（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合 常用邏輯用語(yǔ) 算法初步及框圖 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第2講　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p4】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解命題的概念及命題構(gòu)成，了解“若p，則q”形式命題的逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系； 2．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．下列語(yǔ)句中是命題的有(　　) ①空集是任何集合的真子集． ②3x－2>0. ③垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ ④把門關(guān)上． A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 【解析】①是能判斷出真假的陳述句，故①是命題； ②不能判斷出真假，故②不是命題； ③是疑問(wèn)句，故③不是命題； ④不能判斷出真假，故④不是命題． 【答案】A 2．已知命題：“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題得原命題“若x≥0，y≥0，則xy≥0”是真命題，所以其逆否命題也是真命題． 逆命題為：“若xy≥0，則x≥0，y≥0”，是假命題，所以否命題也是假命題，所以四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為2. 【答案】B 3．已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“2a>2b”是“a2>b2”的(　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由2a>2b可得a>b，但a，b的具體值不知道，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)2a>2b成立，但無(wú)法得到a2>b2，故充分性不成立，再由a2>b2，例如a＝－2，b＝－1，但得不到2a>2b，故必要性也不成立． 【答案】D 4．命題“若a＝b，則a≥b”的逆否命題是________． 【解析】“若a＝b，則a≥b”的逆否命題是：若a<b，則a≠b. 【答案】若a<b，則a≠b 5．“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)”的__________________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個(gè)) 【解析】因?yàn)閒(x)＝x2滿足f(0)＝0，但不是奇函數(shù)，所以充分性不成立， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0必要性成立． 因此“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)”的必要不充分條件． 【答案】必要不充分 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．命題 用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以__判斷真假的陳述句__叫做命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做__真命題__，判斷為假的語(yǔ)句叫做__假命題__． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的__結(jié)論__是第二個(gè)命題的__條件__，那么這兩個(gè)命題叫做__互逆命題__；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的__逆命題__． (2)同時(shí)否定原命題的__條件__和__結(jié)論__，所得的命題是原命題的否命題． 注意：“否命題”與“命題的否定”是兩個(gè)不同的概念．如果原命題是“若p，則q”，那么這個(gè)原命題的否定是“若p，則非q”，即只否定結(jié)論，而原命題的否命題是“若綈p，則綈q”，即既否定命題的條件，又否定結(jié)論． (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得到的命題是原命題的__逆否命題__． (4)一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p，q的否定，于是四種命題形式是：原命題：若p，則q；逆命題：__若q，則p__；否命題：__若綈p，則綈q__；逆否命題：__若綈q，則綈p__． (5)四種命題之間的關(guān)系 注意：(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件； (2)如果p?q，但q?/p，則p是q的充分不必要條件； (3)如果p?q，且q?p，則p是q的充要條件； (4)如果q?p，且p?/ q，則p是q的必要不充分條件； (5)如果p?/ q，且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 典例剖析　【p4】 考點(diǎn)1　四種命題及其相互關(guān)系 (1)命題“正數(shù)a的平方根不等于0”是命題“若一個(gè)數(shù)a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”的(　　) A．逆命題B．否命題 C．逆否命題D．否定命題 【解析】命題“正數(shù)a的平方根不等于0”的條件為a>0，結(jié)論為≠0；命題“若一個(gè)數(shù)a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”的條件為≠0，結(jié)論為a>0. ∴命題“正數(shù)a的平方根不等于0”是命題“若一個(gè)數(shù)a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”的逆命題． 【答案】A (2)有下列四個(gè)命題： ①命題“面積相等的三角形全等”的否命題； ②“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ③命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題； ④命題“若m>1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)根”的逆否命題． 