《（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
一、選擇題
1.(2015·浙江卷)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β( )
A.若l⊥β，則α⊥β B.若α⊥β，則l⊥m
C.若l∥β，則α∥β D.若α∥β，則l∥m
解析 由面面垂直的判定定理，可知A選項正確；B選項中，l與m可能平行；C選項中，α與β可能相交；D選項中，l與m可能異面.
答案 A
2.(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為( )
A.過點P垂直于平面α的直線平行于平面β
B.過點P垂直于直線l的直線在平面α
2、內(nèi)
C.過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)
D.過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β
解析 由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確.過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項C，D正確.
答案 B
3.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
解析 因為BC∥DF，DF?平面PDF，
BC
3、?平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故選項A正確.
在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確.
答案 D
4.(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是( )
A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C.若α⊥β，l⊥α，則l∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β
解析 A中，α∥β或α與β相交，不正確.B中，過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從
4、而α⊥β，B正確.C中，l∥β或l?β，C不正確.D中，l與β的位置關(guān)系不確定.
答案 B
5.(2017·天津濱海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：
①BD⊥AC；
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析 由題意知，BD⊥平面ADC，且AC?平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以
5、AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯.
答案 B
二、填空題
6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________.
解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.
答案 4
7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時
6、，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可).
解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD.
又PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.(2016·全國Ⅱ卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號).
解析 對于①，α
7、，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤.
對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確.
對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點.又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確.
對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確.
答案 ②③④
三、解答題
9.(2017·青島質(zhì)檢)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC
8、，AD的中點.
(1)求證：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱錐D－BCG的體積.
(1)證明 由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.
又G為AD的中點，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)解 在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長線于O，如圖由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO?平面ABC，知AO⊥平面BDC.
又G為AD中點，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
所以VD－BCG＝VG－BCD＝S△DB
9、C·h＝×BD·BC·
sin 120°·＝.
10.(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求證：DC⊥平面PAC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；
(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由.
(1)證明 因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因為AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.
(2)證明 因為AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB
10、，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF，且EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
11.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面.則下列說法正確的是( )
A.若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B.若m∥β，β⊥α，則m⊥α
C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
解析 A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m
11、?α，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤.
答案 C
12.(2017·貴陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
解析 由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，
所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF
12、，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
∴O為△AEF的垂心.
答案 A
13.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正確的有________(把所有正確的序號都填上).
解析 由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC
13、，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確.
答案?、佗?
14.(2016·四川卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由.
(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.
(1)解 取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：
因為AD∥BC，BC＝A
14、D.所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.
又AB?平面PAB.CM?平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)
(2)證明 由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因為AD∥BC，BC＝AD，
所以直線AB與CD相交，
所以PA⊥平面ABCD.
又BD?平面ABCD，
從而PA⊥BD.因為AD∥BC，BC＝AD，
M為AD的中點，連接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.
所以四邊形BCDM是平行四邊形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
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（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）
