2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù) 學(xué)案

《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù) 學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù) 學(xué)案（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù) 1.通過具體實例,結(jié)合y=x,y=1x,y=x2,y=x12,y=x3的圖象,理解它們的變化規(guī)律,了解冪函數(shù). 2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題. 1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較 函數(shù) y=x y=x2 y=x3 y=x12 y=x-1 圖象 性 質(zhì) 定 義 域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值 域 R {y|y≥0}

2、R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 函數(shù) 奇函數(shù) 單 調(diào) 性 在R 上單 調(diào)遞增 在(-∞,0]上單調(diào)遞減;在(0,+∞)上單調(diào)遞增 在R 上單 調(diào)遞增 在[0,+∞)上單調(diào)遞增 在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減 公 共 點 (1,1) 1.冪函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)的兩個重要結(jié)論 (1)恒過點(1,1). (2)當(dāng)x∈(0,1)時,α越大,函數(shù)值越小;當(dāng)x∈(1,+∞)時,α越大,函數(shù)值越大. 2.兩個冪函數(shù)的圖象最多只有3個交點(如y=x,y=x3的圖象). 2.二次

3、函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),圖象的對稱軸方程是x=-b2a,頂點坐標(biāo)是(-b2a,4ac-b24a) 頂點式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),圖象的對稱軸方程是x=m,頂點坐標(biāo)是(m,n) 零點式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根,圖象的對稱軸方程是x=x1+x22 (2)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì) a>0 a<0 圖象 定義域 R 值域 [4ac-b24a,+∞) (-∞,4ac-b24a]

4、奇偶性 b=0時為偶函數(shù),b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 單調(diào)性 在(-∞,-b2a]上單調(diào)遞減,在(-b2a,+∞)上單調(diào)遞增 在(-∞,-b2a]上單調(diào)遞增,在(-b2a,+∞)上單調(diào)遞減 最值 當(dāng)x=-b2a時, ymin=4ac-b24a 當(dāng)x=-b2a時, ymax=4ac-b24a 二次函數(shù)圖象對稱軸的判斷方法 (1)對于二次函數(shù)y=f(x),如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),那么函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=x1+x22對稱. (2)二次函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖象

5、關(guān)于直線x=a對稱(a為常數(shù)). 1.(必修第一冊P91練習(xí)T1改編)已知冪函數(shù)f(x)=xa(a∈R)的圖象過點(16,2),若f(m)=3,則實數(shù)m的值為(　D　) A.9 B.12 C.27 D.81 解析:因為冪函數(shù)f(x)=xa(a∈R)的圖象過點(16,2),所以16a=2,解得a=14,即f(x)=x14. 因為f(m)=3,所以m14=3,解得m=81,所以實數(shù)m的值為81.故選D. 2.如圖是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限內(nèi)的圖象,則a,b,c的大小關(guān)系為(　D　) A.c

6、析:令x=2,結(jié)合圖象有2a<2c<2b,所以a0,22-4m<0,解得m>1.

7、 答案:(1,+∞) 5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)x=1時,f(x)有最大值4,且|a|=1,則它的解析式為　　　　.? 解析:因為f(x)有最大值,所以a<0.又|a|=1,所以a=-1.由題意得點(1,4)是拋物線的頂點.所以所求拋物線的解析式為f(x)=-(x-1)2+4,即f(x)=-x2+2x+3. 答案:f(x)=-x2+2x+3 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.已知函數(shù)f(x)=xk(k為常數(shù),k∈Q),在下列函數(shù)圖象中,不是函數(shù)y=f(x)圖象的是(　C　) 解析:函數(shù)f(x)=xk(k為常數(shù),k∈Q)為冪函數(shù),圖象不經(jīng)過第四象限,所以C中函數(shù)

