（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中外數(shù)學(xué)文化專練 文

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1、中外數(shù)學(xué)文化專練 縱觀近幾年高考，中外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化已成為高考數(shù)學(xué)命題的重要素材之一，命題者常常結(jié)合統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內(nèi)容，通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變?cè)O(shè)問方式，選取適合的知識(shí)內(nèi)容等多種方法滲透中外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化.以數(shù)學(xué)文化為背景的問題，不僅讓人耳目一新，同時(shí)它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開. 隨著高考改革的深入，命題者仍會(huì)適當(dāng)加大對(duì)中國傳統(tǒng)文化進(jìn)行考查的內(nèi)容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國古代科技文明作為試題背景材料，遵循繼承、弘揚(yáng)、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，體 現(xiàn)中國傳統(tǒng)科技文化對(duì)人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的貢獻(xiàn)，踐行社會(huì)主

2、義核心價(jià)值觀. 1．(2019·呼和浩特二模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)公式eix＝cos x＋isin x(i為虛數(shù)單位)，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．特別是當(dāng)x＝π時(shí)，eiπ＋1＝0被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”．根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于(　　) A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[根據(jù)歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i為虛數(shù)單位)， 得ei＝cos 1＋isin 1， 它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos 1，sin

3、1)，且， 所以位于第一象限．故選A.] 2．(2019·黃山三模)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1＝(　　) A．23 B．32 C．35 D．38 C　[由題意可知年齡構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為－3，則9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35，故

4、選C.] 3．中華文化博大精深，我國古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計(jì)概率得到圓周率π的近似值的方法．古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2 cm，正方形的邊長為1 cm，在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若統(tǒng)計(jì)得到此點(diǎn)取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的近似值為(　　) 圖1　 　圖2 A. B. C. D. A　[圓形錢幣的半徑為2 cm，面積為S圓＝π·22＝4π； 正方形邊長為1 cm，面積為S正方形＝12＝1. 在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p＝＝1－，則π＝.故選A.] 4．(2019·

5、岳麓區(qū)校級(jí)模擬)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率是(　　) A. B. C. D. D　[在不超過20的素?cái)?shù)中有2,3,5,7,11,13,17,19共8個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有28種， 隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20有2種， 故可得隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率P＝，故選D.] 5．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影

6、長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為(　　) A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 B　[設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋d＝85.5， 解得d＝－1，a1＝13.5.則a12＝13.5－11＝2.5.故選B.] 6．(2019·鄭州三模)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征．如函數(shù)f

7、(x)＝的圖象大致是(　　) A　　 　B C　　 　D D　[根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝，則f(－x)＝＝，易得f(x)為非奇非偶函數(shù)，排除A、B，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)＝→0，排除C；故選D.] 7．(2019·濟(jì)南模擬)朱世杰是我國元代偉大的數(shù)學(xué)家，其傳世名著《四元玉鑒》中用詩歌的形式記載了下面這樣一個(gè)問題： 我有一壺酒，攜著游春走． 遇務(wù)①添一倍，逢店飲斛九②，店務(wù)經(jīng)四處，沒了這壺酒， 借問此壺中，當(dāng)原多少酒？ ①“務(wù)”：舊指收稅的關(guān)卡所在地；②“斛九”：1.9斛．如圖是解決該問題的算法程序框圖，若輸入的x值為0，則輸出的x值

8、為(　　) A. B. C. D. C　[由題意，模擬程序的運(yùn)行， x＝0，i＝0 第一次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝，i＝1，不滿足退出循環(huán)的條件； 第二次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝，i＝2，不滿足退出循環(huán)的條件； 第三次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝，i＝3，不滿足退出循環(huán)的條件； 第四次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝，i＝4，滿足退出循環(huán)的條件，輸出x的值為.故選C.] 8．(2019·安徽二模)謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白

