（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第4講 計數(shù)原理與二項式定理練習（含解析）

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1、第4講　計數(shù)原理與二項式定理 　兩個計數(shù)原理 [考法全練] 1．甲、乙兩人都計劃在國慶節(jié)的七天假期中，到東亞文化之都——泉州“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有(　　) A．16種　　　　　　 B．18種 C．20種 D．24種 解析：選C.任意相鄰兩天組合在一起，一共有6種情況：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦. 若甲選①②或⑥⑦，則乙各有4種選擇， 若甲選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則乙各有3種選擇， 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有2×4＋4×3＝20(種)． 2．如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3＜a2，則稱

2、這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為(　　) A．240 B．204 C．729 D．920 解析：選A.分8類， 當中間數(shù)為2時，有1×2＝2(個)； 當中間數(shù)為3時，有2×3＝6(個)； 當中間數(shù)為4時，有3×4＝12(個)； 當中間數(shù)為5時，有4×5＝20(個)； 當中間數(shù)為6時，有5×6＝30(個)； 當中間數(shù)為7時，有6×7＝42(個)； 當中間數(shù)為8時，有7×8＝56(個)； 當中間數(shù)為9時，有8×9＝72(個)． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)． 3．某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公

3、園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉的顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為(　　) A．96 B．114 C．168 D．240 解析：選C.先在a中種植，有4種不同方法，再在b中種植，有3種不同方法，再在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，再在e中種植，有2種不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(種)，故選C. 4．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四

4、位數(shù)有________個． 解析：①當千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)； ②當千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)．　 由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個)． 答案：48 5．將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是________． 解析：按分步來完成此事．第1張有10種分法，第2張有9種分法，第3張有8種分法，故共有10×9×8＝720種分法． 答案：720 6．在學校舉行的田徑運動會上，8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條

5、跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種． 解析：分兩步安排這8名運動員．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(種)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)．所以安排這8名運動員的方式共有24×120＝2 880(種)． 答案：2 880 應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的方法 (1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． (2)對于復雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可

6、恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．　 　　　排列、組合的應(yīng)用 [考法全練] 1．(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一))要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A、B、C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數(shù)為(　　) A．6　　　　　　　　 B．12 C．24 D．36 解析：選B.由題意可知，可以分兩類，第一類，甲與另一人一同被分到A班，分法有CA＝6(種)；第二類，甲單獨被分到A班，分法有CA＝6(種)．所以共有12種，故選B. 2．(一題多解)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企

7、業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(　　) A．15　　　　　　　　 B．30 C．35 D．42 解析：選B.法一：甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有C種情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有CC種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有C－CC＝30(種)，故選B. 法二：發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的情況有CC＝20(種)；發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的情況有C＝10(種)，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有20＋10＝30(種)，故選B. 3．(2019·合

8、肥市第二次質(zhì)量檢測)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有(　　) A．36種 B．44種 C．48種 D．54種 解析：選B.由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成，(1)當AE排第一、二位置時，用○表示其他任務(wù)，則順序為AE○○○○，余下四項任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項任務(wù)形成的三個空隙中，有AA種方法．(2)當AE排第二、三位置時，順序為○AE○○○，余下四項任務(wù)又分為兩類：①B，C兩項任務(wù)中一項

9、排在第一位置，剩余三項任務(wù)排在后三個位置，有AA種方法；②D，F(xiàn)兩項任務(wù)中一項排第一位置，剩余三項任務(wù)排在后三個位置，且任務(wù)B，C不相鄰，有AA種方法．(3)當AE排第三、四位置時，順序為○○AE○○，第一、二位置必須分別排來自B，C和D，F(xiàn)中的一個，余下兩項任務(wù)排在后兩個位置，有CCAA種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(種)，故選B. 4．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成________個無重復數(shù)字的三位數(shù)，也可以組成________個能被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù)． 解析：第一個空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù)，有C＝

10、5種方法； 第二步，確定另外兩個數(shù)位上的數(shù)，有A＝5×4＝20種方法， 所以可以組成5×20＝100個無重復數(shù)字的三位數(shù)； 第二個空：被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù)的個位上的數(shù)有2種情況： 當個位上的數(shù)字是0時，其他數(shù)位上的數(shù)有A＝5×4×3×2＝120個； 當個位上的數(shù)字是5時，先確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C＝4種方法，而后確定其他三個數(shù)位上的數(shù)有A＝4×3×2＝24種方法，所以共有24×4＝96個數(shù)， 根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有120＋96＝216個數(shù)． 答案：100　216 5．(一題多解)(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)為培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)，某校準備在高二年級開設(shè)A，B，C，D