8、圖象不是函數(shù)y=f(x)的圖象.故選C. 2.下列函數(shù)中,其定義域和值域不同的是(　D　) A.y=x13 B.y=x-12 C.y=x53 D.y=x23 解析:A中,y=x13=3x,因此定義域和值域都是R;B中,y=x-12=1x,因此函數(shù)的定義域和值域都是(0,+∞);C中,y=x53=3x5的定義域和值域都是R;D中,y=x23=3x2,因此定義域為R,值域為[0,+∞).故選D. 3.已知函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2是在(0,+∞)上單調(diào)遞增的冪函數(shù),則實數(shù)m=(　C　) A.0或-4 B.0或2 C.0 D.2 解析:因為(m-1)2=1,所以m=

9、0或2.當(dāng)m=0時,f(x)=x2,此時函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)m=2時,f(x)=x-2,不滿足題意.故選C. 4.若a=(12)?23,b=(15)?23,c=(12)?13,則a,b,c的大小關(guān)系是(　D　) A.ab=(15)?23,因為y=(12)x是減函數(shù),所以a=(12)?23

10、究. 2.比較冪值的大小時,若同底數(shù)的冪函數(shù)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較,若同指數(shù),可構(gòu)造冪函數(shù),利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小,若不同底數(shù)、指數(shù)時可利用中間變量或作差(作商)法比較. 注意:研究冪函數(shù)y=xα(α∈R)的奇偶性、定義域、值域時,若α是分數(shù)時,一般先將其化為根式,再求解. 二次函數(shù)的解析式 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)的解析式. 解:法一(利用“一般式”解題) 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由題意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7,

11、所以所求二次函數(shù)的解析式為 f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用“頂點式”解題) 設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因為f(2)=f(-1), 所以拋物線的對稱軸為x=2+(-1)2=12,所以 m=12. 又根據(jù)題意,函數(shù)有最大值8,所以n=8, 所以f(x)=a(x-12)2+8. 因為f(2)=-1,所以a(2-12)2+8=-1, 解得a=-4, 所以f(x)=-4(x-12)2+8=-4x2+4x+7. 法三(利用“零點式”解題) 由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1, 故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),

12、 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)有最大值8,即4a(-2a-1)-(-a)24a=8. 解得a=-4, 故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式,一般選擇規(guī)律如下: [針對訓(xùn)練] 1.已知二次函數(shù)f(x)的兩個零點分別是0和5,圖象開口向上,且f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為12,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　. 解析:設(shè)f(x)=ax(x-5)(a>0),其對稱軸為直線x=52,又f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為12,所以f(-1)=6a=12

13、,a=2. 所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10x. 答案:f(x)=2x2-10x 2.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c過點(0,0),且當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)取得最小值-4,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　.? 解析:因為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在x=2時,取得最小值-4,必有a>0, 則f(x)=a(x-2)2-4,而函數(shù)圖象過點(0,0),即f(0)=4a-4=0,解得a=1,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 答案:f(x)=x2-4x 3.(2021·廣東深圳高三一模)已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,且與直線y=

14、x相切,則滿足上述條件的二次函數(shù)可以為f(x)=　　　　.? 解析:因為二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以可設(shè)f(x)=ax2+c,由y=ax2+c,y=x得ax2-x+c=0,所以Δ=1-4ac=0,即ac=14.取a=1,c=14,則f(x)=x2+14. 答案:x2+14(答案不唯一) 二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用 　二次函數(shù)的圖象 (多選題)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.abc>0 B.b0 D.b2-4ac>0 解析:因為二次函數(shù)的圖象開口向下,所以a<0.因

15、為圖象的對稱軸為直線x=-b2a=1, 所以b=-2a>0.當(dāng)x=0時,y=c>0,所以abc<0,A錯誤; 當(dāng)x=-1時,y<0,所以a-b+c<0,所以b>a+c,B錯誤; 因為圖象的對稱軸為直線x=1,所以當(dāng)x=2與x=0時,函數(shù)值相等,因為當(dāng)x=0時,y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,C正確; 因為圖象與x軸有兩個不相同的交點,所以一元二次方程ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac>0,D正確.故選CD. 識別二次函數(shù)的圖象應(yīng)用學(xué)會“三看” (1)一看符號:看二次項系數(shù)的符號,它確定二次函數(shù)圖象的開口 方向. (2)二看對稱軸:看對稱軸和最值,它確定二次函數(shù)圖

