（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學 素養(yǎng)提升練（八）理（含解析）

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1、素養(yǎng)提升練(八) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．(2019·銀川質檢)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，∴x＝1,2,3，y＝1,2,3， 當x＝1時，x－y＝0，－1，－2；當x＝2時，x－y＝1,

2、0，－1；當x＝3時，x－y＝2,1,0. 即x－y＝－2，－1,0,1,2，即B＝{－2，－1,0,1,2}，共有5個元素，故選B. 2．(2019·西安適應性測試)設復數(shù)z＝，f(x)＝x2－x＋1，則f(z)＝(　　) A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i 答案　A 解析　∵z＝＝＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故選A. 3．(2019·榆林二模)某工廠利用隨機數(shù)表對產生的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002，…，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行； 32 2

3、1 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是(　　) A．522 B．324 C．535 D．578 答案　D 解

4、析　從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，開始的數(shù)為608不合適，436合適，767不合適，535,577,348合適，994,837不合適，522合適，535與前面的數(shù)字重復，不合適，578合適．則滿足條件的6個編號為436,535,577,348,522,578，則第6個編號為578.故選D. 4．(2019·南陽一中模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋2a10＝4，則S13＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 答案　A 解析　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設首項為a1，公差為d， ∴a3＋a5＋2a10＝4可轉化為4a1＋24d＝4，即a1＋6d＝1

5、， ∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝13，故選A. 5．(2019·淮北一中模擬)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，則λ的取值范圍為(　　) A. B.∪(2，＋∞) C. D．(－2,2) 答案　B 解析　a·b＝－2λ－1，∵a，b的夾角為鈍角， ∴a·b<0，且a，b不平行． ∴解得λ>－，且λ≠2. ∴λ的取值范圍為∪(2，＋∞)．故選B. 6．(2019·南開一模)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內是增函數(shù)，f(－3)＝0，則不等式xf(x)<0的解集為(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－∞，

6、－3)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(0,3) 答案　D 解析　∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)，由f(－3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，即f(3)＝0，作出f(x)的草圖，如圖所示： 由圖象，得xf(x)<0?或 解得0

7、36π C．9π D. 答案　B 解析　正四棱錐的高為＝4， 設外接球的半徑為R，則R2＝(4－R)2＋(2)2， ∴R＝3，∴球的體積為πR3＝π·33＝36π，故選B. 8．(2019·合肥質檢)“垛積術”(隙積術)是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是100－200n萬元，則n的值為(　　)

8、 A．7 B．8 C．9 D．10 答案　D 解析　由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為2×萬元，第三層貨物總價為3×2萬元，…，第n層貨物總價為n×n－1萬元， 設這堆貨物總價為W萬元，則W＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1， W＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n×n， 兩式相減得W＝－n×n＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝－n×n＋＝－n×n＋10－10×n， 則W＝－10n×n＋100－100×n＝100－200n，解得n＝10，故選D. 9．(2019·大興一模)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為(　　) A. B．2 C．3

9、D．2 答案　B 解析　由三視圖得幾何體原圖是圖中的三棱錐A－BCD， ∴CD＝3，BD＝＝， AB＝＝， AC＝＝3， BC＝＝2， AD＝＝2.∴AD是最長的棱．故選B. 10．(2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　A 解析　雙曲線－＝1的右焦點坐標為(，0)，一條漸近線的方程為y＝x，不妨設點P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點P的橫坐標為，縱坐標為×＝，即△PFO的底邊長為，高為，所以它的面積為××＝.故選A.

10、11．(2019·南平市三模)已知(1－x＋mx2)6的展開式中x4的系數(shù)小于90，則m的取值范圍為(　　) A．(－∞，－5)∪(1，＋∞) B．(－5,1) C.∪ D．(－∞，－)∪(，＋∞) 答案　B 解析　(1－x＋mx2)6的通項公式為Tr＋1＝C(1－x)6－r(mx2)r，r＝0,1，…，6. (1－x)6－r的通項公式為Tl＋1＝C(－x)l，l＝0，1，…，6－r. 令l＋2r＝4，則或或 則展開式中x4的系數(shù)為CC＋CCm＋Cm2<90. 即m2＋4m－5<0，解得－5

11、f(x)在D內是單調函數(shù)；②存在[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上的值域為，那么就稱y＝f(x)為“半保值函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”，則t的取值范圍為(　　) A. B.∪ C. D. 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”，且定義域為R， 由a>1時，z＝ax＋t2在R上單調遞增，y＝logaz在(0，＋∞)上單調遞增，可得f(x)為R上的增函數(shù)； 同樣當0

