《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練20 正弦定理和余弦定理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練20 正弦定理和余弦定理（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練20 正弦定理和余弦定理
基礎(chǔ)鞏固組
1.在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,則AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析由余弦定理得13=9+AC2+3AC?AC=1.故選A.
2.(2017臺(tái)州二次適應(yīng)性測(cè)試)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2+b2-c2=ab=3,則△ABC的面積為( )
A.34 B.34 C.32 D.32
答案B
解析依題意得cosC=a2+b2-c22ab=12,C=60°,因此△ABC的面積等于12absinC=12×3×32=3
2、4,故選B.
3.(2017浙江溫州瑞安模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,則∠B=( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案A
解析利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB,∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=12,∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B為銳角,則∠B=π6.故選A.
4.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=1,sinBsinC=12+cosCc,
3、則A= .?
答案60°
解析由條件sinBsinC=12+cosCc得bc=12+cosCc,
則b=12c+cosC=12c+1+b2-c22·1·c,即b2+c2=bc+1,
∵1=b2+c2-2bccosA,可得cosA=12,∴A=60°.
5.(2018浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sin B= ,c= .?
答案217 3
解析由正弦定理asinA=bsinB,
可知sinB=bsinAa=2·sin60°7=2×327=217.
∵a=7>b=2,∴B為銳角.
∴co
4、sB=1-sin2B=47=277.
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=32×217-277×12=37-2714=714.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=7+4-2×2×7×714=7+4-2=9.∴c=3.
6.(2018浙江諸暨5月適應(yīng)考試)在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且△ABC的周長(zhǎng)為9,則c= ;若△ABC的面積等于3sin C,則cos C= .?
答案4 -14
解析△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,
∵sinA+s
5、inB=54sinC,∴由正弦定理得a+b=5c4,
又△ABC的周長(zhǎng)為9,則c+5c4=9,解得c=4.
若△ABC的面積等于3sinC,即12absinC=3sinC,
整理得ab=6.又a+b=5c4=5,
解得a=2,b=3,或a=3,b=2,∴cosC=a2+b2-c22ab=-14.
能力提升組
7.(2018浙江溫州期末)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,則角C的大小為( )
A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3
答案A
解析由(a2+b2-c2)tanC=ab可得,a2+b2-c
6、22abtanC=12,
由余弦定理可得cosCtanC=sinC=12,
因?yàn)?
7、3,∴b=1+3.故選D.
9.在銳角△ABC中,若A=2B,則ab的范圍是(a,b分別為角A,B的對(duì)邊長(zhǎng))( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(0,2) D.(2,2)
答案A
解析∵A=2B,∴根據(jù)正弦定理得ab=sinAsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.(sinB≠0)∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B.∵角C為銳角,∴30°
8、,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,則△ABC的面積為( )
A.32 B.34 C.32或34 D.3或32
答案C
解析根據(jù)正弦定理可得2sinB-3sinC=2sinAcosC,而sinB=sin(A+C),整理為2cosAsinC=3sinC,所以cosA=32,所以A=30°,asinA=csinC,解得c=3,因?yàn)閟inC=32,所以C=60°或C=120°,當(dāng)C=60°時(shí),B=90°,此時(shí)△ABC的面積為S=12ac=32,當(dāng)C=120°時(shí),B=30°,此時(shí)△ABC的面積為S=12acsinB=34,故選C.
11.在銳角△ABC中,角
9、A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2bsin C,則tan A+tan B+tan C的最小值是( )
A.4 B.33 C.8 D.63
答案C
解析∵a=2bsinC,∴sinA=2sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,兩邊同除cosBcosC,
∴2tanBtanC=tanB+tanC,又tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,
∴tanB+tanC=2tanAtanA-2,
∴tanA+tanB+tanC=tanA+2tanAtanA-2=tanA-2+4tanA-2+4≥8,當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)取等號(hào).
12
10、.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=3,則S△ABC= .?
答案32
解析因?yàn)榻茿,B,C依次成等差數(shù)列,所以B=60°.由正弦定理,得1sinA=3sin60°,解得sinA=12,因?yàn)?°
11、AD2-BD22AB·AD=5x2-364x2=54-9x2,
所以sinA=1-54-9x22,
所以S△ABC=12AB·ACsinA=12·4x21-54-9x22=2-916(x2-20)2+144≤24,當(dāng)x2=20,即x=25時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)△ABC的面積取得最大值時(shí),AB的長(zhǎng)為45.
14.(2017浙江溫州模擬改編)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=2,2cos 2B+C2+sin A=45,
(1)若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè),則b的取值范圍為 ;?
(2)當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)取最大值時(shí),則b的值為 .?
答案(1)(0,2]∪1
12、03 (2)10
解析(1)2cos2B+C2+sinA=45?1+cos(B+C)+sinA=45,即sinA-cosA=-15,
又∵0
13、nθ=1010,cosθ=31010,lmax=2+210,當(dāng)cosB=1010,sinB=31010時(shí)取到等號(hào),此時(shí)b=asinAsinB=10.
15.(2018江蘇調(diào)研)已知△ABC中,若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,滿足a+1a+4cos C=0,b=1.
(1)若△ABC的面積為32,求a;
(2)若A=π6,求△ABC的面積.
解(1)由S=12absinC=12asinC=32得asinC=3,即sinC=3a.又a+1a=-4cosC,那么a+1a2=16cos2C=16(1-sin2C)=16-48a2,即a4-14a2+49=0,得到a2=7,即有a=7.
14、
(2)由題意有a+1a=-4cosC及余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,有a+1a=-4·a2+b2-c22ab=-2(a2+1-c2)a,即a2+1=23c2, ?、?
又由b2+c2-a2=2bccosA可知c2-a2+1=3c, ?、?
由①②得到c2-33c+6=0,即(c-3)(c-23)=0,可知c=3或c=23.經(jīng)檢驗(yàn),c=3或c=23均符合題意,
則△ABC的面積為S=12bcsinA=32或34.
16.(2017浙江名校聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=2,C=π3.
(1)當(dāng)2sin 2A+sin(2B+C)=sin C時(shí)
15、,求△ABC的面積;
(2)求△ABC周長(zhǎng)的最大值.
解(1)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC,得4sinAcosA-sin(B-A)=sin(A+B),得2sinAcosA=sinBcosA,當(dāng)cosA=0時(shí),A=π2,B=π6,a=433,b=233,
當(dāng)cosA≠0時(shí),sinB=2sinA,由正弦定理b=2a,聯(lián)立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433,故三角形的面積為S△ABC=12absinC=233;
(2)由余弦定理及已知條件可得a2+b2-ab=4,由(a+b)2=4+3ab≤4+3(a+b)24得a+b≤4,故△ABC周長(zhǎng)的最大值為6,當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形取到.
5
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練20 正弦定理和余弦定理
