2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二單元 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 文（含解析）新人教A版

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1、第12講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 1.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),它最可能的函數(shù)模型是 (　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函數(shù)模型 B.冪函數(shù)模型 C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型 2.在某種新型材料的研制過(guò)程中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(如下表),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)來(lái)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A.y=2x

2、-2 B.y=12(x2-1) C.y=log2x D.y=log12x 3.某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是 (　　) 圖K12-1 4.已知某種動(dòng)物的數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只,則到第8年它們發(fā)展到　　　　只.? 5.擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)給出,其中m>0,[m]是不超過(guò)m的最大整數(shù)(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3)

3、,則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為　　　　元.? 6.如圖K12-2(1)是反映某條公交線路收支差額(即營(yíng)運(yùn)所得票價(jià)收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關(guān)系的圖像.由于目前該條公交線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議,如圖K12-2(2)和圖K12-2(3)所示. 圖K12-2 給出以下說(shuō)法: ①圖(2)的建議是:提高付出成本并提高票價(jià); ②圖(2)的建議是:降低付出成本但保持票價(jià)不變; ③圖(3)的建議是:提高票價(jià)但保持付出成本不變; ④圖(3)的建議是:提高票價(jià)并降低付出成本. 其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是 (　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

4、 7.[2018·馬鞍山一檢] 某高校為提升科研能力,計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) (　　) A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年 8.我國(guó)為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,除了應(yīng)征稅收外,還征收附加稅.已知某種酒每瓶的售價(jià)為70元,不收附加稅時(shí),每年大約銷售100萬(wàn)瓶.若每銷售100元國(guó)家要征收附加稅x元(即稅率為x%),則每年銷售量將減少

5、10x萬(wàn)瓶,如果要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅不少于112萬(wàn)元,則x的最小值為 (　　) A.2 B.6 C.8 D.10 9.[2018·滁州模擬] 將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量y=aent.假設(shè)過(guò)5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過(guò)mmin甲桶中的水只有a4L,則m的值為 (　　) A.5 B.8 C.9 D.10 10.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=C,0A.已知某家庭2018年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表: 月份 用氣量 煤氣費(fèi) 一月份 4m3 4元 二月份

6、 25m3 14元 三月份 35m3 19元 若四月份該家庭使用了20m3的煤氣,則煤氣費(fèi)為 (　　) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 11.如圖K12-3,已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板被裁去了△DEF部分, 圖K12-3 其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上,則矩形BNPM面積的最大值為　　　　平方米.? 12.某公司要購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)f(x)(萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年,x∈N+)的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=-x2

7、+18x-25,則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)　　　　年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大年平均利潤(rùn)為　　　　萬(wàn)元.? 13.食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來(lái)了一定的危害.為了給消費(fèi)者提供放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社計(jì)劃每年投入200萬(wàn)元給甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚,每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬(wàn)元)的關(guān)系滿足P=80+42a,Q=14a+120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬(wàn)元),每年兩個(gè)大棚的總收入為f(x)(單位:萬(wàn)元). (1)求f(50)的值. (2)試問(wèn)如何安排甲

8、、乙兩個(gè)大棚的投入,才能使總收入最高? 14.[2018·北京西城區(qū)模擬] 某商品每件的成本為9元,售價(jià)為30元,一個(gè)星期可賣出72件,如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,且一個(gè)星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位:元,0≤x≤30)成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí),一個(gè)星期多賣出8件. (1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù). (2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? 15.[2018·合肥模擬] 水培植物需要一種植物專用營(yíng)養(yǎng)液,已知每投放a(0

9、天)變化的函數(shù)關(guān)系式為y=af(x),其中f(x)=3+x3-x(0≤x≤2),5-x(2

10、　[解析] 由y隨x的變化趨勢(shì)知,函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的增長(zhǎng)速度隨x的增大越來(lái)越快,又A中函數(shù)增長(zhǎng)速度不變,C中函數(shù)是增長(zhǎng)速度逐漸變慢的函數(shù),D中函數(shù)是減函數(shù),故排除A,C,D,易知B中函數(shù)y=12(x2-1)最符合題意. 3.A　[解析] 前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,說(shuō)明呈高速增長(zhǎng),只有A,C中的圖像符合要求.又后3年年產(chǎn)量保持不變,故選A. 4.200　[解析] 由題意知100=alog3(2+1),∴a=100,∴y=100log3(x+1),∴當(dāng)x=8時(shí),y=100log3(8+1)=100×2=200. 5.4.24　[解析] 因?yàn)閙=6.5,所以[m]=6,

