（通用版）2020高考數(shù)學二輪復習 單科標準練（三）文

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1、單科標準練(三) (滿分：150分　時間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知集合M＝{x|2x＋1＞0}，N＝{x|(x＋1)(x－4)＜0}，則M∩N＝(　　) A．(1,4)　 B. C．(－1,4) D. B　[由2x＋1＞0，得x＞－，所以M＝.解不等式(x＋1)(x－4)＜0，得－1＜x＜4，所以N＝(－1,4)．故M∩N＝，故選B.] 2．已知＝n＋i(m，n∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則m＋n＝(　　) A．3　　　　B．2 C．4　　　　D．－4 A　

2、[法一：由已知得m＋3i＝(1＋i)(n＋i)＝n－1＋(n＋1)i，由復數(shù)相等的充要條件可得所以所以m＋n＝3，故選A. 法二：＝＝＝n＋i，由復數(shù)相等的充要條件可得所以所以m＋n＝3，故選A.] 3．已知a，b∈R，則使a＞b成立的一個充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)3＞b3 B.＜ C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)＞b＋|b| D　[對于A，a3＞b3?a＞b，故A是充要條件；對于B，當a＝－1，b＝2時，＜，但a＜b，故B不是充分條件；對于C，當a＝－2，b＝－1時，a2＞b2，但a＜b，故C不是充分條件；對于D，若a＞b＋|b|，則a＞b，但由a＞b不能得到a＞b＋|b|，如

3、a＝2，b＝1時，a＞b，但a＝b＋|b|，故D是充分不必要條件，選D.] 4．函數(shù)f(x)＝的大致圖象是(　　) A　　　B　　　C　　　D A　[易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，ex＞0.因為當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，ln|x|＞0，所以f(x)＞0，由此可以排除選項C，D；又f(x)不是偶函數(shù)，所以排除選項B.故選A.] 5．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m⊥α，m∥n，則n?β B．若m，n為異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β

4、D．若m⊥α，m⊥n，n∥β，則α⊥β B　[對于A，若α⊥β，m⊥α，m∥n，則n?β或n∥β，A錯誤；顯然B正確；對于C，若m⊥n，m?α，n?β，則α∥β或α與β相交，C錯誤；對于D，若m⊥α，m⊥n，n∥β，則α∥β或 α與β相交，D錯誤．] 6．已知f(x)＝ln x＋x，設函數(shù)f(x)圖象上點P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. A　[因為f′(x)＝＋＞，所以tan α＞，所以＜α＜.] 7．已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，則a與c的夾角為(　　) A．30° B．60° C

5、．90° D．120° D　[法一：∵a＋c＝－b，∴(a＋c)2＝(－b)2，設a與c的夾角為θ，則|a|2＋|c|2＋2|a||c|cos θ＝|b|2，∴cos θ＝＝－，易知0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.故選D. 法二：在△ABC中，設＝a，＝c，＝b，∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴C＝90°，A＝60°，∴a與c的夾角為120°.故選D.] 8．要得到函數(shù)y＝cos x的圖象，只需將函數(shù)y＝sin的圖象上所有點的(　　) A．橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度 B．橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度 C．橫坐標伸長

6、到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度 D．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度 C　[因為y＝cos x＝sin，所以將y＝sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度，即可得到y(tǒng)＝cos x的圖象．] 9．為計算S＝1－＋－＋…＋－，設計了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應填(　　) A．i≤100 B．i＜101 C．i＜99 D．i＝101 D　[i＝1，N＝1，T＝；i＝3，N＝1＋，T＝＋；…；i＝99，N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋；i＝101，結(jié)束循環(huán)．輸出S＝N－T＝1－＋－＋…＋－.故

7、選D.] 10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，且＝2，△ABF1的周長是C的實軸長的3倍，則雙曲線C的離心率的取值范圍為(　　) A. B. C. D. B　[設|BF2|＝m，則由＝2，得|AF2|＝2m.由于|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，所以|AF1|＝2m＋2a，|BF1|＝m＋2a，則△ABF1的周長為|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝2a＋2m＋2m＋m＋m＋2a＝6m＋4a.又C的實軸長的3倍為6a，所以6m＋4a＝6a，m＝.又|BF2|＞c－a，所以＞c