16、象的具體位置. (3)三看特殊點:看函數(shù)圖象上的一些特殊點,如函數(shù)圖象與y軸的交點、與x軸的交點、函數(shù)圖象的最高點或最低點等. 　二次函數(shù)的單調(diào)性 已知函數(shù)f(x)=kx2-2x+4k在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　.? 解析:當(dāng)k=0時,f(x)=-2x在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,符合題意; 當(dāng)k>0時,函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1k,因為f(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,所以1k≥4,得k≤14,所以0

17、 二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略 (1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解. (2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解解析式中的參數(shù)的取值范圍問題,主要轉(zhuǎn)化為所給單調(diào)區(qū)間是原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集求解. 　含絕對值的可化為二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題 若函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|在區(qū)間[-3,0]上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(-∞,-9]∪{0}∪[3,+∞) B.(-∞,-3]∪{0}∪[9,+∞) C.[-9,3] D.[-3,9] 解析:f(x)=3x2-2ax+a2,x≥a,x

18、2+2ax-a2,x0,則f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+∞)上單調(diào)遞增, 若f(x)在[-3,0]上是單調(diào)函數(shù),則-a≤-3,則a≥3; 若a<0,則f(x)在(-∞,a3)上單調(diào)遞減,在(a3,+∞)上單調(diào)遞增, 若f(x)在[-3,0]上是單調(diào)函數(shù),則a3≤-3,所以a≤-9. 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-9]∪{0}∪[3,+∞).故選A. 解析式中含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性問題,應(yīng)根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)后求解. 　二次函數(shù)的最值

19、已知函數(shù)f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函數(shù)f(x)的最小值. 解:(1)當(dāng)a=0時,f(x)=-2x在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=-2. (2)當(dāng)a>0時,f(x)=ax2-2x的圖象開口向上且對稱軸方程為x=1a. ①當(dāng)0<1a≤1,即a≥1時, f(x)=ax2-2x圖象的對稱軸在(0,1]內(nèi), 所以f(x)在[0,1a)上單調(diào)遞減,在(1a,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1a)=1a-2a=-1a. ②當(dāng)1a>1,即0

20、以f(x)min=f(1)=a-2. (3)當(dāng)a<0時,f(x)=ax2-2x的圖象開口向下且對稱軸方程為x=1a<0,在y軸的左側(cè), 所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上單調(diào)遞減, 所以f(x)min=f(1)=a-2. 綜上所述,f(x)min=a-2,a<1,-1a,a≥1. 解決“二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值”問題一般先用配方法化為f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根據(jù)圖象的對稱軸方程x=h和所給區(qū)間并結(jié)合圖象求解. (1)對稱軸和區(qū)間都固定時,根據(jù)單調(diào)性和圖象直接求解. (2)若區(qū)間固定,對稱軸變動,這時要討論頂點橫坐標(biāo)是否在區(qū)間中;若對稱軸固定,區(qū)間

21、變動,這時要討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系,討論的目的是為了明確對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值或值域. [針對訓(xùn)練] 1.函數(shù)y=-ax+1與y=ax2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致為(　　) 解析:當(dāng)a>0時,y=-ax+1在x,y軸上的截距分別是1a>0,1,而y=ax2的圖象開口向上,頂點為原點且對稱軸為y軸,排除B; 當(dāng)a<0時,y=-ax+1在x,y軸上的截距分別是1a<0,1,而y=ax2的圖象開口向下,頂點為原點且對稱軸為y軸,排除C,D.故選A. 2.函數(shù)f(x)=-x2+2(1-m)x+3在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的取值范圍是(　　

