（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第一章 集合 常用邏輯用語 算法初步及框圖 第2講 命題及其關系、充分條件與必要條件練習 理（含解析）新人教A版

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1、第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件 夯實基礎　【p4】 【學習目標】 1．理解命題的概念及命題構成，了解“若p，則q”形式命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系； 2．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． 【基礎檢測】 1．下列語句中是命題的有(　　) ①空集是任何集合的真子集． ②3x－2>0. ③垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ ④把門關上． A．1個B．2個C．3個D．4個 【解析】①是能判斷出真假的陳述句，故①是命題； ②不能判斷出真假，故②不是命題； ③是疑問句，故③不是命題； ④不能判斷出真假，故④不是命題． 【答案】

2、A 2．已知命題：“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題得原命題“若x≥0，y≥0，則xy≥0”是真命題，所以其逆否命題也是真命題． 逆命題為：“若xy≥0，則x≥0，y≥0”，是假命題，所以否命題也是假命題，所以四個命題中，真命題的個數(shù)為2. 【答案】B 3．已知a，b都是實數(shù)，那么“2a>2b”是“a2>b2”的(　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由2a>2b可得a>b，但a，b的具體值不知

3、道，當a＝1，b＝－2時2a>2b成立，但無法得到a2>b2，故充分性不成立，再由a2>b2，例如a＝－2，b＝－1，但得不到2a>2b，故必要性也不成立． 【答案】D 4．命題“若a＝b，則a≥b”的逆否命題是________． 【解析】“若a＝b，則a≥b”的逆否命題是：若a

4、(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0必要性成立． 因此“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)”的必要不充分條件． 【答案】必要不充分 【知識要點】 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以__判斷真假的陳述句__叫做命題，其中判斷為真的語句叫做__真命題__，判斷為假的語句叫做__假命題__． 2．四種命題及其關系 (1)在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的__結論__是第二個命題的__條件__，那么這兩個命題叫做__互逆命題__；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的__逆命題__． (2)同時否

5、定原命題的__條件__和__結論__，所得的命題是原命題的否命題． 注意：“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念．如果原命題是“若p，則q”，那么這個原命題的否定是“若p，則非q”，即只否定結論，而原命題的否命題是“若綈p，則綈q”，即既否定命題的條件，又否定結論． (3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得到的命題是原命題的__逆否命題__． (4)一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用綈p和綈q分別表示p，q的否定，于是四種命題形式是：原命題：若p，則q；逆命題：__若q，則p__；否命題：__若綈p，則綈q__；逆否命題：__若綈q，則綈p__． (5)四種命題

6、之間的關系 注意：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 3．充分條件與必要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件； (2)如果p?q，但q?/p，則p是q的充分不必要條件； (3)如果p?q，且q?p，則p是q的充要條件； (4)如果q?p，且p?/ q，則p是q的必要不充分條件； (5)如果p?/ q，且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 典例剖析　【p4】 考點1　四種命題及其相互關系 (1)命題“正數(shù)a的平方根不等于0”是命題“若一個數(shù)a的平方根不等于0，

7、則a是正數(shù)”的(　　) A．逆命題B．否命題 C．逆否命題D．否定命題 【解析】命題“正數(shù)a的平方根不等于0”的條件為a>0，結論為≠0；命題“若一個數(shù)a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”的條件為≠0，結論為a>0. ∴命題“正數(shù)a的平方根不等于0”是命題“若一個數(shù)a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”的逆命題． 【答案】A (2)有下列四個命題： ①命題“面積相等的三角形全等”的否命題； ②“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ③命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題； ④命題“若m>1，則x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題． 其中是真命題的是_____________

8、___________________________________________________________(填上你認為正確的命題的序號)． 【解析】①否命題為：面積不相等的三角形不全等，真命題； ②逆命題為：若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1，真命題； ③若A∩B＝B，則B?A，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題； ④由Δ＝4－4m≥0，得m≤1，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題． 所以真命題為①②. 【答案】①② 【點評】(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意： ①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大

9、前提． (2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例． (3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假． 考點2　充分、必要條件的判斷 (1)已知a，b為實數(shù)，則“ab>b2”是“a>b>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由a>b>0，則ab>b2成立，反之：如a＝－2，b＝－1，則a>b>0不成立， 所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分條件． 【答案】B (2)設x∈R，則

10、“x＝1”是“復數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的(　　) A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】因為復數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)， 所以∴x＝1. 因為“x＝1”是“x＝1”的充要條件， 所以“x＝1”是“復數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的充分必要條件． 【答案】A 【點評】充要條件的三種判斷方法： (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷； (3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為

11、其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件． 考點3　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍 (1)p：2x>1；q：2x－m>0，若p是q成立的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)B．(－∞，0] C．(0，＋∞)D．[0，＋∞) 【解析】由題意p：x>0；q：x>，因為p是q成立的充分條件，∴≤0，即m≤0. 【答案】B (2)已知p：|x－1|>2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是____

