《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊) 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊) 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 學(xué)案（25頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 3 節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,會判斷應(yīng)用函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?I,如果xI,都有-xI且 f(-x)=f(x),那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù)且 f(-x)=-f(x),那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于 y 軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?D,如果存在一個非零常數(shù) T,使得對每一個 xD,都有 x+TD,且 f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f
2、(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期.(1)若 T 是函數(shù) f(x)的一個周期,則 nT(nZ,n0)也是函數(shù) f(x)的周期.(2)不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如常函數(shù) f(x)=c(c 是常數(shù))是周期函數(shù),但沒有最小正周期.1.奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù) f(x)在原點(diǎn)處有定義,即 f(0)有意義,那么一定有 f(0)=0.(2)如果函數(shù) f(x)是偶函數(shù),那么 f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數(shù)滿足 f(x)=0 或解
3、析式可化簡為 f(x)=0(xD),其中定義域D 是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集,則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù) y=f(x),xR,a0.(1)若 f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個周期為 2a.(2)若 f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個周期為 2a.(3)若 f(x+a)=1?(?),則函數(shù)的一個周期為 2a.(4)若 f(x+a)=-1?(?),則函數(shù)的一個周期為 2a.3.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù) y=f(x+a)是偶函數(shù),即 f(a-x)=f(a+x),則函數(shù) y=f(x)
4、的圖象關(guān)于直線 x=a 對稱.(2)若對于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對稱.(3)若函數(shù) y=f(x+b)是奇函數(shù),即 f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.1.(必修第一冊 P84 例 6 改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B)A.y=x3B.y=x2C.y=|ln x|D.y=2-x解析:A 為奇函數(shù),C,D 為非奇非偶函數(shù),B 為偶函數(shù).故選 B.2.(必修第一冊 P203 練習(xí) T4 改編)設(shè) f(x)是定義在 R 上周期為 3 的函數(shù),當(dāng) 0 x1
5、時,f(x)=x2-x,則 f(72)等于(B)A.154B.-14C.14D.12解析:因?yàn)?f(x)是定義在 R 上周期為 3 的函數(shù),所以 f(72)=f(72-3)=f(12).又當(dāng) 0 x1 時,f(x)=x2-x,則 f(12)=14-12=-14.故選 B.3.若函數(shù) f(x)=x2+(a+5)x+b 是偶函數(shù),定義域?yàn)閍,2b,則 a+2b=.解析:因?yàn)?f(x)是偶函數(shù),函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以 a+2b=0.答案:04.(2020江蘇卷)已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=?23,則f(-8)的值是.解析:由題意可得 f(-8)=-f(8)=-823=-(2
6、3)23=-22=-4.答案:-45.(2021山東日照高三模擬)寫出一個滿足 f(x)=f(2-x)的奇函數(shù):f(x)=.解析:取 f(x)=sin2x,下面為證明過程:顯然,其定義域?yàn)?R;由 f(-x)=sin(-2x)=-sin(2x)=-f(x),故 f(x)=sin2x 為奇函數(shù);又 f(2-x)=sin2(2-x)=sin(-2x)=sin2x=f(x).答案:sin2x(答案不唯一)函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用1.已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足當(dāng) x0 時,f(x)=2x2-2,則f(f(-1)+f(2)=(B)A.-8B.-6C.4D.6解析:法一因?yàn)楫?dāng) x0 時,f(x
7、)=2x2-2,所以 f(-1)=0,又函數(shù)是奇函數(shù),則 f(0)=0,f(-2)=2(-2)2-2=24-2=8-2=6=-f(2),即 f(2)=-6,所以 f(f(-1)+f(2)=-6.故選 B.法二因?yàn)楫?dāng) x0,則-x0,得-1x0 時,-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),當(dāng) x0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),所以 f(-x)=-f(x),即函數(shù) f(x)是奇函數(shù).法二(圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征知函數(shù) f(x)為奇函數(shù).解:(4)因?yàn)?-?2 0,|?+3|3-2x2 且 x0,所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以 f(x)=4
