《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 54分專項練 54分專項練（三） 18、19、20、21（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 54分專項練 54分專項練（三） 18、19、20、21（含解析）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、54分專項練(三) 18、19、20、21
1．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acos B＋bsin A＝c.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝，△ABC的面積為，求b＋c的值．
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
3．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC＝2，D為A
2、B的中點，E為AC邊上一點，且AE＝2EC，沿DE把△ADE折起得到一個四棱錐P-BCED，使得PB＝，如圖②.
(1)證明：平面PDE⊥平面BCED；
(2)求直線PB與平面PCE所成角的正弦值．
4．某健身機構統(tǒng)計了去年該機構所有消費者的消費金額(單位：元)，如圖所示：
(1)將去年的消費金額超過3 200元的消費者稱為“健身達人”，現(xiàn)從所有“健身達人”中隨機抽取2人，求至少有1位消費者去年的消費金額超過4 000元的概率；
(2)針對這些消費者，該健身機構今年欲實行會員制，詳情如表所示：
會員等級
消費金額
普通會員
2 000
銀卡會
3、員
2 700
金卡會員
3 200
預計去年消費金額在(0，1 600]內(nèi)的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在(1 600，3 200]內(nèi)的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在(3 200，4 800]內(nèi)的消費者都將會申請辦理金卡會員．消費者在申請辦理會員時，需一次性繳清相應等級的消費金額．該健身機構在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現(xiàn)有如下兩種預設方案：
方案1：按分層抽樣從普通會員、銀卡會員、金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”給予獎勵．普通會員中的“幸運之星”每人獎勵500元，銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵600元，金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵80
4、0元．
方案2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從一個裝有3個白球、2個紅球(球只有顏色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個球．若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得200元獎勵金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎勵金；其他情況不給予獎勵．規(guī)定每位普通會員均可參加1次摸獎游戲，每位銀卡會員均可參加2次摸獎游戲，每位金卡會員均可參加3次摸獎游戲(每次摸獎的結(jié)果相互獨立)．
以獎勵金的數(shù)學期望為依據(jù)，請你預測哪一種方案投資較少？并說明理由．
54分專項練(三) 18、19、20、21
1．解：(1)△ABC中，acos B＋bsin A＝c，
5、
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Bsin A＝cos Asin B，又sin B≠0，所以sin A＝cos A，
又A∈(0，π)，所以tan A＝1，A＝.
(2)由S△ABC＝bcsin A＝bc＝，
解得bc＝2－；
又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－(2＋)bc，
所以(b＋c)2＝2＋(2＋)bc＝2＋(2＋)(2－)＝4，所以b＋c＝2.
2．解：(1)因為數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
6、
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以Sn＝2n2－n.
當n＝1時，a1＝S1＝1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
當n＝1時，a1＝1也符合上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－3.
(2)當n＝1時，＝，所以b1＝2a1＝2.
當n≥2時，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)，①
得＋＋…＋＝5－(4n＋1).②
①－②，得＝(4n－3).
因為an＝4n－3，所以bn＝＝2n(當n＝1時也符合)，
所以＝＝2，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Tn＝＝2n＋1－2.
3．解
7、：(1)證明：因為∠C＝90°，AB＝2BC＝2，所以AC＝，∠A＝30°.
因為AE＝2EC，所以AE＝AC＝.
在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AEcos A＝12＋－2×1××＝，所以DE＝，
所以AD2＋DE2＝AE2，所以DE⊥AB，所以PD⊥DE.
又因為PD＝BD＝1，PB＝，即PB2＝PD2＋BD2，所以PD⊥BD.
又因為DE，BD?平面BCED，DE∩BD＝D，所以PD⊥平面BCED.
又因為PD?平面PDE，所以平面PDE⊥平面BCED.
(2)由(1)可知，BD⊥DE，PD⊥平面BCED，如圖所示，以D為原點，DB，DE，DP
8、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，E，P(0，0，1)，C，所以＝，＝.
設n＝(x0，y0，z0)為平面PCE的法向量，
所以令y0＝，則x0＝－1，z0＝1，即n＝(－1，，1)．又＝(1，0，－1)，
所以|cos〈，n〉|＝＝＝.
設直線PB與平面PCE所成的角為θ，則sin θ＝.
即直線PB與平面PCE所成角的正弦值為.
4．解：(1)設從“健身達人”中隨機抽取的2人中，去年的消費金額超過4 000元的消費者有X位，則X的可能值為0，1，2.
方法一：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝.
方法二：P(X≥1)＝1－
9、P(X＝0)＝1－＝.
故至少有1位消費者去年的消費金額超過4 000元的概率為.
(2)方案1：按分層抽樣從普通會員、銀卡會員、金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”，則“幸運之星”中的普通會員、銀卡會員、金卡會員的人數(shù)分別為×25＝7，×25＝15，×25＝3，
所以按照方案1獎勵的總金額
ξ1＝7×500＋15×600＋3×800＝14 900(元)．
方案2：設η表示參加一次摸獎游戲所獲得的獎勵金，
則η的可能值為0，200，300.
因為摸球1次，摸到紅球的概率為＝，摸到白球的概率為＝，
所以P(η＝0)＝C＋C＝，
P(η＝200)＝C＝，
P(η＝300)＝C＝，
所以η的分布列為
η
0
200
300
P
所以E(η)＝0×＋200×＋300×＝76.8(元)，
所以按照方案2獎勵的總金額
ξ2＝(28＋2×60＋3×12)×76.8＝14 131.2(元)．
因為方案1獎勵的總金額ξ1多于方案2獎勵的總金額ξ2，
所以預測方案2投資較少．
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