2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十四 外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文

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1、培優(yōu)點(diǎn)十四 外接球 一、構(gòu)造正方體與長(zhǎng)方體的外接球問題 例1：已知直三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，，則球的半徑為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴直三棱柱的底面為直角三角形， 把直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體， 則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑，即球的半徑為． 二、與正棱錐有關(guān)的外接球問題 例2：一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上， 則該正三棱錐的體積是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，且底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的大圓上， ∴球心是底面三角

2、形的中心， ∵球的半徑為，∴底面三角形的邊長(zhǎng)為，即該正三棱錐的體積為． 三、其他柱體、錐體的外接球問題 例3：已知是球的球面上的兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)球的半徑為，則， 當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大， 此時(shí)，解得， 所以球的表面積為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．一個(gè)四棱柱的底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，其長(zhǎng)度為，棱柱的體積為，棱柱的各項(xiàng)點(diǎn)在一個(gè) 球面上，則這個(gè)球的表面積是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正四棱柱的高為，體積為，則底面

3、面積為，即底面正方形的邊長(zhǎng)為， 正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為，即球的半徑為，球的表面積為． 2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為的兩個(gè)全等的等腰直角三角形， 則幾何體的外接球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把原來的幾何體補(bǔ)成以，，為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體， 原幾何體四棱錐與長(zhǎng)方體是同一個(gè)外接球， ，，． 3．直三棱柱中，，，則該三棱柱的外接球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在直三棱柱中，，， ∴，，為棱構(gòu)造一個(gè)正方體， 則外接球的半徑，故表面積為． 4．點(diǎn)，，，在同一個(gè)球的球面上

4、，，若四面體體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)的中心為，過點(diǎn)作平面的垂線， 則有題意可知，點(diǎn)在直線上，的面積為． 由體積的最大值可得，則． 由題意易知，外接球的球心在上， 設(shè)球心為點(diǎn)，半徑． 的外接圓半徑滿足，即，∴． 在中，，即，解得． 據(jù)此可得這個(gè)球的表面積為． 5．一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)是，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為， 即此球的半徑，故球的表面積． 6．已知三棱錐的

5、四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積最大值為，則其外接球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)闉榈妊切?，所以為截面圓的直徑，， 即該三棱錐的外接球的球心在截面中的射影為的中點(diǎn)， 當(dāng)，，三點(diǎn)共線且，位于截面同一側(cè)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)三棱錐的高為， 所以，解得， 設(shè)外接球的半徑為，則，， 在中，，由勾股定理得，解得， 所以外接球的表面積為． 7．已知四面體中，，，，平面，則四面體外接球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由，，， 可得，則， 又平面，故， 則． 8．已知，

6、是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意可知，，． 9．已知，，，是同一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把，，，擴(kuò)展為三棱錐，上下地面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，所以，． 所以球的體積為． 10．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，，，，則球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為， ∵，，， ∴，即， ∴，解得

7、， ∵，，∴平面， 則將三棱錐補(bǔ)成三棱柱可得，， 即球的表面積為． 11．如圖，在四面體中，，點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的投影， 且．則四面體的外接球的體積為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵在四面體中，， 點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的投影，且． ∴，，∴，． 由題意知四面體的外接球的球心在線段上， ∴，∴，解得． ∴四面體的外接球的體積為． 12．已知四面體的外接球球心恰好在棱上，且，，， 則這個(gè)四面體的體積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴． ∴，∴外接圓的直徑為，球心為的中點(diǎn)． ∵球心恰好在側(cè)棱上，∴面， 又外

8、接球球心恰好在棱上，所以為中點(diǎn)，所以． 即面，． 則四面體的體積為． 二、填空題 13．一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為． 【答案】 【解析】由三視圖可知該三棱錐為邊長(zhǎng)為，，的長(zhǎng)方體切去四個(gè)小棱錐得到的幾何體， 設(shè)該三棱錐的外接球半徑為， ∴，∴． ∴外接球的表面積為． 14．已知點(diǎn)，，，，是球表面上的點(diǎn)，平面，四邊形是邊長(zhǎng)為 正方形，若，則的面積為． 【答案】 【解析】∵是邊長(zhǎng)為正方形，平面，． ∴，∴，， ∴． 15．在直三棱柱中，，，，，則直三棱柱的 外接球的表面積． 【答案】 【解析】由題的直三棱柱的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圓的圓心和下底面 外接圓的圓心的連線的中點(diǎn)． 在三角形中，由余弦定理得，∴． 由正弦定理得，∴，∴． 在直角三角形中，，，． ∴． ∴球的表面積為． 16．已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成-個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則該球的表面積是． 【答案】 【解析】由三視圖可知，組合體是求內(nèi)接正方體，正方體的棱長(zhǎng)為，球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，， 所以球的表面積為． 13