其中是真命題的是________________________________________________________________________(填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào))． 【解析】①否命題為：面積不相等的三角形不全等，真命題； ②逆命題為：若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1，真命題； ③若A∩B＝B，則B?A，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題； ④由Δ＝4－4m≥0，得m≤1，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題． 所以真命題為①②. 【答案】①② 【點(diǎn)評(píng)】(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意： ①對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提． (2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例． (3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假． 考點(diǎn)2　充分、必要條件的判斷 (1)已知a，b為實(shí)數(shù)，則“ab>b2”是“a>b>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由a>b>0，則ab>b2成立，反之：如a＝－2，b＝－1，則a>b>0不成立， 所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分條件． 【答案】B (2)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的(　　) A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)， 所以∴x＝1. 因?yàn)椤皒＝1”是“x＝1”的充要條件， 所以“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的充分必要條件． 【答案】A 【點(diǎn)評(píng)】充要條件的三種判斷方法： (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件． 考點(diǎn)3　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍 (1)p：2x>1；q：2x－m>0，若p是q成立的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)B．(－∞，0] C．(0，＋∞)D．[0，＋∞) 【解析】由題意p：x>0；q：x>，因?yàn)閜是q成立的充分條件，∴≤0，即m≤0. 【答案】B (2)已知p：|x－1|>2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】由題可得：p：x>3或x<－1， q：x2－2x＋1－a2≥0，[x－(1－a)]·[x－(1＋a)]≥0， ∵a＞0，∴1－a＜1＋a， 解得x≥1＋a或x≤1－a. 因?yàn)閝是p的必要不充分條件，故： 解得0＜a≤2. 【答案】(0，2] 【點(diǎn)評(píng)】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上．解題時(shí)需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解； (2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)． 考點(diǎn)4　充要條件的證明 證明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要條件是△ABC為等邊三角形．這里a，b，c分別是△ABC的三條邊的邊長(zhǎng)． 【解析】充分性： 如果△ABC為等邊三角形，那么a＝b＝c， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， 所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0， 所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 必要性： 如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca， 那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0. 即a＝b＝c. 方法總結(jié)　　【p5】 1．判定復(fù)合命題真假的方法是：首先判定簡(jiǎn)單命題的真假，再判定復(fù)合命題的真假． 2．否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念，要會(huì)區(qū)別，另外要掌握一些常見(jiàn)詞的否定詞． 3．原命題?它的逆否命題，原命題的逆命題?原命題的否命題，因此，判定四種命題的真假時(shí)，只需判定其中兩個(gè)，或者當(dāng)判定原命題困難時(shí)，可改為判定其逆否命題． 4．因?yàn)椤皃?q”?“綈q?綈p”，意思為若“p?q”等價(jià)于沒(méi)有q就沒(méi)有p，所以p是q的充分條件等價(jià)于q是p的必要條件，他們是同一邏輯關(guān)系的不同表述． 5．求充要條件與證充要條件一樣，必須注意充分性與必要性兩個(gè)方面，二者的差異是：證明充要條件時(shí)，條件結(jié)論都已知道，但求充要條件時(shí)，一般不知道條件，故必須先由結(jié)論出發(fā)，求出必要條件，再驗(yàn)證充分性． 走進(jìn)高考　　【p5】 1．(2018·天津)設(shè)x∈R，則“<”是“x3<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】由＜得0＜x＜1，所以0＜x3＜1； 由x3＜1得x<1，不能推出0＜x＜1. 所以“＜”是“x3<1”的充分而不必要條件． 【答案】A 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題： p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【解析】令z＝a＋bi(a，b∈R)，則由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正確； 當(dāng)z＝i時(shí)，因?yàn)閦2＝i2＝－1∈R，而z＝i?R，故p2不正確； 當(dāng)z1＝z2＝i時(shí)，滿足z1·z2＝－1∈R，但z1≠z2，故p3不正確； 對(duì)于p4，因?yàn)閷?shí)數(shù)沒(méi)有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故p4正確，故選B. 