邊形P1P2P3P4的面積為4,則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為________,C1的離心率為________. 答案 (1,1)  解析 橢圓C1:+=1關(guān)于直線y=-x對稱的曲線C2是+=1, 由橢圓的對稱性知四邊形P1P2P3P4是矩形,又點(diǎn)P2在直線y=-x上,所以四邊形P1P2P3P4是正方形,

15、點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,1),因?yàn)辄c(diǎn)P1(1,1)在橢圓上,所以+=1,解得b=,c===,所以C1的離心率為e==×=. 16.(2019·寶雞一模)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=4且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<3,則不等式f(ln x)>3ln x+1的解集為________. 答案 (0,e) 解析 設(shè)t=ln x, 則不等式f(ln x)>3ln x+1等價為f(t)>3t+1, 設(shè)g(x)=f(x)-3x-1, 則g′(x)=f′(x)-3, ∵f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<3, ∴g′(x)=f′(x)-3<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減, ∵f(1)=

16、4, ∴g(1)=f(1)-3-1=0, 則當(dāng)x>1時,g(x)<g(1)=0,即g(x)<0, 則此時g(x)=f(x)-3x-1<0, 則不等式f(x)>3x+1的解集為(-∞,1), 即f(t)>3t+1的解集為(-∞,1), 由ln x<1,解得0<x<e, 即不等式f(ln x)>3ln x+1的解集為(0,e). 三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答. (一)必考題:60分. 17.(本小題滿分12分)(2019·廣州畢業(yè)班綜合測試)△ABC的內(nèi)角A

17、,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ccosB=(3a-b)cosC. (1)求sinC的值; (2)若c=2,b-a=2,求△ABC的面積. 解 (1)解法一:因?yàn)閏cosB=(3a-b)cosC, 所以由正弦定理,得sinCcosB=(3sinA-sinB)cosC, 即sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosC, 所以sin(B+C)=3sinAcosC, 由于A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, 則sinA=3sinAcosC. 因?yàn)?

18、為ccosB=(3a-b)cosC, 所以由余弦定理,得 c·=(3a-b)·, 化簡得a2+b2-c2=ab, 所以cosC===. 因?yàn)?

19、=×15×=5. 18.(本小題滿分12分)(2019·柳州模擬)某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300): 空氣質(zhì)量指數(shù) (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 空氣質(zhì)量等級 1級優(yōu) 2級良 3級輕度污染 4級中度污染 5級重度污染 6級嚴(yán)重污染 該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率. (1)以這10天的

20、空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)估計2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良? (2)從這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,求恰好有一天空氣質(zhì)量良的概率; (3)從這10天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記ξ表示抽取空氣質(zhì)量良的天數(shù),求ξ的分布列和期望. 解 (1)由頻率分布直方圖,知這10天中1級優(yōu)1天,2級良2天,3~6級共7天. ∴這10天中空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良的概率為P=, ∵30×=9, ∴2018年11月中平均有9天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良. (2)記“從這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,恰有一天空氣質(zhì)量良”為事件A, 則P(A)==

21、,即恰好有一天空氣質(zhì)量良的概率為. (3)由題意,得ξ的所有可能取值為0,1,2, P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×=. 19.(本小題滿分12分)(2019·海淀二模)如圖1所示,在等腰梯形ABCD,BC∥AD,CE⊥AD,垂足為E,AD=3BC=3,EC=1.將△DEC沿EC折起到△D1EC的位置,使平面D1EC⊥平面ABCE,如圖2所示,點(diǎn)G為棱AD1上一個動點(diǎn). (1)當(dāng)點(diǎn)G為棱AD1的中點(diǎn)時,求證:BG∥平面D1EC; (2)求證:AB⊥平面D1BE;

22、 (3)是否存在點(diǎn)G,使得二面角G-BE-D1的余弦值為?若存在,求出AG的長;若不存在,請說明理由. 解 (1)證法一:在題圖1的等腰梯形ABCD內(nèi),過點(diǎn)B作AE的垂線,垂足為F,如圖3. 因?yàn)镃E⊥AD,所以BF∥EC. 又因?yàn)锽C∥AD,BC=CE=1,AD=3, 所以四邊形BCEF為正方形,AF=FE=ED=1,F(xiàn)為AE的中點(diǎn). 在題圖2中,連接GF,如圖4. 因?yàn)辄c(diǎn)G是AD1的中點(diǎn),所以GF∥D1E. 又因?yàn)锽F∥EC,GF∩BF=F,GF?平面BFG, BF?平面BFG,D1E?平面D1EC,EC?平面D1EC, 所以平面BFG∥平面D1EC. 又因?yàn)锽G?平面