12、2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”， ∴y＝loga(ax＋t2)與y＝x的圖象有兩個不同的交點，即loga(ax＋t2)＝x有兩個不同的根， ∴ax＋t2＝a，ax－a＋t2＝0， 可令u＝a，u>0，即有u2－u＋t2＝0有兩個不同的正數(shù)根， 可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪.故選B. 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2019·黃山質檢)若整數(shù)x，y滿足不等式組則z＝的最小值為________． 答案　 解析　畫出可行域如下圖所示，依題意只取坐標為整數(shù)的點． 由圖可知，在點(2,1)處，目標函

13、數(shù)取得最小值為. 14．(2019·廣州模擬)閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是________． 答案　[－2，－1] 解析　由題意可知，該程序的作用是計算分段函數(shù)f(x)＝的函數(shù)值． 又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內， ∴x∈[－2，－1]． 15．(2019·福建畢業(yè)考試)某校在科技文化藝術節(jié)上舉行紙飛機大賽，A，B，C，D，E五個團隊獲得了前五名．發(fā)獎前，老師讓他們各自選擇兩個團隊，猜一猜其名次： A團隊說：C第一，B第二；B團隊說：A第三，D第四；C團隊說：E第四，D第五；D團隊說：B第三，C第五；E團隊說：A第一，E第四． 如果實際上每個

14、名次都有人猜對，則獲得第五名的是________團隊． 答案　D 解析　將五個團隊的猜測整理成下表： 第一名 C，A 第二名 B 第三名 A，B 第四名 D，E 第五名 D，C 由于實際上每個名次都有人猜對，若第五名為C，則第一名為A，第三名為B，從而第二名沒有人猜對，不符合題意要求．故獲得第五名的是D團隊． 16．(2019·虹口二模)若函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(4，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4有三個不同的零點，就是x|x－a|＝4有三個不同的根； 當a>0時，函數(shù)y＝

15、x|x－a|＝與y＝4的圖象如圖： 函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3個零點，必須解得a>4； 當a≤0時，函數(shù)y＝x|x－a|＝與y＝4的圖象如圖： 函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)不可能有三個不同的零點，綜上，a∈(4，＋∞)． 三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分)(2019·撫順一模)已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，若a＝10，角B是最小的內角，且3c＝4asi

16、nB＋3bcosA. (1)求sinB的值； (2)若c＝14，求b的值． 解　(1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π， 由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA， 即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于sinA>0，整理可得3cosB＝4sinB， 又sinB>0，∴sinB＝. (2)∵角B是最小的內角，∴0

17、，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元．受保質期的影響，當天沒有銷售完的部分只能銷毀．經過長期的調研，統(tǒng)計了一下該新品的日需求量．現(xiàn)將近期一個月(30天)的需求量展示如下： 日需求量x(個) 20 30 40 50 天數(shù) 5 10 10 5 (1)從這30天中任取兩天，求兩天的日需求量均為40個的概率； (2)以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應的利潤的期望值E(X)＝；現(xiàn)有員工建議擴大生產一天制作45個，試列出生產45個時，利潤Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納． 解　(1)從這30天中任取2天，基本事件總數(shù)

18、n＝C， 2天的日需求量均為40個包含的基本事件個數(shù)m＝C， ∴兩天的日需求量均為40個的概率P＝＝. (2)由該糕點房制作45個蛋糕對應的利潤為Y，得 P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，∴Y的分布列為 Y －20 60 140 180 P E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝， ∵該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應的利潤的期望值E(X)＝，<， ∴此建議不該被采納． 19．(本小題滿分12分)(2019·南開一模)如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥A

19、B，D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)在SE上且SF＝2FE. (1)求證：AF⊥平面SBC； (2)求直線SA與平面SBD所成角的正弦值； (3)在線段DE上是否存在點G，使二面角G－AF－E的大小為30°？若存在，求出DG的長；若不存在，請說明理由． 解　(1)證明：如圖，以A為坐標原點，分別以AC，AB，AS為x，y，z軸建立空間直角坐標系Axyz. 則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，D(1,0,0)，E(1,1,0)， 由SF＝2FE得F，∴＝，＝(2，－2,0)，＝(2,0，－2)， ∵·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥，∴AF⊥

