(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 中難提分突破特訓(xùn)(三)理

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1、中難提分突破特訓(xùn)(三) 1.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,∠B1BC=60°,B1C1⊥AB1. (1)證明:AB=AC; (2)若AB⊥AC,且AB1=BB1,求二面角A1-CB1-C1的余弦值. 解 (1)證明:如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO,OB1. 因?yàn)锽C=BB1,∠B1BC=60°, 所以△BCB1是等邊三角形, 所以B1O⊥BC, 又BC∥B1C1,B1C1⊥AB1, 所以BC⊥AB1, 所以BC⊥平面AOB1, 所以BC⊥AO,由三線合一可知△ABC為等腰三角形, 所以AB=AC. (2)設(shè)AB1=BB1=2,則BC=BB1

2、=2. 因?yàn)锳B⊥AC,所以AO=1. 又因?yàn)镺B1=, 所以O(shè)B+AO2=AB,所以AO⊥OB1. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,0),C(-1,0,0),A1(-1,,1),B1(0,,0),=(0,,1),=(1,,0), 設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量為n=(x,y,z), 則即可取n=(,-1,), 由(1)可知,平面CB1C1的法向量可?。?0,0,1), 所以cos〈,n〉==, 由圖示可知,二面角A1-CB1-C1為銳二面角, 所以二面角A1-CB1-C1的余弦值為. 2.已知函數(shù)f(x)=

3、2sinxsin. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)銳角△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,角A的平分線交BC于D,直線x=A是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,AD=BD=2,求邊a. 解 (1)∵f(x)=2sinxsin, ∴f(x)=2sinxsinx·+2sinxcosx· =+sin2x=sin2x-cos2x+ =sin+. 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得 -+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (2)∵x=A是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸, ∴2A-=+kπ,k∈Z.∴A=+,k∈Z. 又

4、△ABC是銳角三角形,∴A=. 在△ABD中,∠BAD=,BD=,AD=2, 由正弦定理,得=, ∴sinB=.∴B=. ∴C=π--=.∠CDA=+=. ∴AC=AD=2. 在△ABC中,由正弦定理,得=, ∴BC=a=. 3.綠水青山就是金山銀山.某山村為做好水土保持,退耕還林,在本村的山坡上種植水果,并推出山村游等旅游項(xiàng)目.為預(yù)估今年7月份游客購(gòu)買水果的情況,隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了去年7月份100名游客的購(gòu)買金額.分組如下:[0,20),[20,40),…,[100,120],得到如圖所示的頻率分布直方圖: (1)請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)估計(jì)今年7月份游客人均購(gòu)買水果的金額(同一組中

5、的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表); (2)若把去年7月份購(gòu)買水果不低于80元的游客,稱為“水果達(dá)人”.填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系? (3)為吸引顧客,商家特推出兩種促銷方案.方案一:每滿80元可立減10元;方案二:金額超過80元可抽獎(jiǎng)三次,每次中獎(jiǎng)的概率為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)1次打9折,中獎(jiǎng)2次打8折,中獎(jiǎng)3次打7折.若每斤水果10元,你打算購(gòu)買12斤水果,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案. 參考公式和數(shù)據(jù):K2=,n=a+b+c+d. 臨界值表: P(K2≥k0) 0.150 0.100

6、0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 解 (1)=(10×0.005+30×0.0075+50×0.010+70×0.0125+90×0.010+110×0.005)×20=62. 估計(jì)今年7月份游客人均購(gòu)買水果的金額為62元. (2)列聯(lián)表如下: K2=≈4.762>3.841, 因此有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系. (3)若選方案一:則需付款10×12-10=110元; 若選方案二:設(shè)付款X元,則X的可能取值為84,96,108,120. P(X=84)=C3=, P(X=96

7、)=C2×=, P(X=108)=C××2=, P(X=120)=C3=, 所以E(X)=84×+96×+108×+120×=102. 因?yàn)?02<110,所以選擇方案二更劃算. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l1,l2的極坐標(biāo)方程分別為θ=(ρ∈R),θ=(ρ∈R),設(shè)直線l1,l2與曲線C的交點(diǎn)為O,M,N,求△OMN的面積. 解 (1)由參數(shù)方程(θ為參數(shù)), 得普通方程為x2+(y-2)2=4, 所以C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-

8、4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ. (2)不妨設(shè)直線l1:θ=(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O,M,則ρM=|OM|=4sin=2, 又直線l2:θ=(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O,N, 則ρN=|ON|=4sin=2. 又∠MON=, 所以S△OMN=|OM|·|ON|=×2×2=2. 5.已知函數(shù)f(x)=|3x+2|. (1)解不等式:f(x)<4-|x-1|; (2)已知m>0,n>0,m+n=1,若對(duì)任意的x∈R,m>0,n>0,不等式|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求正數(shù)a的取值范圍. 解 (1)由題意得不等式為|3x+2|+|x-1|<4. ①當(dāng)x≥1時(shí)

9、,原不等式化為4x+1<4,解得x<,不符合題意; ②當(dāng)--,∴-0,n>0,m+n=1, ∴+=(m+n) =2++≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)=且m+n=1,m>0,n>0, 即m=n=時(shí)等號(hào)成立,∴min=4. 由題意得|x-a|-|3x+2|≤4(a>0)恒成立, ①當(dāng)x≥a時(shí),可得x-a-3x-2≤4恒成立,即-a≤2x+6恒成立,∴-a≤(2x+6)min=2a+6, 由a>0,可得上式顯然成立; ②當(dāng)-,∴a≤; ③當(dāng)x≤-時(shí),可得a-x+3x+2≤4恒成立,即a≤2-2x恒成立,∴a≤(2-2x)min=. 綜上可得0

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