《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做10 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做10 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題 理（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、大題精做10 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題
[2019·甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，
且原點(diǎn)到直線的距離為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且與圓相切．
試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題可知，，，則，
直線的方程為，即，所以，
解得，，
又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）因為直線與圓相切，
所以，即．
設(shè)，，聯(lián)立，得，
所以，
，，
所以．
又，所以．
因為，同理．
所以，
所以的周長是，
則的周長為定值．
2、1．[2019·安慶期末]已知橢圓過點(diǎn)，焦距長，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，求證：為定值．
2．[2019·東莞期末]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），
求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．[2019·漳州一模]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，
3、且橢圓的一個頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．
1．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程，
可得，，故橢圓方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線交橢圓于，，
由，可得，
，，，，
，
化簡得，
當(dāng)直線斜率為0時，，，，
即證為定值，且為．
2．【答案】（1）；（2）見解析．
【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，，
∴，∴，∴，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①直線斜
4、率存在，設(shè)直線，，，
聯(lián)立方程，消去得，
，，
，又，
由，得，
即，∴，
∴，
∴．解得，，且均滿足，
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．
②由橢圓的對稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，，易得直線，
，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，，
此時直線斜率不存在，也過定點(diǎn)，
綜上所述，直線恒過定點(diǎn)．
3．【答案】（1）；（2）詳見解析．
【解析】解法一：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由拋物線的焦點(diǎn)為，得，① 又，②
由①②及，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）依題意設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)時，聯(lián)立方程，
得，，
所以，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
的垂直平分線為，
令，得，，
又，所以，
當(dāng)時，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以；
綜上所述，為定值．
解法二：
（1）同解法一．
（2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程，得，
所以，
，，
，
，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
的垂直平分線為，
令，得，所以，所以；
當(dāng)直線的斜率為0時，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以；
綜上所述，為定值．
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