22、) A.[-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,-3] 解析:函數(shù)f(x)=-x2+2(1-m)x+3的圖象的對稱軸為直線x=-2(1-m)-2=1-m, 因為函數(shù)f(x)=-x2+2(1-m)x+3在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞增, 所以1-m≥4,解得m≤-3,所以實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-3].故選D. 3.若函數(shù)f(x)=|x|(x-b)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A.(-∞,4] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 解析:因為x∈[0,2]時,f(x)=|x|(x-b)=x2-bx是減函數(shù),所以b

23、2≥2,解得b≥4.故選D. 4.若函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x+a-3在x∈[2,3]上的最小值為5-a,求實數(shù)a的取值范圍. 解:f(x)=x2-(a-2)x+a-3的對稱軸為直線 x=a-22,因為x∈[2,3], (1)若a-22≤2,即a≤6,則f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(2)=22-2(a-2)+a-3=5-a,符合題意. (2)若2

24、,則a=6,與60),已知f(m)<0,則(　　) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 解析:因為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=-12,f(0)=a>0,所以f(x)的大致圖象如圖所示. 由f(m)<0,得-1

25、1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.故選C. 若(2m+1)12>(m2+m-1)12,則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(-∞,-5-12] B.[5-12,+∞) C.(-1,2) D.[5-12,2) 解析:因為函數(shù)y=x12的定義域為[0,+∞),且在定義域內(nèi)為增函數(shù), 所以不等式等價于2m+1≥0,m2+m-1≥0,2m+1>m2+m-1, 解得m≥-12,m≤-5-12或m≥5-12,-1

26、3 B.m<-73或m>-1 C.m<-73 D.m<-53或m>-1 解析:因為f(x)=x2+(3m+5)|x|+1, f(-x)=(-x)2+(3m+5)|-x|+1=x2+(3m+5)|x|+1=f(x),所以f(x)為偶函數(shù). 因為f(x)=x2+(3m+5)|x|+1有四個單調(diào)區(qū)間,所以f(x)在y軸右側(cè)有兩個單調(diào)區(qū)間, 所以-3m+52>0,解得m<-53.故選A. 函數(shù)y=1x2-ax-a在[-2,-12]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:因為y=1x2-ax-a在[-2,-12]上單調(diào)遞增,所以f(x)=x2-ax-a在[-2,-12]上

27、單調(diào)遞減,則-12≤a2,即a≥-1. 同時需滿足f(-2)f(-12)>0,即14(a+4)(2a-1)<0,解得-4

28、解析:因為點(a,18)在冪函數(shù)f(x)=(a-1)xb的圖象上,所以a-1=1,解得a=2,則2b=18,解得b=-3,所以f(x)=x-3, 所以函數(shù)f(x)是定義域上的奇函數(shù),且在每一個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).故選B. 2.(2021·安徽合肥一中高三月考)已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n (n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n的值為(　B　) A.-3 B.1 C.2 D.1或2 解析:因為冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),所以n2+2n-2=1,n2-3n是偶數(shù),n2-3

29、n<0,解得n=1.故選B. 3.已知函數(shù)f(x)=1x2-2x-3,規(guī)定區(qū)間E,對任意x1,x2∈E,當(dāng)x10,得x>3或x<-1,當(dāng)x∈(-∞,-1)時,函數(shù)y=x2-2x-3是減函數(shù),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)=1x2-2x-3是增函數(shù),即(-∞,-1)為函數(shù)f(x)=1x2-2x-3的單調(diào)遞增區(qū)間,而(-3,-1)?(-∞,-1),所以(-3,-1

