（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 附加考查部分 1 第1講 曲線與方程刷好題練能力 文

第1講 曲線與方程 1．如圖，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且DM＝2DP.當(dāng)點P在圓x2＋y2＝1上運動時．求點M的軌跡C的方程． 解：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝，① 因為P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.② 將①代入②，得點M的軌跡C的方程為x2＋＝1. 2．設(shè)F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程． 解：設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， 因為⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， 所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， 所以即 所以－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x. 3．(2019·蘇州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，－2)，若實數(shù)λ使得λ2·＝·(O為坐標(biāo)原點)．求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型． 解：＝(x，1)，＝(x，－2)， ＝(x＋，y)，＝(x－，y)． 因為λ2·＝·， 所以(x2－2)λ2＝x2－2＋y2， 整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)． ①當(dāng)λ＝±1時，方程為y＝0，軌跡為一條直線； ②當(dāng)λ＝0時，方程為x2＋y2＝2，軌跡為圓； ③當(dāng)λ∈(－1，0)∪(0，1)時，方程為＋＝1，軌跡為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓； ④當(dāng)λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，方程為－＝1，軌跡為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線． 4．已知點P是圓O：x2＋y2＝9上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點Q滿足＝. (1)求動點Q的軌跡方程； (2)已知點E(1，1)，在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的點M、N，使＝(＋)(O是坐標(biāo)原點)．若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由． 解：(1)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，由題意得點D的坐標(biāo)為D(x0，0)，所以＝(x－x0，y)，＝(0，y0)， 又＝，所以即 因為P在圓O上，故x＋y＝9，所以＋＝1. 所以點Q的軌跡方程為＋＝1. (2)存在．假設(shè)橢圓＋＝1上存在兩個不重合的點M(x1，y1)，N(x2，y2)滿足＝(＋)， 則E(1，1)是線段MN的中點， 且有即 又M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓＋＝1上， 所以兩式相減， 得＋＝0. 所以kMN＝＝－， 所以直線MN的方程為4x＋9y－13＝0. 所以橢圓上存在點M、N滿足＝(＋)， 此時直線MN的方程為4x＋9y－13＝0. 3