（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練（二）理（含解析）

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1、基礎(chǔ)鞏固練(二) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．(2019·北京高考)已知復(fù)數(shù)z＝2＋i，則z·＝(　　) A. B. C．3 D．5 答案　D 解析　解法一：∵z＝2＋i，∴＝2－i， ∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故選D. 解法二：∵z＝2＋i，∴z·＝|z|2＝5.故選D. 2．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B

2、＝{－1,0,1}，則(?UA)∩B＝(　　) A．{－1} B．{0,1} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3} 答案　A 解析　∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴?UA＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(?UA)∩B＝{－1}．故選A. 3．(2019·湛江二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 答案　B 解析　由正視圖排除A，C；由側(cè)視圖排除D，故B正確． 4．(2019·內(nèi)蒙古呼和浩特市高三3月第一次質(zhì)量普查)在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項，則a4

3、為 (　　) A．9 B．27 C．54 D．81 答案　B 解析　根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若2a2為3a1和a3的等差中項，則有2×2a2＝3a1＋a3，變形可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3；又a2－a1＝2，即a1(q－1)＝2，則q＝3，a1＝1，則an＝3n－1，則有a4＝33＝27.故選B. 5．(2019·紹興市適應(yīng)性試卷)函數(shù)f(x)＝(x3－x)ln |x|的圖象是(　　) 答案　C 解析　因為函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝－(x3－x)ln |x|＝－f(x)，∴函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于

4、原點對稱，排除B，函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，由f(x)＝0，得(x3－x)ln |x|＝0，即(x2－1)ln |x|＝0，即x＝±1，即函數(shù)f(x)有兩個零點，排除D，f(2)＝6ln 2>0，排除A.故選C. 6．(2019·四川省內(nèi)江二模)如果執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的S＝110，則判斷框處為(　　) A．k<10? B．k≥11? C．k≤10? D．k>11? 答案　C 解析　由程序框圖可知，該程序是計算S＝2＋4＋…＋2k＝＝k(k＋1)，由S＝k(k＋1)＝110，得k＝10，則當(dāng)k＝10時，k＝k＋1＝10＋1＝11不滿足條件，所以條件為“k≤10？”．故

5、選C. 7．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛(1829～1905)首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名，其作法為：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，現(xiàn)在勒洛三角形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自等邊三角形內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如題圖，設(shè)BC＝2，以B為圓心的扇形的面積為＝，又∵△ABC的面積為××2×2＝，∴勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形的面積，即為×3－2＝2π－2，故在勒洛三角形中隨機取一點，此點取自等邊三角形的概率為＝

6、，故選B. 8．(2019·淄博一模)已知M(－4,0)，N(0,4)，點P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則·的最小值為(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　由點P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足 作出可行域如圖中陰影部分， 則·＝(x＋2)2＋(y－2)2－8的最小值為點A(－2,2)到直線3x－4y＋12＝0的距離的平方再減8，由d＝＝，可得(x＋2)2＋(y－2)2－8的最小值為－.故選C. 9．(2019·臨沂一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝3，c＝2，bsinA＝acos，則b＝(　　) A．1 B. C. D.

7、答案　C 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos，∴asinB＝acos，即sinB＝cos＝cosBcos－sinBsin＝cosB－sinB，∴tanB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.∵在△ABC中，a＝3，c＝2，由余弦定理得b＝＝＝.故選C. 10．(2019·山東濟南高三3月模擬)若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域為，則ω的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵0≤x≤π，∴－≤ωx－≤ωπ－，而f(x)的值域為，發(fā)現(xiàn)f(0)＝sin＝－， ∴≤ωπ－≤，整理得≤ω≤.則ω的最小值為

8、.故選A. 11．(2019·石家莊模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為雙曲線右支上一點，線段AF1交左支于點B，若AF2⊥BF2，且|BF1|＝|AF2|，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　因|BF1|＝|AF2|，設(shè)|AF2|＝3t， 則|BF1|＝t，t>0， 由雙曲線的定義可得 |BF2|＝|BF1|＋2a＝t＋2a，|AF1|＝|AF2|＋2a＝3t＋2a， 則|AB|＝|AF1|－|BF1|＝2t＋2a， 由AF2⊥BF2，可得(2a＋2t)2＝(3t)2＋(t＋2a)2，

9、解得t＝a，則在直角三角形ABF2中，cosA＝＝＝， 在△AF1F2中，可得cosA＝ ＝＝，化為c2＝a2，則e＝＝＝.故選B. 12．(2019·北京高考)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論： ①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)； ②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中，所有正確結(jié)論的序號是(　　) A．① B．② C．①② D．①②③ 答案　C 解析　由x2＋y2＝1＋|x|y，當(dāng)x＝0時，y＝±1；當(dāng)y＝0時，x