【答案】B 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p176】 A組題 1．“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是(　　) A．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0 B．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0 C．若x＝a且x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0 D．若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0 【解析】否命題是同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，故“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是“若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0”． 【答案】B 2．“a＋b>2c”的一個(gè)充分條件是(　　) A．a(chǎn)>c或b>cB．a(chǎn)>c且b<c C．a(chǎn)>c且b>cD．a(chǎn)>c或b<c 【答案】C 3．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 【解析】向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1， ∴命題p為真，其逆命題為假．逆命題為假，則否命題也為假． 故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為2. 【答案】B 4．給出下列命題：①有的四邊形是菱形；②有的三角形是等邊三角形；③無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；④?x∈R，x>1；⑤0是最小的自然數(shù)． 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①②⑤是真命題， 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故③為假命題， ?x∈R，x>1為假命題，故④為假命題， 綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)為2. 【答案】B 5．已知命題p，q是簡(jiǎn)單命題，則“綈p是假命題”是“p∧q為真命題”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】“綈p是假命題”等價(jià)于“p為真命題”，“p∧q為真命題”等價(jià)于“p和q均為真命題”，顯然“p為真命題”不能推出“p和q均為真命題”，充分性不具備，但“p和q均為真命題”能推出“p為真命題”，必要性具備，故選B. 【答案】B 6．設(shè)a，b∈R，則“a＋b>4”是“a>1且b>3”成立的______________條件．(填“充分且必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”之一) 【解析】當(dāng)a＋b>4，不能推出后面的不等式，例如a＝1，b＝5，也滿足條件．當(dāng)a>1且b>3，則一定有a＋b>4.故“a＋b>4”是“a>1且b>3”的必要不充分條件． 【答案】必要不充分 7．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若x2＋y2＝0，則x，y全為零； (2)若xy＝0，則x，y中至少有一個(gè)是零． 【解析】(1)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0.(真)； 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零．(真)； 逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0.(真)． (2)逆命題：若x＝0或y＝0，則xy＝0.(真)； 否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.(真)； 逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0.(真)． 8．已知條件p：k－2≤x≤k＋5，條件q：0<x2－2x<3，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【解析】q：解得－1<x<0或2<x<3， p：k－2≤x≤k＋5， ∵p是q的必要不充分條件，∴q?p，p?/　q， ∴∴－2≤k≤1，即k∈. B組題 1．若q＞0，命題甲：“a，b為實(shí)數(shù)，且|a－b|＜2q”；命題乙：“a，b為實(shí)數(shù)，滿足|a－2|＜q，且|b－2|＜q”，則甲是乙的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】若a，b為實(shí)數(shù)，且|a－b|＜2q，則取a＝8，b＝6，q＝2時(shí)，不滿足|a－2|<q，且|b－2|<q； 若a，b為實(shí)數(shù)，滿足|a－2|<q，且|b－2|<q， 則|a－b|＝|(a－2)－(b－2)|≤|a－2|＋|b－2|<q＋q＝2q， 所以甲是乙的必要而不充分條件． 【答案】B 2．若命題“x＝1是關(guān)于x的不等式(x－a)(x－a－1)>0的一個(gè)解”的逆否命題是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】由題意得，1是關(guān)于x的不等式(x－a)(x－a－1)＞0的一個(gè)解， ∴(1－a)(1－a－1)＞0， 即a(a－1)＞0， 解得a＜0或a＞1； ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 3．設(shè)p：x2－2x<0，q：(x－m)(x－m－3)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】由x2－2x<0得0＜x＜2，即p：0<x<2， 由(x－m)(x－m－3)≤0， 得m≤x≤m＋3，即q：m≤x≤m＋3， 若p是q的充分不必要條件， 則得即－1≤m≤0. 【答案】[－1，0] 4．命題p：若x>0，則x>a；命題q：若m≤a－2，則m<sin x恒成立．若p的逆命題，q的逆否命題都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】命題p的逆命題：若x>a，則x>0，故a≥0； 命題q的逆否命題為真命題，故原命題為真命題，則a－2<－1，a<1， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，. 【答案】 14