（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 概率練習(xí) 文 新人教A版

第2講　概　率 一、選擇題 1．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)在區(qū)間[－3，4]內(nèi)隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)x，則滿足2x≥2的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B.由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的區(qū)間長度是7，[1，4]的區(qū)間長度是3，所以所求概率P＝.故選B. 2．(2019·高考全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.將兩位男同學(xué)分別記為A1，A2，兩位女同學(xué)分別記為B1，B2，則四位同學(xué)排成一列，情況有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24種，其中2名女同學(xué)相鄰的有12種，所以所求概率P＝，故選D. 3．某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課，每節(jié)課的時間為40分鐘，第一節(jié)課上課時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B.他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為40，他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘，則他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為10，所以他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是＝. 4．(2019·南昌市第一次模擬測試)2021年廣東新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治，假若他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.記地理、化學(xué)、生物分別為D，H，S，則小明與小芳的選課方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9種，小明與小芳選課方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3種情況，所以他們選課相同的概率為＝，故選B. 5．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)如圖，一靶子是由三個全等的三角形和中間的一個小等邊三角形拼成的大等邊三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子隨機(jī)投鏢，則鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因?yàn)?DF＝2BF，所以不妨設(shè)DF＝2，BF＝3，則DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝＝7，所以鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是＝，故選B. 6．(2019·武漢市調(diào)研測試)為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉．某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)，他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為，他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.設(shè)該籃球運(yùn)動員投進(jìn)第n－1(n≥2，n∈N*)個球的概率為Pn－1，第n－1個球投不進(jìn)的概率為1－Pn－1，則他投進(jìn)第n個球的概率為Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝＋Pn－1，所以Pn－＝. 所以Pn－＝·＝×＝. 所以Pn＝＋(n∈N*)，所以P2＝.故選B. 二、填空題 7．一個三位自然數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)其中兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213，134等)．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________． 解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)可能為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)有6個，由1，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，由2，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，共24個三位自然數(shù)．由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為＝. 答案：. 8．正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在三棱錐B1­A1BC1內(nèi)的概率為________． 解析：由題意，本題是幾何概型，以體積為測度．因?yàn)檎襟wABCD­A1B1C1D1的棱長為a， 所以三棱錐B1­A1BC1的體積··a·a·a＝a3，正方體ABCD­A1B1C1D1的體積為a3， 所以在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在三棱錐B1­A1BC1內(nèi)的概率為＝. 答案： 9．折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為________． 解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為S正方形AGFE＋S正方形DGHI＋S△ADG＝()2＋()2＋×2×2＝12， 陰影部分的面積為2××2×2＝4， 所以向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為＝. 答案： 三、解答題 10．(2019·高考天津卷)2019年，我國施行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況． (1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪． 　　 員工 項(xiàng)目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續(xù)教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫(yī)療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 贍養(yǎng)老人 ○ ○ × × × ○ ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率． 解：(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人． (2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種． ②由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種． 所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝. 11．(2019·昆明市質(zhì)量檢測)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為0.9. (1)若引種樹苗A，B，C各10棵． ①估計(jì)自然成活的總棵數(shù)； ②利用①中估計(jì)的結(jié)論，從沒有自然成活的樹苗中隨機(jī)抽取2棵，求抽到的2棵都是樹苗A的概率． (2)該農(nóng)戶決定引種B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活．若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？ 解：(1)①依題意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的總棵數(shù)約為26. ②沒有自然成活的樹苗共4棵，其中2棵A種樹苗，1棵B種樹苗，1棵C種樹苗，分別設(shè)為a1，a2，b，c，從中隨機(jī)抽取2棵，可能的情況有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是樹苗A的概率為. (2)設(shè)該農(nóng)戶引種B種樹苗n棵，最終成活的棵數(shù)為0.9n＋(1－0.9)n××0.8＝0.96n，未能成活的棵數(shù)為n－0.96n＝0.04n，由題意知0.96n×300－0.04n×50≥200 000，則n>699. 所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹苗，才可獲利不低于20萬元． 12．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位的?？繒r間(單位：小時)，如果?？繒r間不足半小時按半小時計(jì)時，超過半小時不足1小時按1小時計(jì)時，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表： 停靠時間 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 輪船數(shù)量 12 12 17 20 15 13 8 3 設(shè)該月這100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時． (1)求a的值； (2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠a小時，且在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率． 解： (1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4. (2)設(shè)甲船到達(dá)的時間為x，乙船到達(dá)的時間為y， 則. 若這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待，則|y－x|<4， 符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分(不包括x，y軸)所示． 記“這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待”為事件A， 則P(A)＝＝. - 7 -