8、－a，因此＜，又e＞1，所以1＜e＜，故選B.] 11．把一個球形的鐵質(zhì)原材料切割成為正三棱柱形的工業(yè)用零配件，若該正三棱柱形的零配件的最大體積為8 cm3，則球形鐵質(zhì)原材料的體積為(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 D　[設正三棱柱的外接球的半徑為R cm，正三棱柱的高為h cm，底面正三角形的邊長為a cm，則h2＝R2－2，所以V正三棱柱＝a2·＝a2·＝(cm3)．令t＝a2，則t＞0，所以y＝3R2a4－a6可化為y＝－t3＋3R2t2，則y′＝－3t(t－2R2)，所以函數(shù)y＝－t3＋3R2t2在(0,2R2)上單調(diào)遞增，在(2R2，＋

9、∞)上單調(diào)遞減，所以當t＝2R2，即a＝R時，正三棱柱的體積最大，得R3＝8，即R＝2，所以球形鐵質(zhì)原材料的體積為π×8＝(cm3)．] 12．已知函數(shù)f(x)＝(a＞0)，若函數(shù)g(x)＝f(x)－3|x|有三個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(0,2)∪[5，＋∞) B．[5，＋∞) C．(0,1) D．(0,1)∪[5，＋∞) A　[因為函數(shù)g(x)＝f(x)－3|x|有三個零點，所以y＝f(x)的圖象與y＝3|x|的圖象有三個交點．因為a＞0，所以當x≤0時，由x2－2x＝－3x得，x＝－1或x＝0，所以當x≤0時，y＝f(x)的圖象與y＝3|x|的圖象有兩個交點，

10、則當x＞0時，y＝f(x)的圖象與y＝3|x|的圖象有1個交點．令3x＝8－x，得x＝2，所以0＜a＜2符合題意；令3x＝x2－2x，得x＝5或x＝0(舍去)，所以a≥5符合題意．綜上，a的取值范圍是(0,2)∪[5，＋∞)，故選A.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，將答案填在橫線上) 13．如果我們利用計算器或計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，且1,2,3,4表示下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨，每4個隨機數(shù)作為1組，從如下的隨

11、機數(shù)表的第3行、第7列開始向右數(shù)，產(chǎn)生20組隨機數(shù)，則可推斷今后四天中有三天下雨的概率是________． 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 99 69 81 62 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 16 76 02 27 66 56 50 26 71 07 32 90 7

12、9 78 53 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 0．1　[20組隨機數(shù)為：2766,565

13、0,2671,0732,9079,7853,1256,8599,2696,9668,2731,0503,7293,1555,5956,3564,3854,8246,2231,6243.通過分析，發(fā)現(xiàn)只有2731,6243滿足條件，故所求概率為0.1.] 14．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcos A＝sin B，且a＝2，b＋c＝6，則△ABC的面積為________． 2　[由題意可知＝＝，又a＝2，所以tan A＝，所以A＝，由余弦定理得12＝b2＋c2－bc，又b＋c＝6，所以bc＝8，從而△ABC的面積為bcsin A＝×8×sin＝2.] 15．已

14、知圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝1，A，B兩點在x軸上，且關(guān)于坐標原點O對稱，若圓C上至少存在一點P，使得∠APB＝90°，則|AB|的取值范圍是________． [8,12]　[不妨設A(m,0)(m＞0)，則B(－m,0)，由已知可得以線段AB為直徑的圓與圓C相交或相切，則|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6，所以|AB|＝2m∈[8,12]．] 16．已知橢圓＋＝1上有三點A，B，C，其中B(1,2)，C(－1，－2)，tan∠BAC＝，則點A到直線BC的距離為________． 　[設直線AB，AC的傾斜角分別為θ1，θ2，不妨記θ1＞θ2，由tan∠BAC＝＞0，知∠BA

15、C＜，則數(shù)形結(jié)合易知當θ1－θ2＝∠BAC時，才能滿足題意，故tan(θ1－θ2)＝，即＝，又kAB·kAC＝·＝＝＝－2，所以kAB－kAC＝－，結(jié)合kAB·kAC＝－2，解得或而當時，數(shù)形結(jié)合易知θ1－θ2≠∠BAC，且∠BAC＞，故舍去．當kAC＝4，kAB＝－時，由得A，此時點A到直線BC：2x－y＝0的距離為＝.由橢圓的對稱性知：當θ1＜θ2時，同理可得點A到直線BC的距離為.] 三、解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，a3＝，S3＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的公比； (2)對于數(shù)列{Sn}

16、中任意連續(xù)的三項，按照某種順序排列，是否成等差數(shù)列？ [解]　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)， 由a3＝，得a1＝＝，a2＝＝， 由S3＝，得a1＋a2＋a3＝， 所以＋＋＝，解得q＝1或q＝－. (2)當q＝1時，a1＝，Sn＝n，Sn＋1＝(n＋1)，Sn＋2＝(n＋2)，2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，所以Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差數(shù)列． 所以當q＝1時，數(shù)列{Sn}中任意連續(xù)的三項Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差數(shù)列． 當q＝－時，a1＝2，Sn＝＝， Sn＋1＝＝， Sn＋2＝＝， Sn＋Sn＋1＝＋＝－n， 2Sn＋2＝＝－×n， 所以2Sn＋2