12、____． 【解析】由題可得：p：x>3或x<－1， q：x2－2x＋1－a2≥0，[x－(1－a)]·[x－(1＋a)]≥0， ∵a＞0，∴1－a＜1＋a， 解得x≥1＋a或x≤1－a. 因為q是p的必要不充分條件，故： 解得0＜a≤2. 【答案】(0，2] 【點評】充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解； (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗． 考點4　充要條件的證明 證明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要條件是△AB

13、C為等邊三角形．這里a，b，c分別是△ABC的三條邊的邊長． 【解析】充分性： 如果△ABC為等邊三角形，那么a＝b＝c， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， 所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0， 所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 必要性： 如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca， 那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0. 即a＝b＝c. 方法總結　　【p5】 1．判定復合命題真假的方法是：首先判定簡單命題的真假，再判定復合命題的真假．

14、2．否命題與命題的否定是兩個不同的概念，要會區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞． 3．原命題?它的逆否命題，原命題的逆命題?原命題的否命題，因此，判定四種命題的真假時，只需判定其中兩個，或者當判定原命題困難時，可改為判定其逆否命題． 4．因為“p?q”?“綈q?綈p”，意思為若“p?q”等價于沒有q就沒有p，所以p是q的充分條件等價于q是p的必要條件，他們是同一邏輯關系的不同表述． 5．求充要條件與證充要條件一樣，必須注意充分性與必要性兩個方面，二者的差異是：證明充要條件時，條件結論都已知道，但求充要條件時，一般不知道條件，故必須先由結論出發(fā)，求出必要條件，再驗證充分性． 走進高考　　

15、【p5】 1．(2018·天津)設x∈R，則“<”是“x3<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由＜得0＜x＜1，所以0＜x3＜1； 由x3＜1得x<1，不能推出0＜x＜1. 所以“＜”是“x3<1”的充分而不必要條件． 【答案】A 2．(2017·全國卷Ⅰ)設有下面四個命題： p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2； p4：若復數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p

16、4 C．p2，p3 D．p2，p4 【解析】令z＝a＋bi(a，b∈R)，則由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正確； 當z＝i時，因為z2＝i2＝－1∈R，而z＝i?R，故p2不正確； 當z1＝z2＝i時，滿足z1·z2＝－1∈R，但z1≠z2，故p3不正確； 對于p4，因為實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故p4正確，故選B. 【答案】B 考點集訓　　【p176】 A組題 1．“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是(　　) A．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0 B．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋a

17、b≠0 C．若x＝a且x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0 D．若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0 【解析】否命題是同時否定原命題的條件和結論，故“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是“若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0”． 【答案】B 2．“a＋b>2c”的一個充分條件是(　　) A．a(chǎn)>c或b>cB．a(chǎn)>c且bc且b>cD．a(chǎn)>c或b

18、 B．2 C．3 D．4 【解析】向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1， ∴命題p為真，其逆命題為假．逆命題為假，則否命題也為假． 故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為2. 【答案】B 4．給出下列命題：①有的四邊形是菱形；②有的三角形是等邊三角形；③無限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；④?x∈R，x>1；⑤0是最小的自然數(shù)． 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①②⑤是真命題， 無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故③為假命題， ?x∈R，x>1為假命題，故④為假命題， 綜上所述，假命題的個數(shù)為2. 【答案

19、】B 5．已知命題p，q是簡單命題，則“綈p是假命題”是“p∧q為真命題”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】“綈p是假命題”等價于“p為真命題”，“p∧q為真命題”等價于“p和q均為真命題”，顯然“p為真命題”不能推出“p和q均為真命題”，充分性不具備，但“p和q均為真命題”能推出“p為真命題”，必要性具備，故選B. 【答案】B 6．設a，b∈R，則“a＋b>4”是“a>1且b>3”成立的______________條件．(填“充分且必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”之一) 【解析】當

20、a＋b>4，不能推出后面的不等式，例如a＝1，b＝5，也滿足條件．當a>1且b>3，則一定有a＋b>4.故“a＋b>4”是“a>1且b>3”的必要不充分條件． 【答案】必要不充分 7．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若x2＋y2＝0，則x，y全為零； (2)若xy＝0，則x，y中至少有一個是零． 【解析】(1)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0.(真)； 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零．(真)； 逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0.(真)． (2)逆命題：若x＝0或y＝0，則xy＝0.(真)； 否命題：若xy≠0，則x

21、≠0且y≠0.(真)； 逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0.(真)． 8．已知條件p：k－2≤x≤k＋5，條件q：0

22、【解析】若a，b為實數(shù)，且|a－b|＜2q，則取a＝8，b＝6，q＝2時，不滿足|a－2|0的一個解”的逆否命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】由題意得，1是關于x的不等式(x－a)(x－a－1)＞0的一個解， ∴(1－a)(1－a－1)＞0， 即a(a－1)＞0， 解得a＜0或a＞1；

23、 ∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 3．設p：x2－2x<0，q：(x－m)(x－m－3)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】由x2－2x<0得0＜x＜2，即p：00，則x>a；命題q：若m≤a－2，則ma，則x>0，故a≥0； 命題q的逆否命題為真命題，故原命題為真命題，則a－2<－1，a<1， 則實數(shù)a的取值范圍是[0，. 【答案】 14