30、)可作為E.故選D. 4.在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx與冪函數(shù)y=xba(x>0)圖象的關(guān)系可能為(　A　) 解析:對于A,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向上,則a>0,其對稱軸x=-b2a>0,則ba<0,即冪函數(shù)y=xba(x>0)為減函數(shù),符合題意; 對于B,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向下,則a<0,其對稱軸x=-b2a>0,則ba<0,即冪函數(shù)y=xba(x>0)為減函數(shù),不符合題意; 對于C,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向上,則a>0,其對稱軸x=-b2a=-1,則ba=2,即冪函數(shù)y=xba=x2(x>0)為增函數(shù),且其增加的越

31、來越快,不符合題意; 對于D,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口向下,則a<0,其對稱軸x=-b2a>-12,則00)為增函數(shù),且其增加的越來越慢,不符合題意.故選A. 5.(多選題)(2021·福建閩江口高三聯(lián)考)若冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(27,3),則冪函數(shù)f(x)在定義域上是(　AC　) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.增函數(shù) D.減函數(shù) 解析:因為y=f(x)是冪函數(shù),設(shè)f(x)=xa(a∈R),而其圖象過點(27,3), 即f(27)=27a=3,解得a=13,于是得f(x)=x13,且f(x)的定義域為R, 顯然f(x)是定義在

32、R上的增函數(shù),C正確;f(-x)=(-x)13=-x13=-f(x),則f(x)為定義在R上的奇函數(shù),A正確.故選AC. 6.已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(1,13),且函數(shù)y=f(x-12)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　.? 解析:因為y=f(x-12)是偶函數(shù),有f(x-12)=f(-x-12),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-12對稱,即-b2=-12,故b=1,又圖象經(jīng)過點(1,13),所以f(1)=13,可得c=11,故f(x)=x2+x+11. 答案:f(x)=x2+x+11 7.(2021·江蘇常熟中學(xué)高三三模)已知函數(shù)f(x)同時滿足

33、①f(0)=0;②在[1,3]上單調(diào)遞減;③f(1+x)=f(1-x),則該函數(shù)的表達式可以是f(x)=　　　　.? 解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,可設(shè)f(x)為二次函數(shù),又f(0)=0且f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,所以可設(shè)f(x)=2x-x2. 答案:2x-x2(答案不唯一) 8.已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5,最小值2.若b<1,且函數(shù)g(x)=f(x)-mx在[2,4]上單調(diào),則m的取值范圍是　　　　　　.? 解析:由f(x)=a(x-1)2+2+b-a可得二次函數(shù)圖象的

34、對稱軸為直線x=1. 當(dāng)a>0時,f(x)在[2,3]上為增函數(shù), 可得9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2,所以a=1,b=0. 當(dāng)a<0時,f(x)在[2,3]上為減函數(shù), 可得9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5,解得a=-1,b=3(舍去). 則f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2. 因為g(x)在[2,4]上單調(diào), 所以2+m2≤2或m+22≥4,即m≤2或m≥6, 故m的取值范圍為(-∞,2]∪[6,+∞). 答案:(-∞,2]∪[6,+∞) 9.已知函數(shù)f(x)=x2+a|x-2|-4. (1)

35、當(dāng)a=2時,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值; (2)若f(x)在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2, 即f(x)=(x+1)2-9,x≥2,(x-1)2-1,x<2, 當(dāng)x∈[0,2)時,-1≤f(x)≤0; 當(dāng)x∈[2,3]時,0≤f(x)≤7, 所以f(x)在[0,3]上的最大值為7,最小值為-1. (2)因為f(x)=x2+ax-2a-4,x≥2,x2-ax+2a-4,x<2, 又f(x)在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x≥2時,f(x)

36、單調(diào)遞增,則-a2≤2,即a≥-4; 當(dāng)-1≤x<2時,f(x)單調(diào)遞增,則a2≤-1,即a≤-2, 且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立, 故實數(shù)a的取值范圍為[-4,-2]. 10.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(x+2)是偶函數(shù),則下列大小關(guān)系可能正確的是(　A　) A.f(2)f(-ba)>c D.f(-ba)