17、＝Sn＋Sn＋1，所以Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差數(shù)列． 所以當q＝－時，數(shù)列{Sn}中任意連續(xù)的三項Sn，Sn＋1，Sn＋2按照順序Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差數(shù)列． 18．(本小題滿分12分)如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，AC∩BD＝O，∠BAD＝60°，將菱形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝3，得到三棱錐B-ACD. (1)M為線段BC上任意一點，求證：平面OMC⊥平面ODC； (2)設點N是線段BD上一個動點，試確定N點的位置，使得三棱錐N-OCD的體積為3，求CN的長． [解]　(1)因為點O是菱形ABCD的對角線的交點， 所以折疊前AC⊥BD，折疊后AC⊥

18、OD，AC⊥OB. 易知OD＝OB＝3，因為BD＝3， 所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD， 又OB⊥AC，AC∩OD＝O，所以OB⊥平面ACD. 又OB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC， 所以平面OMC⊥平面ODC. (2)設三棱錐N-OCD的高為h，則VN-OCD＝3＝×S△COD×h＝××3×3×h， 故h＝2. 過點N作NG⊥OD于點G(圖略)，連接GC，易知GN＝h＝2，OG＝1，DN＝2，NG⊥GC，則在Rt△GOC中，GC＝2， 則在Rt△GNC中，NC＝＝＝4. 故當點N是線段BD上靠近點B的三等分點時，VN-OCD＝3，此時CN＝4. 19．(

19、本小題滿分12分)某海濱城市為迎接全國文明城市的檢查，特意制作800塊大小不一的宣傳標語牌，某廣告公司承擔此項制作任務，先采用分層抽樣的方法進行實際調(diào)查，隨機抽取50個位置，測量其高度，以方便制作．據(jù)測量，抽取的50個位置的高度全部介于155 cm和195 cm之間，將測量結(jié)果分成8組：第1組[155,160)，第2組[160,165)，…，第8組[190,195]．下圖是按上述分組方法得到的條形圖． (1)根據(jù)已知條件填寫下面表格： 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 頻數(shù) (2)估計這座城市800塊標語牌中高度在175 cm以上

20、(含175 cm)的塊數(shù)； (3)在樣本中，所有宣傳標語牌為藍色或紅色，若第2組有1塊為紅色，其余為藍色，第7組有1塊為藍色，其余為紅色，在第2組和第7組中各隨機選一塊宣傳標語牌，問：所選的2塊標語牌恰為同種顏色的概率是多少？ [解]　(1)由條形圖可得第7組的頻率為 1－(0.04×2＋0.08×2＋0.2×2＋0.3)＝0.06， ∵0.06×50＝3，∴第7組的頻數(shù)為3， 故填寫的表格如下： 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 頻數(shù) 2 4 10 10 15 4 3 2 (2)由條形圖得高度在175 cm以上(含175 cm)的頻率為0.

21、48，所以估計這座城市800塊宣傳標語牌中高度在175 cm以上(含175 cm)的塊數(shù)是800×0.48＝384. (3)第2組的4塊標語牌分別記為a，b，c，d，其中a為紅色，b，c，d為藍色，第7組的3塊標語牌分別記為1,2,3，其中1,2為紅色，3為藍色，則基本事件列表如下： a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d 所以基本事件共有12個，其中恰為一紅一藍的有7個， 因此所求概率P＝1－＝. 20．(本小題滿分12分)設以線段AB為直徑的圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(

22、r>0)和拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，且A，B都不與原點O重合． (1)若直線AB的斜率為1，求拋物線的方程； (2)試判斷圓C是否過點O，若過點O，求出直線AB的方程；若不過點O，請說明理由． [解]　(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因為線段AB是圓(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)的直徑， 所以線段AB的中點坐標為(2,1)， 所以直線AB的斜率k＝＝＝＝＝p，則p＝1， 所以所求拋物線的方程為y2＝2x. (2)易知直線AB的斜率一定存在且不為0，設為k， 由(1)知k＝p，則k＞0. 又A，B都不與原點O重合，所以k≠. 易知