10、＝±1；當(dāng)y＝1時，x＝0，±1.故曲線C恰好經(jīng)過6個整點：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(xiàn)(－1,1)，所以①正確．由基本不等式，當(dāng)y>0時，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正確．如圖， 由①知長方形CDFE面積為2，三角形BCE面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯誤．故選C. 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2019·煙臺一模)已知(a－x)(2＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為40，則實數(shù)a的值為______

11、__． 答案　3 解析　∵(a－x)(2＋x)5＝(a－x)(32＋80x＋80x2＋40x3＋10x4＋x5)的展開式中x3的系數(shù)為40a－80＝40，∴a＝3. 14．(2019·揭陽一模)在曲線f(x)＝sinx－cosx，x∈的所有切線中，斜率為1的切線方程為________． 答案　x－y－1＝0 解析　由f(x)＝sinx－cosx，得f′(x)＝cosx＋sinx＝sin， 由sin＝1，得sin＝， ∵x∈，∴x＋∈， ∴x＋＝，即x＝0.∴切點為(0，－1)，切線方程為y＋1＝x，即x－y－1＝0. 15．(2019·唐山一模)在四面體ABCD中，AB＝BC

12、＝1，AC＝，且AD⊥CD，該四面體外接球的表面積為________． 答案　2π 解析　如圖，∵AB＝BC＝1，AC＝，∴AB⊥BC，又AD⊥CD，∴AC的中點即為外接球的球心，外接球的半徑為， ∴S球＝4π×＝2π. 16．(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次聯(lián)考)若函數(shù)y＝f(x)的圖象存在經(jīng)過原點的對稱軸，則稱y＝f(x)為“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”，下列函數(shù)中是“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”的有________．(填寫所有正確結(jié)論的序號) ①y＝②y＝cos；③y＝ln (ex＋1)． 答案?、佗? 解析　對于①，y＝ex(x≤0)的反函數(shù)為y＝ln x(0

13、直線y＝x對稱，故①是“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”． 對于②，令y＝f(x)＝cos，則f(－x)＝cos＝cos＝cos＝f(x)，所以函數(shù)y＝cos是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱，故②是“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”． 對于③，y＝ln (e＋1)>ln e＝x，當(dāng)x→＋∞時，y→x，則函數(shù)y＝ln (e＋1)的圖象只可能關(guān)于直線y＝x對稱，又y＝ln (e＋1)>ln 1＝0，當(dāng)x→－∞時，y→0，這與函數(shù)y＝ln (e＋1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱矛盾，故③不是“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”． 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為

14、選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝2n－1(n∈N*，n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn. 解　(1)當(dāng)n≥2時，由于an－an－1＝2n－1，a1＝1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2， 又a1＝1滿足上式，故an＝n2(n∈N*)． (2)bn＝＝＝ ＝. 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝

15、＝. 18．(本小題滿分12分)(2019·石家莊質(zhì)量檢測)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，側(cè)面ABB1A1為菱形，A1C＝BC. (1)求證：A1B⊥平面AB1C； (2)若∠ABB1＝60°，∠CBA＝∠CBB1，AC⊥B1C，求二面角B－AC－A1的余弦值． 解　(1)證明：因為側(cè)面ABB1A1為菱形， 所以A1B⊥AB1，記A1B∩AB1＝O，連接CO， 因為A1C＝BC，BO＝A1O， 所以A1B⊥CO，又AB1∩CO＝O， 所以A1B⊥平面AB1C. (2)解法一：因為∠CBA＝∠CBB1，AB＝BB1，BC＝BC，所以△CBA≌△CBB1，所以AC＝B

16、1C. 又O是AB1的中點，所以CO⊥AB1， 又A1B⊥CO，A1B∩AB1＝O， 所以CO⊥平面ABB1A1. 令BB1＝2，因為∠ABB1＝60°，側(cè)面ABB1A1為菱形，AC⊥B1C，O為AB1的中點， 所以CO＝1. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB所在的直線為x軸，OB1所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則O(0,0,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,0,1)，A1(－，0,0)， 所以＝(，1,0)，＝(0,1,1)，＝(－，1,0)，＝(，0,1)． 設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，則n

17、1＝(1，－，)， 同理可得平面A1AC的一個法向量為n2＝(1，，－)， cos〈n1，n2〉＝＝－， 由圖知二面角B－AC－A1為鈍角， 所以二面角B－AC－A1的余弦值為－. 解法二：因為∠CBA＝∠CBB1，AB＝BB1，BC＝BC， 所以△CBA≌△CBB1， 所以AC＝B1C. 設(shè)AB＝2，因為∠ABB1＝60°，側(cè)面ABB1A1為菱形，所以AA1＝AB1＝2，OA＝OB1＝1，OB＝OA1＝. 又AC⊥B1C，所以CO＝1，AB＝B1C＝， 又A1C＝BC，O為A1B的中點，所以BC＝A1C＝2，所以△ABC為等腰三角形，△A1AC為等腰三角形． 如圖，取A