8、-?2?+3-3=4-?2?,又 f(-x)=4-(-?)2-?=-4-?2?,所以 f(-x)=-f(x),即函數(shù) f(x)是奇函數(shù).1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則判斷 f(-x)與 f(x)之間的關(guān)系.(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明 f(-x)與 f(x)的關(guān)系,只有各段上的 x 都滿足相同的關(guān)系時,才能判斷其奇偶性.2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法:將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.3.根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式中參數(shù)的方法:根據(jù) f(x)f(-x)=0 得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系
9、數(shù)的對等性得參數(shù)的方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.4.涉及兩個奇偶函數(shù)的和或差的解析式求奇偶函數(shù)的解析式需要用-x 代替 x 后利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組求解.注意:根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)奇偶性時,若函數(shù)解析式不是最簡形式,需要先化簡函數(shù)解析式,化簡時要注意等價(jià)變形.函數(shù)的周期性及其應(yīng)用設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù) x,恒有 f(x+2)=-f(x).當(dāng) x0,2時,f(x)=2x-x2,則 x2,4時函數(shù) f(x)的解析式為.解析:當(dāng) x-2,0時,-x0,2,由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又 f(x)是奇函數(shù),所以 f(-x)=-f(x
10、)=-2x-x2,所以當(dāng) x-2,0)時,f(x)=x2+2x.又當(dāng) x2,4時,x-4-2,0,所以 f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又 f(x)是周期為 4 的周期函數(shù),所以 f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,故當(dāng) x2,4時,f(x)=x2-6x+8.答案:f(x)=x2-6x+8(x2,4)典例遷移 1 設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù) x,恒有f(x+2)=-f(x)且 f(1)=2,則 f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=.解析:依題意函數(shù)的一個周期是 4,且 f(1)=2,所以 f(3)=
11、f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2.又 f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故 f(2)=0.由奇函數(shù)的定義 f(-x)=-f(x),可知 f(0)=-f(-0)=-f(0),則 f(0)=0,因此 f(4)=0.故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,結(jié)合 2 023=4505+3,可知 f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.答案:0典例遷移 2 設(shè) f(x)是定義在 R 上的函數(shù),且恒有 f(x+2)=-1?(?),你認(rèn)為
12、函數(shù) f(x)可以是奇函數(shù)嗎?解:因?yàn)閷θ我?xR,都有 f(x+2)=-1?(?),所以 f(x+4)=f(x+2+2)=-1?(?+2)=-1-1?(?)=f(x),所以 f(x)的一個周期為 4.假設(shè)函數(shù) f(x)是奇函數(shù),則由奇函數(shù)的定義 f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),則 f(0)=0,且 f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.結(jié)合 f(2)=f(0+2)=-1?(0),因此函數(shù) f(x)不可能是奇函數(shù).1.根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式,結(jié)合函數(shù)周期性與奇偶性的求值問題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將待求的自變量的值轉(zhuǎn)化到已知的函數(shù)解析式
13、上后,結(jié)合函數(shù)解析式求值.2.若函數(shù)具有奇偶性以及關(guān)于直線(或點(diǎn))對稱時,函數(shù)也具有周期性,求解時首先利用周期性的定義確定出函數(shù)的周期.3.若函數(shù) y=f(x)是奇函數(shù)且 T 為其一個周期,則 f(?2)=0.針對訓(xùn)練1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x)=f(1-x),則f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=()A.-1B.0C.1D.2解析:因?yàn)?f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且 f(x)=f(1-x),所以 f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以 f(x+2)=f(x),所以 f(x)的周期為 2,所以 f(2 020)=f(0+21 010)=f(
