2020屆高考數(shù)學 專題十九 圓錐曲線綜合精準培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點十九 圓錐曲線綜合 一、圓錐曲線綜合 例1：已知為坐標原點，，分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上且 位于第一象限，點在軸上的投影為，且有（其中），的連線與軸交于點，與的交點恰為線段的中點，則橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設，則，， 由題意，得的橫坐標為， 由，得，∴， ∵，，∴直線的方程為， 令，則，∴，∴直線的方程為， ∵直線的方程為，∴點， ∵恰為線段的中點，∴， 整理可得，則． 例2：設，是雙曲線（，）的左，右焦點，是坐標原點．過作的一 條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（） A． B． C． D．

2、 【答案】C 【解析】雙曲線（，）的一條漸近線方程為， ∴點到漸近線的距離，即， ∴，， ∵，∴， 在三角形中， 由余弦定理可得， ∴， 即，即，∴，故選C． 例3：已知定點，點是拋物線上的動點，則（其中為拋物線的焦點）的 最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，作準線于點，則， 設的傾斜角為，則（）， 當與相切時，取最大值，由，可得， 代入拋物線，得， 即，，可得，解得或， 故的最大值為，即的最大值為，即的最大值為． 對點增分集訓 一、選擇題 1．已知雙曲線的漸近線被圓截得的弦長等于，則雙曲線兩條漸近線相夾所成

3、的銳角為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】過圓心作漸近線的垂線， 設垂足為，由題意知圓心到漸近線的距離，則易知， 所以兩漸近線相夾所成的銳角為． 2．如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，交準線于點，若，，則拋物線的方程為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作，垂直準線，垂足分別為，， ，即，可得， 則，，， 所以是線段中點，所以，則． 3．已知點，是橢圓的左右焦點，橢圓上存在不同兩點，使得， 則橢圓的離心率的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】極限法：當重合于右頂點時，有，此時， 當

4、時，橢圓越扁，顯然存在，故． 或：如圖，為線段中點，設，則，， 可知，則， 點在橢圓上，有，代入，可得， 即有，解得， 又，所以． 4．已知過拋物線焦點的直線與交于兩點，交圓于，兩點， 其中位于第一象限，則的值不可能為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，設，， 由焦點弦的性質有，即有， 又，， ， ，當時取等號， 所以，不可能等于． 5．已知兩點在橢圓上，若，則的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設點在第一象限，直線的傾斜角為， 則，， 點在橢圓上，則，即， 同理有，則， ，所以，

5、當時取等號，此時． 6．已知點是的雙曲線的左焦點，過且斜率為的直線與雙曲線的漸近線分別交于點，，若線段中點為，且（為原點），則雙曲線的離心率等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設，，， 點，在漸近線上，即， 同理，所以，即， 因為，，， 則有，得， 如圖，易知點在第一象限，，得， ，則， 所以，． 二、填空題 7．已知點是橢圓的右焦點，點是原點關于直線的對稱點， 且軸，則橢圓的離心率等于__________． 【答案】 【解析】由題意可知直線，直線，聯(lián)立得， 則線段中點為， 則有，即，所以，則． 8．設，是雙曲線的左右焦點

6、，過焦點的直線與曲線的左支交于點，，若， 且，則雙曲線的漸近線方程為__________． 【答案】 【解析】如圖，設，，由雙曲線的定義知， 即，，則， 設為線段中點，則，，， 由勾股定理得， 即，解得，，所以， 漸近線方程為． 9．已知點是拋物線的焦點，點，在拋物線上，滿足， 則的最小值為． 【答案】 【解析】知，設，，， 解得，， 當時取等號． 10．已知點，是離心率的雙曲線的兩個焦點，直線 與雙曲線交于，兩點，設，分別是，的內心，且，則雙曲線的標準 方程是__________． 【答案】 【解析】直線過右焦點，， 所以直線與雙曲線的右支

7、有兩個交點， 如圖，設右頂點，，，，垂足分別為，，， 由雙曲線的定義及三角形內心特點，有， 則可得，重合，同理，，垂足為， 設直線的傾斜角為，由題意知，， 則，則，由角平分線特點知， ，可知，， ，則， ， 所以， 又，解得，，，所以雙曲線的標準方程是． 三、解答題 11．已知拋物線的焦點為，為上位于第一象限的任意一點，過點的直線交曲線于另一點，交軸的正半軸于點，記點關于軸的對稱點為點，交軸于點，且． （1）求證：點，關于原點對稱； （2）求點到直線的距離的取值范圍． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】設直線，，，則， 由，消，得，得，

8、 （1）設，知，，三點共線， 又，，則有， 即，所以點，關于原點對稱． （2）因為，所以，即， 即，得，則， ， 設，則，函數(shù)在上遞減， 所以． 12．已知橢圓經過點，離心率． （1）求橢圓的標準方程； （2）過點作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓交于點和四點， 若分別是線段的中點，判斷直線是否過定點？若是，請求出定點坐標，若不是請說明理由． 【答案】（1）；（2）是過定點，定點為． 【解析】（1）由題意知，解得， 橢圓的標準方程為． （2）當直線，的斜率存在且不為時， 設，與橢圓方程聯(lián)立并消去得， 設，，則有，， 線段的中點， 同理可得線段的中點， 當時，，，； 當時，，則， 即，即直線過定點； 當直線，的斜率一個為一個不存在時， 可知直線的方程為，過定點， 綜上，直線過定點． 14