《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系檢測(cè) 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系檢測(cè) 文(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第8講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[基礎(chǔ)題組練]
1.已知直線y=kx+1與雙曲線x2-=1交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=8,則實(shí)數(shù)k的值為( )
A.± B.±或±
C.± D.±
解析:選B.由直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),得k≠±2.將y=kx+1代入x2-=1得,(4-k2)x2-2kx-5=0,則Δ=4k2+4(4-k2)×5>0,解得k2<5.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=8,解得k=±或±.
2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與直線y=2x有交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A
2、.(1,) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
解析:選C.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=x,則由題意得>2,所以e==>=.
3.若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2=2px(p>0)的一條弦的中點(diǎn),且這條弦所在直線的斜率為2,則p的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B.設(shè)過(guò)點(diǎn)(3,1)的直線交拋物線y2=2px(p>0)于A、B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),
則,
由①-②得y-y=2p(x1-x2),即=,由題意知kAB=2,且y1+y2=2,故kAB==2,所以p=y(tǒng)1+y2=2.
4.橢圓mx2+n
3、y2=1與直線y=1-x交于M,N兩點(diǎn),連接原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所得直線的斜率為,則的值是( )
A. B.
C. D.
解析:選A.由得(m+n)x2-2nx+n-1=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,所以y1+y2=,所以線段MN的中點(diǎn)為P.由題意知,kOP=,所以=.故選A.
5.若直線y=x+b和曲線4x2-y2=36有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則b的取值范圍是________.
解析:聯(lián)立直線方程和曲線方程,消去y得,-x2-5bx-b2-36=0,由直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以Δ=25b2-9(b2+36)>0,解得b<-或b>.
答案:∪
4、6.經(jīng)過(guò)橢圓+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則·=________.
解析:依題意,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),其方程為y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1,代入橢圓方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-1),,
所以·=-,同理,直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí),也可得·=-.
答案:-
7.已知點(diǎn)Q是拋物線C1:y2=2px(p>0)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q與拋物線C2:y=2x2相切的兩條直線分別交拋物線C1于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-6),求直線AB的方程及
5、弦AB的長(zhǎng).
解:由Q(1,-6)在拋物線y2=2px上,可得p=18,
所以?huà)佄锞€C1的方程為y2=36x.
設(shè)拋物線C2的切線方程為y+6=k(x-1).
聯(lián)立消去y,得2x2-kx+k+6=0,
Δ=k2-8k-48.
由于直線與拋物線C2相切,故Δ=0,
解得k=-4或k=12.
由得A;
由得B.
所以直線AB的方程為12x-2y-9=0,弦AB的長(zhǎng)為2.
8.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,虛軸長(zhǎng)為4.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(0,1),傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.
6、解:(1)依題意可得解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
(2)由題意得直線l的方程為y=x+1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由得3x2-2x-5=0.
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|=·=× =.
原點(diǎn)O到直線l的距離d==,
所以S△OAB=·|AB|·d=××=.
即△OAB的面積為.
[綜合題組練]
1.過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的漸近線交于C,D兩點(diǎn).若|AB|≥|CD|,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A. B.
7、
C. D.
解析:選B.將x=c代入-=1,得y=±,則|AB|=.將x=c代入y=±x,得y=±,則|CD|=.因?yàn)閨AB|≥|CD|,所以≥×,即b≥c,則b2≥c2,所以a2=c2-b2≤c2,所以e2≥.因?yàn)閑>1,所以e≥.故選B.
2.(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D.由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,如圖所示,設(shè)|F1F2|=2c,因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形
8、,且∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c.因?yàn)閨OF2|=c,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(c+2ccos 60°,2csin 60°),即點(diǎn)P(2c,c).因?yàn)辄c(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A,且斜率為的直線上,所以=,解得=,所以e=,故選D.
3.直線l與拋物線C:y2=2x交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,且滿(mǎn)足k1k2=,則直線l過(guò)定點(diǎn)________.
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閗1k2=,所以·=.又y=2x1,y=2x2,所以y1y2=6.將直線l:x=my+b代入拋物線C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2
9、b=6,得b=-3,即直線l的方程為x=my-3,所以直線l過(guò)定點(diǎn)(-3,0).
答案:(-3,0)
4.(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=________.
解析:法一:由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2=4,即y2-y-4=0,則y1+y2=,y1y2=-4,由∠
10、AMB=90°,得·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,將x1+x2=,x1x2=1與y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.
法二:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2),則所以y-y=4(x1-x2),則k==,取AB的中點(diǎn)M′(x0,y0),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為A′,B′,又∠AMB=90°,點(diǎn)M在準(zhǔn)線x=-1上,所以|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA′|+|BB′|).又M′為AB的中點(diǎn),所以MM′平行于x軸,且y0=1,所以y1+y2=2,所以
11、k=2.
答案:2
5.(綜合型)(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)(一))已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方),若=2,求直線l的斜率k的值.
解:(1)由解得
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)由題意得直線l的方程為y=k(x+1)(k>0),聯(lián)立,得整理得y2-y-9=0,
Δ=+144>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=,
又=2,所以y1=-2y2,
所以y1y2=-2(y1+y2)2,
則3+4k2=8,解得k=±,
12、又k>0,所以k=.
6.(2018·高考天津卷)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,|AB|=.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.
解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由|AB|==,從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組消去y,可得x2=.由方程組消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.當(dāng)k=-時(shí),x2=-9<0,不合題意,舍去;當(dāng)k=-時(shí),x2=12,x1=,符合題意.
所以,k的值為-.
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