11、，E，F(xiàn)，共6門選修課程，學校規(guī)定每個學生必須從這6門課程中選3門，且A，B兩門課程至少要選1門，則學生甲共有________種不同的選法． 解析：通解：根據(jù)題意，可分三類完成：(1)選A課程不選B課程，有C種不同的選法；(2)選B課程不選A課程，有C種不同的選法；(3)同時選A和B課程，有C種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得C＋C＋C＝6＋6＋4＝16(種)，故學生甲共有16種不同的選法． 優(yōu)解：從6門課程中選3門不同選法有C種，而A和B兩門課程都不選的選法有C種，則學生甲不同的選法共有C－C＝20－4＝16(種)． 答案：16 6．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)《中國詩詞大

12、會》(第三季)亮點頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《沁園春·長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》《清平樂·六盤山》排在后六場，且《蜀道難》排在《游子吟》的前面，《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有________種．(用數(shù)字作答) 解析：分兩步完成：(1)《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》進行全排有A種，若《蜀道難》排在《游子吟》的前面，則有A種；(2)《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中，

13、插入法有A種．由分步乘法計數(shù)原理，知滿足條件的排法有AA＝144(種)． 答案：144 排列、組合應(yīng)用問題的8種常見解法 (1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法． (2)相鄰問題捆綁法． (3)不相鄰問題插空法．　 (4)定序問題縮倍法． (5)多排問題一排法． (6)“小集團”問題先整體后局部法． (7)構(gòu)造模型法． (8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化法． 　　　二項式定理 [考法全練] 1.的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10　　　　　　　 B．20 C．40 D．80 解析：選C.Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝

14、2，所以x4的系數(shù)為C×22＝40. 2．(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)二項式(1＋x＋x2)(1－x)10展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．120 B．135 C．140 D．100 解析：選B.(1－x)10的展開式的通項Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，分別令r＝4，r＝3，r＝2，可得展開式中x4的系數(shù)為(－1)4C＋(－1)3C＋(－1)2C＝135，故選B. 3．(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：選C.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2

15、. 其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C. 4．若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝(　　) A．80 B．120 C．180 D．240 解析：選D.由(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5兩邊求導，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1得，15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240，故選D. 5．已知二項式的展開式中，第5項是常數(shù)項，則n＝_______

16、_，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________． 解析：二項式展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)n－r＝2n－rCxn－r，因為第5項是常數(shù)項，所以n－×4＝0，即n＝6.當r＝3時，二項式系數(shù)C最大，故二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是26－3C＝160. 答案：6　160 6．(2019·廣州市調(diào)研測試)已知(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．　 解析：因為(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(－2)4＝(a

17、0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(＋2)4×(－2)4＝[()2－22]4＝16. 答案：16 對于“多項式乘二項式”型的二項式問題，通用的解法是系數(shù)配對法，即將多項式中的每一項xk的系數(shù)與后面二項式展開式中xr－k的系數(shù)相乘，然后把所有這些滿足條件的情況相加，即得到xr項的系數(shù)． [提醒]　關(guān)注2個常失分點：(1)混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”概念，項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．(2)注意“常數(shù)項”“有理項”“系數(shù)最大的項”等概念．　 一、選擇題 1．在某夏令營活動中，教官給6位“萌

18、娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年齡尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有(　　) A．10種　　　　　　 B．40種 C．70種 D．80種 解析：選B.若Grace不參與任務(wù)，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處，有C種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有CC＝30種搜尋方案；若Grace參加任務(wù)，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑

19、出2位搜尋近處，有C種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠處，因此共有C＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案，故選B. 2．(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)若的展開式的常數(shù)項為60，則a的值為(　　) A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析：選D.的展開式的通項為Tr＋1＝C·(ax)6－r·＝(－1)r·a6－r·C·x6－r，令6－r＝0，得r＝4，則(－1)4·a2·C＝60，解得a＝±2，故選D. 3．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 解析：選C.由多項式乘法知，若求(1＋x)