18、C的中點M，連接BM，A1M，則∠BMA1為二面角B－AC－A1的平面角． 在△BMA1中，可得BM＝A1M＝，A1B＝2， 所以cos∠BMA1＝＝－， 所以二面角B－AC－A1的余弦值為－. 19．(本小題滿分12分)(2019·拉薩一模)已知F為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點，點P(2，)在C上，且PF⊥x軸． (1)求C的方程； (2)過F的直線l交C于A，B兩點，交直線x＝4于點M.證明：直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列． 解　(1)因為點P(2，)在C上，且PF⊥x軸，所以c＝2，設(shè)橢圓C的左焦點為E，連接EP，則|EF|＝2c＝4，|PF|＝，在R

19、t△EFP中，|PE|2＝|PF|2＋|EF|2＝18，所以|PE|＝3. 所以2a＝|PE|＋|PF|＝4，a＝2， 又b2＝a2－c2＝4， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)， 令x＝4，得M的坐標(biāo)為(4,2k)， 由得(2k2＋1)x2－8k2x＋8(k2－1)＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有x1＋x2＝，x1x2＝.?、? 記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3， 從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－. 因為直線l的方程為y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)， 所

20、以k1＋k2＝＋ ＝＋－ ＝2k－·.　　 ?、? ①代入②，得k1＋k2＝2k－·＝2k－， 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3， 故直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列． 20．(本小題滿分12分)(2019·武漢一模)十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民收入也逐年增加．為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖： (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計50位農(nóng)民的年平均收入(

21、單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)； (2)由頻率分布直方圖可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求： (ⅰ)在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？ (ⅱ)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民．若每個農(nóng)民的年收入相互獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？ 附：參考數(shù)據(jù)與公式≈2

22、.63，若X～N(μ，σ2)，則 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973. 解　(1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40. (2)由題意，X～N(17.40,6.92)． (ⅰ)∵P(x＞μ－σ)＝＋≈0.8414， ∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77時，滿足題意， 即最低年收入大約為14.77千元． (ⅱ)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.9773，得每個農(nóng)民年收入

23、不少于12.14千元的概率為0.9773， 記1000個農(nóng)民年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ，則ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773. 于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的概率是P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)1000－k， 從而由＝＞1，得k＜1001p， 而1001p＝978.233， ∴當(dāng)0≤k≤978時，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)， 當(dāng)979≤k≤1000時，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)． 由此可知，在走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978. 21．(本小題滿分12分)(2019·長春三模)已知a∈R，函數(shù)f

24、(x)＝＋aln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若x＝2是f(x)的極值點，且曲線y＝f(x)在兩點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))(x10時，x∈時，f′(x)<0，x∈時，f′(x)>0，即f(x)在x∈上單調(diào)遞減，在x∈上單調(diào)遞增． (2)∵x＝2是f(x)的極值點， ∴由(1)可知＝2，∴a＝1. 設(shè)在P(x1，f(x1))

25、處的切線方程為y－＝(x－x1)，在Q(x2，f(x2))處的切線方程為y－＝(x－x2)， ∵這兩條切線互相平行， ∴－＋＝－＋， ∴＋＝. ∵＝－，且0

26、1－ln x2＝－2＋ln . 令g(x)＝＋ln －2，其中x∈(3,4)， ∴g′(x)＝－＋＝＝>0， ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增， ∴g(x)∈， ∴b1－b2的取值范圍是. 解法三：∵x1x2＝2(x1＋x2)， ∴b1－b2＝－＋ln x1－ln x2＝＋ln ＝＋ln ＝＋ln . 設(shè)g(x)＝＋ln x， 則g′(x)＝＋＝. ∵＝－1∈，∴g′(x)>0， ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴g(x)∈， ∴b1－b2的取值范圍是. (二)選考題：10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 2

27、2．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·陜西模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)． (1)把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀； (2)若直線l經(jīng)過點(1,0)，求直線l被曲線C截得的線段AB的長． 解　(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝化為ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x， 故曲線C是頂點為O(0,0)，焦點為F(1,0)的拋物線． (2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)． 若直線l經(jīng)過點(1,0)，則α＝， ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．

28、 將其代入y2＝4x，得t2＋6t＋2＝0. 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－6，t1t2＝2.|AB|＝|t1－t2|＝＝ ＝8. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] (2019·陜西模擬)已知函數(shù)f(x)＝ 的定義域為R. (1)求實數(shù)m的取值范圍； (2)若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足＋＝n時，求7a＋4b的最小值． 解　(1)∵函數(shù)的定義域為R， ∴|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立， 設(shè)函數(shù)g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，則m不大于函數(shù)g(x)的最小值， 又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4， 即函數(shù)g(x)的最小值為4，∴m≤4. (2)由(1)知n＝4， ∴7a＋4b＝(6a＋2b＋a＋2b)＝ ≥ ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝時取等號． ∴7a＋4b的最小值為. 16