23、GFB,所以BG∥平面D1EC. 證法二:在題圖1的等腰梯形ABCD內(nèi),過B作AE的垂線,垂足為F,如圖3. 因?yàn)镃E⊥AD,所以BF∥EC, 又因?yàn)锽C∥AD,BC=CE=1,AD=3, 所以四邊形BCEF為正方形,AF=FE=ED=1,得 AE=2, 所以BC∥AE,BC=AE. 在題圖2中設(shè)點(diǎn)M為線段D1E的中點(diǎn),連接MG,MC,如圖4. 因?yàn)辄c(diǎn)G是AD1的中點(diǎn), 所以GM∥AE,GM=AE, 所以GM∥BC,GM=BC, 所以四邊形MGBC為平行四邊形, 所以BG∥CM. 又因?yàn)镃M?平面D1EC,BG?平面D1EC, 所以BG∥平面D1EC. (2)

24、證明:因?yàn)槠矫鍰1EC⊥平面ABCE, 平面D1EC∩平面ABCE=EC, D1E⊥EC,D1E?平面D1EC, 所以D1E⊥平面ABCE. 又因?yàn)锳B?平面ABCE,所以D1E⊥AB. 又AB=,BE=,AE=2,滿足AE2=AB2+BE2, 所以BE⊥AB. 又BE∩D1E=E, 所以AB⊥平面D1BE. (3)因?yàn)镋A,EC,ED1三線兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系EACD1, 所以A(2,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),=(-2,0,1),=(1,1,0). 假設(shè)存在點(diǎn)G滿足題意, 設(shè)=λ,0≤λ≤1,則=λ(-2,0,1), 所以=+

25、=(2,0,0)+λ(-2,0,1)=(2-2λ,0,λ), 設(shè)平面GBE的法向量為m=(a,b,c), 所以 即 取a=λ,則m=(λ,-λ,2λ-2), 由(2),=(-1,1,0)為平面BED1的法向量, 令|cos〈,m〉|== =, 解得λ=或λ=2(舍去). 所以存在點(diǎn)G,使得二面角G-BE-D1的余弦值為,且=, 得AG=. 20.(本小題滿分12分)(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C:y=,D為直線y=-上的動點(diǎn),過D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B. (1)證明:直線AB過定點(diǎn); (2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形A

26、DBE的面積. 解 (1)證明:設(shè)D,A(x1,y1),則x=2y1. 因?yàn)閥′=x,所以切線DA的斜率為x1, 故=x1. 整理得2tx1-2y1+1=0. 設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0. 故直線AB的方程為2tx-2y+1=0. 所以直線AB過定點(diǎn). (2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+. 由可得x2-2tx-1=0. 于是x1+x2=2t,x1x2=-1, y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |AB|=|x1-x2| =×=2(t2+1). 設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離, 則d1=,d2=. 因此,四

27、邊形ADBE的面積S=|AB|(d1+d2)=(t2+3). 設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),則M. 因?yàn)椤?,而?t,t2-2),與向量(1,t)平行, 所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1. 當(dāng)t=0時,S=3;當(dāng)t=±1時,S=4. 因此,四邊形ADBE的面積為3或4. 21.(本小題滿分12分)(2019·重慶八中模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+aln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若函數(shù)f(x)存在兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,證明:x1f(x2)>x2f(x1). 解 (1)f′(x)=2x-2+=(x>0). 令u(x)=2x2-2

28、x+a,Δ=4-8a. ①當(dāng)Δ≤0時,解得a≥,則f′(x)≥0,此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; ②當(dāng)Δ>0時,解得a<,由f′(x)=0,解得x1=,x2=. f′(x)=. 當(dāng)0<a<時,x1,x2>0,此時函數(shù)f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增. 當(dāng)a≤0時,x1≤0,x2>0.此時函數(shù)f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)證明:函數(shù)f(x)存在兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,0<a<. 令g(x)==x-2+,x∈(0,+∞), g′(x)=1+a·=. 令u(x)=x2+a(1-ln x), 則u′(x)=2x-=,

29、可得x=時,u(x)取得最小值,u(x)≥u=+a>0, ∴g′(x)>0, ∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ∵0<x1<x2,∴>, 即x1f(x2)>x2f(x1). (二)選考題:10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分. 22.(本小題滿分10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·高安中學(xué)模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方

30、程為θ=α(0<α<π,ρ∈R),點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于極點(diǎn)O,且|AB|=2,求實(shí)數(shù)α的值. 解 (1)C1:(x-2)2+y2=4,C2:x2+(y-2)2=4. (2)由(1)知C1:(x-2)2+y2=4, 故其極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ. 由得ρA=4cosα, 同理可得ρB=4sinα, ∴|ρA-ρB|=4sin=2, ∴sin=, ∵0<α<π,∴α=或. 23.(本小題滿分10分)[選修4-5:不等式選講] (2019·南昌二中模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x-4|+|x+1|. (1)解不等式f(x)≤9; (2)若對于任意x∈(0,3),不等式f(x)<2x+a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)f(x)≤9可化為|2x-4|+|x+1|≤9, 即或或 解得2<x≤4或-1≤x≤2或-2≤x<-1, 所以不等式的解集為[-2,4]. (2)當(dāng)0;當(dāng)2

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