11、則f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 6.C　[解析] 根據(jù)題意和圖(2)知,兩直線平行即票價(jià)不變,直線向上平移說(shuō)明付出成本變小了,即說(shuō)明了此建議是降低付出成本但保持票價(jià)不變,故②中說(shuō)法正確; 由圖(3)看出,付出成本不變,但是直線的傾斜角變大了,也就是說(shuō)乘客量相同時(shí)收入增加了,即票價(jià)提高了,說(shuō)明此建議是提高票價(jià)但保持付出成本不變,故③中說(shuō)法正確.故選C. 7.B　[解析] 若2018年是第一年,則第n年的科研經(jīng)費(fèi)為1300×1.12n萬(wàn)元,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n>lg2-lg1.3lg1.12≈3.8,∴n≥4

12、,∴科研經(jīng)費(fèi)開始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是2021年,故選B. 8.A　[解析] 由題意可知,每年此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅為104×(100-10x)×70×x100元,令104×(100-10x)×70×x100≥112×104,解得2≤x≤8.故x的最小值為2. 9.A　[解析]∵5min后甲桶和乙桶的水量相等, ∴函數(shù)y=f(t)=aent,滿足f(5)=ae5n=12a, 可得n=15ln12, 若再過(guò)mmin后甲桶中的水只有a4L, 則f(m+5)=14a, 即15ln12·(m+5)=ln14, 即15ln12·(m+5)=2ln12, 解得m=5. 故選A.

13、10.A　[解析] 根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=12,C=4,所以f(x)=4,05,所以f(20)=4+12×(20-5)=11.5.故選A. 11.48　[解析] 設(shè)MP=x,PN=y,作PQ⊥AF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,EQPQ=EFFD,所以x-48-y=42,即y=-12x+10,4≤x≤8.設(shè)矩形BNPM的面積為S(x),則S(x)=xy=x10-12x=-12(x-10)2+50,因?yàn)楹瘮?shù)S(x)在[4,8]上單調(diào)遞增,所以

14、當(dāng)x=8時(shí),S(x)有最大值,S(8)=-12×(8-10)2+50=48(平方米). 12.5　8　[解析] 設(shè)每臺(tái)機(jī)器的年平均利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元,根據(jù)已知條件得,每臺(tái)機(jī)器的年平均利潤(rùn)g(x)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為g(x)=f(x)x=-x2+18x-25x=18-x+25x, 則g(x)=18-x+25x≤18-2x·25x=8, 當(dāng)且僅當(dāng)x=25x,即x=5時(shí)等號(hào)成立, 則g(x)max=g(5)=8. 故每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)5年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大年平均利潤(rùn)為8萬(wàn)元. 13.解:(1)若甲大棚投入50萬(wàn)元,則乙大棚投入150萬(wàn)元. 所以f(50)=80+42×50+1

15、4×150+120=277.5(萬(wàn)元). (2)由題知,f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250, 依題意得x≥20,200-x≥20,解得20≤x≤180, 故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180). 令t=x,則t2=x,t∈[25,65], y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282, 當(dāng)t=82,即x=128時(shí),y取得最大值282, 所以投入甲大棚128萬(wàn)元,乙大棚72萬(wàn)元時(shí),總收入最高,最高為282萬(wàn)元. 14.解:(1)由題意得82=4,即商品單價(jià)每降低x元,則一個(gè)星期多賣出4x件. 設(shè)一個(gè)星期

16、的商品銷售利潤(rùn)(單位:元)為f(x), 則f(x)=(30-x-9)(72+4x) =4(x+18)(-x+21) =4(-x2+3x+378) =-4x2+12x+1512(0≤x≤30). (2)由(1)得f(x)=4(-x2+3x+378) =4-x-322+94+378 =-4x-322+9+1512 =-4x-322+1521≤1521, 所以當(dāng)x=32時(shí),f(x)取得最大值1521, 此時(shí)定價(jià)為每件30-32=572=28.5(元),最大銷售利潤(rùn)為1521元. 15.解:(1)營(yíng)養(yǎng)液有效則需滿足y≥4, 則0≤x≤2,2·3+x3-x≥4或2

17、-x)≥4, 解得1≤x≤2或2