37、, 當(dāng)a>0時,f(2)是最小值,因此f(2)

38、-4x+2在區(qū)間[a,b]上的值域為[-2,2],則b-a的值可能是(　BCD　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2, 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[-2,2]. 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此時b-a取得最小值2;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),且當(dāng)b-a取最大值時,[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值為4,所以b-a的取值范圍是[2,4].故選BCD. 13.已知函數(shù)f(x)=2x

39、2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值為f(a),則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.? 解析:由題設(shè)知f(x)圖象的對稱軸為直線x=a4且開口向上, 所以當(dāng)a>0時,有-1a-12,即0

40、 綜上,a∈[2,+∞). 答案:[2,+∞) 14.已知f(x)=2x2+ax+b過點(0,-1),且滿足f(-1)=f(2). (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在[m,m+2]上的值域為[-32,3],求m的值; (3)若f(x0)=x0,則稱x0為y=f(x)的不動點,函數(shù)g(x)=f(x)-tx+t有兩個不相等的不動點x1,x2,且x1,x2>0,求x1x2+x2x1的最小值. 解:(1)因為f(x)=2x2+ax+b過點(0,-1), 所以f(0)=-1,解得b=-1,則f(x)=2x2+ax-1.因為f(-1)=f(2), 所以2-a-1=8+2a-1

41、,解得a=-2,所以f(x)=2x2-2x-1. (2)令f(x)=-32,解得x=12,令f(x)=3,解得x=-1或2, 因為f(x)在[m,m+2]上的值域為[-32,3], 所以當(dāng)m=-1時,f(x)在[-1,1]上的值域滿足題意; 當(dāng)m+2=2,即m=0時,f(x)在[0,2]上的值域滿足題意, 故m=-1或0. (3)g(x)=f(x)-tx+t=2x2-(2+t)x+t-1, 函數(shù)g(x)=f(x)-tx+t有兩個不相等的不動點x1,x2,且x1,x2>0, 即2x2-(2+t)x+t-1=x有兩個不相等的正實數(shù)根x1,x2, 即2x2-(t+3)x+t-1=0

42、有兩個不相等的正實數(shù)根x1,x2, 則Δ=(t+3)2-8(t-1)>0,x1+x2=t+32>0,x1x2=t-12>0,解得t>1, 則x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=(t+32)?2t-12-2=12[(t-1)+16t-1]+2≥2+12· 2(t-1)·16t-1=6, 當(dāng)且僅當(dāng)t=5時取等號,故x1x2+x2x1的最小值為6. 15.(多選題)已知f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1(k∈R).下列四個命題正確的是(　AB　) A.對任意實數(shù)x,存在k,使得f(x)>0 B.對任意k,存在實數(shù)x,使得f(x)>

43、0 C.對任意實數(shù)k,x,均有f(x)>0成立 D.對任意實數(shù)k,x,均有f(x)<0成立 解析:令f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1=0, 記Δ=(2k)2-4(3k2-3k+1)=-4(2k-1)(k-1), 因為f(x)為圖象開口向上的二次函數(shù),所以對任意k,總存在實數(shù)x使得f(x)>0,故B正確,D錯誤; 因為當(dāng)k∈(-∞,12)∪(1,+∞)時,Δ=-4(2k-1)(k-1)<0, 所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0無解, 所以f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1>0恒成立,故A正確; 因為當(dāng)k∈[12,1]時,Δ=-4(2k-1)(k-1)≥0,

44、 所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0有一根或兩根, 所以對任意x,f(x)>0不恒成立,故C錯誤.故選AB. 16.已知冪函數(shù)f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),滿足f(2)0),在區(qū)間[0,1]上的最大值為5,則m的值為　　　　.? 解析:因為f(x)是冪函數(shù),故k2+k-1=1,所以k=-2或k=1. 當(dāng)k=1時,f(x)=x2,滿足f(2)0), ①當(dāng)0