20、6展開式中x2的系數(shù)，只需求(1＋x)6展開式中x2和x4的系數(shù)．(1＋x)6展開式中含x2和x4的項分別是Cx2＝15x2和Cx4＝15x4，所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)是30.故選C. 4．若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有(　　) A．4種 B．8種 C．12種 D．24種 解析：選B.將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8種站法，故選B. 5．設(shè)(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于(　　) A．80 B．－80 C

21、．－160 D．－240 解析：選D.因為(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二項展開式中含x項的系數(shù)為C×(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5×C×(－2)4＝－160－80＝－240，故選D. 6．(2019·廣州市綜合檢測(一))(2－x3)(x＋a)5的展開式的各項系數(shù)和為32，則該展開式中x4的系數(shù)是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：選A.在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展開式的各項系數(shù)和為(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－r.當r＝1時，得T2＝Cx4＝5x4，當r＝4時，得T

22、5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展開式中x4的系數(shù)為2×5－5＝5，選A. 7．(2019·柳州模擬)從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個數(shù)相鄰，則不同的選法種數(shù)是(　　) A．72 B．70 C．66 D．64 解析：選D.從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有C·C＋C·C＝56種選法，三個數(shù)相鄰共有C＝8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法，故選D. 8．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或

23、都不去，則不同的選派方案有(　　) A．900種 B．600種 C．300種 D．150種 解析：選B.第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再從剩余的5名教師中選2名，不同的選派方案有C×A＝240(種)；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從乙和剩余的5名教師中選4名，不同的選派方案有C×A＝360(種)．所以不同的選派方案共有240＋360＝600(種)．故選B. 9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值為(　　) A．39 B．310 C．311 D．31

24、2 解析：選D.對(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9兩邊同時求導，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故選D. 10．(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須

25、排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析：選A.法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)． 法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝

26、36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 11．(多選)若二項式展開式中的常數(shù)項為15，則實數(shù)m的值可能為(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：選AB.二項式展開式的通項Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－rmr.令6－r＝0，得r＝4，常數(shù)項為Cm4＝15，則m4＝1，得m＝±1.故選AB. 12．(多選)已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，設(shè)(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)之和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，則(　　) A．a(chǎn)0＝1 B．Tn＝2n－(－1)n C．n為奇數(shù)時，Sn＜Tn；n為偶

27、數(shù)時，Sn＞Tn D．Sn＝Tn 解析：選BC.由題意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－(－1)n，故選BC. 13．(多選)(2019·山東日照期末)把四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有(　　) A．CCCC種 B．CA種 C．CCA種 D．18種 解析：選BC.根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中，且沒有空盒，三個盒子中有1個盒子中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，則分兩步進行分析：法一：①先將四個不同的小球分成3組，有C種分組方法

28、；②將分好的3組全排列，對應(yīng)放到3個盒子中，有A種放法．則不允許有空盒子的放法有CA＝36種． 法二：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的盒子中，有CC種情況；②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個盒子中，有A種放法，則不允許有空盒的放法有CCA＝36種，故選BC. 二、填空題 14．在的展開式中，x3的系數(shù)是________． 解析：的展開式的通項Tr＋1＝C(－4)5－r·，r＝0，1，2，3，4，5，的展開式的通項Tk＋1＝Cxr－k＝4kCxr－2k，k＝0，1，…，r.令r－2k＝3，當k＝0時，r＝3；當k＝1時，r＝5.所以x3的系數(shù)

29、為40×C×(－4)5－3×C＋4×C×(－4)0×C＝180. 答案：180 15．(2019·福州市質(zhì)量檢測)(1＋ax)2(1－x)5的展開式中，所有x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為－64，則正實數(shù)a的值為________． 解析：設(shè)(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7①， 令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7②， ②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)

30、225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)． 答案：3 16．(2019·湖南郴州一模改編)若的展開式中各項系數(shù)之和為256，則n的值為________，展開式中的系數(shù)是________． 解析：令x＝1，可得的展開式中各項系數(shù)之和為2n＝256，所以n＝8，所以＝，它的展開式的通項公式Tr＋1＝C·(－1)r·38－r·x8－r. 令8－＝－2，可得r＝6，則展開式中的系數(shù)為C·32＝252. 答案：8　252 17．(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_____

31、___． 解析：法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為C，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為C×C，其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C×C，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C－C×C－C×C＝472. 法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為C×C×C＝64，若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝192，剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)． 答案：472 - 11 -