23、直線AB的方程為y－1＝k(x－2)， 由消去x得y2－2y－4k＋2＝0， 由Δ＞0解得k＞，所以k＞且k≠. 若圓C過點O，則⊥，即·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝y(tǒng)1y2·＝(－4k＋2)·＝0. 因為k＞且k≠，所以－4k＋2≠0， 又4k2－4k＋2＞0，所以上述方程無解，所以圓C不過原點O. 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋a2x，其中a∈R. (1)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值，求a的值； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋f′(x)－a2x(x∈[0,2])在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍． [解]　(1)由題意得f′(x

24、)＝ax2－3x＋a2. 因為函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a2＝0，解得a＝－2或a＝1. 當a＝1時，f′(x)＝x2－3x＋＝(x－1)2≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足函數(shù)f(x)在x＝1處有極大值，舍去； 當a＝－2時，f′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1)， 當x＜－2或x＞1時，f′(x)＜0，－2＜x＜1時，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－2,1)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值． 所以a的值為－2. (2)法一：由題意得g(x)

25、＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]， 因為函數(shù)g(x)在x＝0處取得最大值，而g(0)＝a2， 所以g(0)＝a2≥g(x)＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]， 即ax3＋(a－1)x2－3x≤0，x∈[0,2]， 即ax2＋(a－1)x－3≤0. 當x＝0時，顯然成立； 當x∈(0,2]時，a≤＝＝， 令h(x)＝(x＋2)－－1，x∈(0,2]，易知h(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，故h(x)∈， 故≥， 故a≤，即a的取值范圍為. 法二：由題意得g(x)＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]， 故g′(x)＝ax2＋3

26、(a－1)x－3， 令g′(x)＝0，即ax2＋3(a－1)x－3＝0，Δ＝9a2＋9＞0， 所以g′(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 當a＞0時，分析易知，兩實數(shù)根異號， 若g(x)在x＝0處取得最大值，則需g(0)≥g(2)，所以0＜a≤. 當a＝0時，g(x)＝－x(x＋2)，易知g(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞減，g(x)在x＝0處取得最大值，故滿足條件． 當a＜0時，函數(shù)g′(x)＝ax2＋3(a－1)x－3圖象的對稱軸方程為x＝－＜0， 所以函數(shù)g′(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞減， 又g′(0)＝－3＜0，所以當x∈[0,2]時，g′(x)＜0， 所以g(x)在

27、x∈[0,2]上單調(diào)遞減，g(x)在x＝0處取得最大值，滿足條件． 綜上，a的取值范圍為. 請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在極坐標系中，過曲線ρsin2θ＝2pcos θ(p＞0)的焦點F作弦BC，且弦BC的垂直平分線交BC于點M，交x軸于點N. (1)當弦BC所在直線的傾斜角為時，寫出弦BC所在直線的參數(shù)方程，并求|BC|； (2)求證：|MN|2＝|FB|·|FC|. [解]　(1)由ρsin2θ＝2pcos θ(p＞0)，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得y2＝2px(

28、p＞0)，其焦點F. 又弦BC所在直線的傾斜角為， ∴其參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 將它代入y2＝2px(p＞0)中，整理得t2＋2pt－2p2＝0，Δ＝16p2＞0， 設點B，C對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2p，t1t2＝－2p2， ∴|BC|＝|t1－t2|＝＝4p. (2)根據(jù)題意可設弦BC所在直線的傾斜角為α，則直線BC的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入y2＝2px(p＞0)，整理得t2sin2α－2ptcos α－p2＝0. Δ＝4p2cos2α＋4p2sin2α＝4p2＞0， 設B，C對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝. 則|FB|·

29、|FC|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝. ∵M為BC的中點，∴|MF|＝|t1＋t2|＝， ∴|MN|＝|MF|·|tan α|＝·|tan α|＝， ∴|MN|2＝，∴|MN|2＝|FB|·|FC|. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－3|. (1)解不等式f(x)＞4； (2)若a，b，c都是正實數(shù)，且＋＋＝f(0)，求證：a＋2b＋3c≥. [解]　(1)法一：①當x≤－1時，原不等式可化為－(x＋1)－(x－3)＞4，得x＜－1； ②當－1＜x＜3時，原不等式可化為x＋1－(x－3)＞4，無解； ③當x≥3時，原不等式可化為x＋1＋x－3＞4，得x＞3. 綜上，原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 法二：因為f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|x＋1－(x－3)|＝4，當且僅當(x＋1)(x－3)≤0，即－1≤x≤3時取等號， 故f(x)＞4的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． (2)因為＋＋＝f(0)＝4， 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)× ＝ ≥(3＋2＋2＋2) ＝， 當且僅當a＝2b＝3c＝，即a＝，b＝，c＝時等號成立． - 13 -