9、色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積(我們稱黑三角形為謝爾賓斯基三角形)．在如圖第5個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在白色區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D. B　[不妨設(shè)第一個(gè)三角形的面積為1，則第二個(gè)圖中黑色部分面積為， 第3個(gè)圖中黑色部分面積為2， 第4個(gè)圖中黑色部分面積為3， 第5個(gè)圖中黑色部分面積為4， 則在第5個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，落在白色區(qū)域的概率為P＝1－4＝.故選B.] 9．電子計(jì)算機(jī)誕生于20世紀(jì)中葉，是人類最偉大的技術(shù)發(fā)明之一．計(jì)算機(jī)利用二進(jìn)制存儲(chǔ)信息，其中最基本單位是“位(bit)”，1位只能存放2種不同的信息：0或l，分別通過電

10、路的斷或通實(shí)現(xiàn)．“字節(jié)(Byte)”是更大的存儲(chǔ)單位，1Byte＝8bit，因此1字節(jié)可存放從00000000(2)至11111111(2)共256種不同的信息．將這256個(gè)二進(jìn)制數(shù)中，所有恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的所有數(shù)相加，則計(jì)算結(jié)果用十進(jìn)制表示為(　　) A．254 B．381 C．510 D．765 B　[恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的二進(jìn)制數(shù)為11000000,1100000,110000,11000,1100,110,11，共7個(gè)．轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制并相加得(27＋26 )＋(26＋25 )＋(25＋24 )＋(24＋23 )＋(23＋22 )＋(22＋21

11、 )＋(21＋20 )＝381，故選B.] 10．(2019·東湖區(qū)校級(jí)三模)“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4－5中給出了二維形式的柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc(即＝)時(shí)等號(hào)成立．該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)f(x)＝2＋的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為(　　) A.， B.，

12、 C.， D.， A　[由柯西不等式可知： (2＋)2≤(22＋12)[()2＋()2]＝5， 所以2＋≤， 當(dāng)且僅當(dāng)2＝，即x＝時(shí)取等號(hào)， 故函數(shù)f(x)＝2＋的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為，，故選A.] 11．(2019·馬鞍山一模)1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī).1674年，萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來過于復(fù)雜，隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念．之后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問題進(jìn)行了深入的研究．研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)n，x(x≥2)，我們準(zhǔn)備nx張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0,1，…，x－1的卡片各有

13、n張．如果用這些卡片表示n位x進(jìn)制數(shù)，通過不同的卡片組合，這些卡片可以表示x個(gè)不同的整數(shù)(例如n＝3，x＝10時(shí)，我們可以表示出000…999共103個(gè)不同的整數(shù))．假設(shè)卡片的總數(shù)nx為一個(gè)定值，那么x進(jìn)制的效率最高則意味著nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)xn最大．根據(jù)上述研究方法，幾進(jìn)制的效率最高？(　　) A．二進(jìn)制 B．三進(jìn)制 C．十進(jìn)制 D．十六進(jìn)制 B　[設(shè)nx＝k為定值，則nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)y＝x，(x，k∈N*)， 假設(shè)x，k∈R＋，則ln y＝ ln x，即y＝eln x， 求導(dǎo)可得：y′＝eln x·(1－ln x)， 因?yàn)閑ln x·＞0，

14、所以當(dāng)00，當(dāng)x>e，y′<0， 可得x＝e時(shí)，函數(shù)y取得最大值， 比較2，3的大小即可，分別6次方可得：23k＝8k,32k＝9k， 可得8k<9k，∴2<3.∴根據(jù)上述研究方法，3進(jìn)制的效率最高，故選B.] 12．黃金分割起源于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù)．已知雙曲

15、線－＝1的實(shí)軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則m的值為(　　) A．2－2 B.＋1 C．2 D．2 A　[由題意得，在雙曲線中a2＝(－1)2，b2＝m， ∴c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m. ∵雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù)， ∴＝＝， ∴＝2＝， ∴＝，解得m＝2(－1)．故選A.] 13．(2019·南昌二模)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)閤2＋y2≤1，若將軍從點(diǎn)A(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為(　　) A.－1 B．2－1 C．2 D. A　[設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y＝3的對(duì)稱點(diǎn)A′(a，b)， AA′的中點(diǎn)為，kAA′＝， 故解得， 要使從點(diǎn)A到軍營總路程最短，即為點(diǎn)A′到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為－1＝－1，故選A.] - 8 -