20、平面SBC. (2)設n1＝(x1，y1，z1)是平面SBD的一個法向量， 由于＝(－1,0,2)，＝(－1,2,0)， 則有 令x1＝2，則y1＝1，z1＝1，即n1＝(2,1,1)． 設直線SA與平面SBD所成的角為α，而＝(0,0,2)， ∴sinα＝|cos〈n1，〉|＝＝. (3)假設滿足條件的點G存在，并設DG＝t.則G(1，t,0)． ∴＝(1,1,0)，＝(1，t,0)， 設平面AFG的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則 取y2＝1，得x2＝－t，z2＝t－1，即n2＝(－t,1，t－1)． 設平面AFE的法向量為n3＝(x3，y3，z3)， 則

21、 取y3＝1，得x3＝－1，z3＝0，即n3＝(－1,1,0)， 由二面角G－AF－E的大小為30°， 得cos30°＝＝＝， 化簡得2t2－5t＋2＝0， 又0≤t≤1，求得t＝，于是滿足條件的點G存在，且DG＝. 20．(本小題滿分12分)(2019·張家口一模)以P為圓心的動圓經過點F(1,0)，并且與直線x＝－1相切． (1)求點P的軌跡C的方程； (2)若A，B，C，D是曲線C上的四個點，AB⊥CD，并且AB，CD相交于點F，直線AB的傾斜角為銳角．若四邊形ACBD的面積為36，求直線AB的方程． 解　(1)設圓P與直線x＝－1相切于點E， 則|PE|＝|PF|，

22、 即點P到F的距離與點P到直線x＝－1的距離相等， ∴點P的軌跡為拋物線，F(xiàn)是焦點，x＝－1是準線． ∴C的方程為y2＝4x. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝k(x－1)，k>0. 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， x1＋x2＝. |AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理，|CD|＝4＋4k2. ∴四邊形ACBD的面積S＝|AB|·|CD| ＝(4＋4k2)＝8(1＋k2)． 由8(1＋k2)＝36，得k2＝2或k2＝， ∴k＝或k＝. ∴直線AB的方程為y＝(x－1)或y＝(x－1)． 21．(本小題滿分12分)(2019

23、·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)討論f(x)的單調性； (2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由． 解　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 若a>0，則當x∈(－∞，0)∪時，f′(x)>0； 當x∈時，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，0)，單調遞增，在單調遞減． 若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)單調遞增． 若a<0，則當x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)>0； 當x∈時，f′(x)<0. 故f(x)在

24、，(0，＋∞)單調遞增，在單調遞減． (2)滿足題設條件的a，b存在． ①當a≤0時，由(1)知，f(x)在[0,1]單調遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)＝b，最大值為f(1)＝2－a＋b.此時a，b滿足題設條件當且僅當b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1. ②當a≥3時，由(1)知，f(x)在[0,1]單調遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)＝b，最小值為f(1)＝2－a＋b.此時a，b滿足題設條件當且僅當2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1. ③當0＜a＜3時，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值為f＝－＋b，最大值為b或2－a

25、＋b. 若－＋b＝－1，b＝1，則a＝3，與0＜a＜3矛盾． 若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，則a＝3或a＝－3或a＝0，與0＜a＜3矛盾． 綜上，當a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時，f(x)在[0,1]的最小值為－1，最大值為1. (二)選考題：10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] (2019·黃山質檢)設極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，原點O為極點，x軸正半軸為極軸，曲線C的參數(shù)方程為(α是參數(shù))，直線l的極坐標方程為ρsinθ－ρcosθ＋1＝m. (1)求曲

26、線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設點P(1，m)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|＝，求m的值． 解　(1)由題可得，曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1. 直線l的直角坐標方程為y－x＋1＝m，即 x－y－1＋m＝0， 由于直線l過點P(1，m)，傾斜角為30°， 故直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))． (直線l的參數(shù)方程的結果不是唯一的) (2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程并化簡得2＋2＝1?t2＋mt＋m2－1＝0. ∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8，解得m＝±3. 23．(本

27、小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] (2019·上饒二模)已知函數(shù)f(x)＝|ax－1|(a>0)． (1)若不等式f(x)≤2的解集為A，且A?(－2,2)，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若不等式f(x)＋f>對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝. ∵A?(－2,2)，∴解得a>， ∴a的取值范圍是. (2)由題意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立， 設h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|， h(x)＝ ①當0，∴1時，h(x)min＝h＝，>， ∴1