14、0)=0,f(2 021)+f(2 022)=f(2 021)+f(1-2 022)=f(2 021)-f(2 021)=0,所以 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=0.故選 B.2.(2021安徽皖江名校高三模擬)偶函數(shù) f(x)滿足 f(12-x)=f(x+12),且在 x72,4時,f(x)=log2x-1,則 f(-2-1)=()A.log27-2B.1C.log23-2D.log27-1解析:因?yàn)楹瘮?shù) f(x)是偶函數(shù)以及 f(12-x)=f(x+12),所以 f(-x)=f(x+12+12)=f(x+1)=f(x),所以函數(shù)的周期為 1,所以 f(-2-1)=f
15、(-12)=f(12)=f(72)=log272-1=log27-2.故選 A.3.若函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)=-f(x),且 x-1,1時,f(x)=x2,則 x7,9時的函數(shù)解析式是.解析:由函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)=-f(x)可知 f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函數(shù)的周期是2.設(shè)x7,9,則-1x-81,因此f(x-8)=(x-8)2,根據(jù)函數(shù)的周期是 2 可知 f(x-8)=f(x),因此 f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x7,9)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若
16、f(1)=-1,則滿足-1f(x-2)1 的 x 的取值范圍是()A.-2,2 B.-1,1 C.0,4D.1,3(2)已知函數(shù) f(x)=x2+log2|x|,則不等式 f(x+1)-f(2)0 時,f(x)=x2+log2x,故其在(0,+)上單調(diào)遞增,又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閤|x0,f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+log2|x|=f(x),故其為偶函數(shù),綜上可得 f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于 y 軸對稱,f(x+1)-f(2)0 即 f(x+1)f(2)等價(jià)于|?+1|?2,?+1 0-3x1 且 x-1,即不等式的解集為(-3,-1)(
17、-1,1).故選 C.1.求解與奇偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題要考慮奇偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的定義域兩側(cè)的單調(diào)性;利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上求解.2.求解與偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題,為避免出現(xiàn)錯誤以及分類討論,可利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)=f(|x|)將問題轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)在0,+)上的單調(diào)性求解.函數(shù)的奇偶性(對稱性)與周期性(2021黑龍江佳木斯一中高三三模)已知 y=f(x)為奇函數(shù),若f(x+1)是偶函數(shù),且當(dāng) x0,1時,f(x)=log2(x+a),則 f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.2
18、解析:由函數(shù) f(x+1)是偶函數(shù)以及 y=f(x)為奇函數(shù)可知 f(x+1)=f(-x+1),即 f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以對任意 xR,f(x+4)=f(x).當(dāng) x0,1時,f(x)=log2(x+a),所以 f(0)=log2a=0,所以 a=1,則 f(2 021)=f(5054+1)=f(1)=log22=1.故選 C.1.若函數(shù) y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù) y=f(x)關(guān)于直線 x=a 對稱,若y=f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù) y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.2.函數(shù)圖象的對稱與周期關(guān)系常見結(jié)論(1)若函數(shù) y=f(x)的兩條對稱軸方程分別為 x=a,x=
19、b,則函數(shù)的一個周期為 T=2|a-b|;(2)若函數(shù) y=f(x)的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則函數(shù)的一個周期為 T=2|a-b|;(3)若函數(shù)y=f(x)的一條對稱軸方程為 x=a,一個對稱中心為點(diǎn)(b,0),則函數(shù)的一個周期為T=4|a-b|.單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題(多選題)已知函數(shù) y=f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),xR,f(x-1)=f(x+1)成立,當(dāng)x(0,1)且x1x2時,有?(?2)-f(?1)?2-?10,則下列命題中正確的是()A.f(1)=0B.f(x)在-2,2上有 5 個零點(diǎn)C.直線 x=2 022 是函數(shù) y=f(x)圖象的一條對稱軸
20、D.點(diǎn)(2 022,0)是函數(shù) y=f(x)圖象的一個對稱中心解析:令 f(x-1)=f(x+1)中 x=0,得 f(-1)=f(1),又 f(-1)=-f(1),所以2f(1)=0,所以 f(1)=0,故 A 正確;由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以 f(2)=f(0)=0,又當(dāng) x(0,1)且 x1x2時,有?(?2)-f(?1)?2-?10 的解集是()A.(-4,0)(4,+)B.(-,-4)(0,4)C.(-4,0)(0,4)D.(-,-4)(4,+)解析:因?yàn)楹瘮?shù) f(x)為奇函數(shù),則 f(-x)=-f(x).若x0等價(jià)于
21、f(x)0,因?yàn)閒(-4)=0,f(x)在(0,+)上為增函數(shù),則 f(x)在(-,0)上為增函數(shù),所以由 f(x)0 得-4x0,則?(-?)-?(?)?=-2?(?)?0 等價(jià)于 f(x)0,由題知 f(x)在(0,+)上為增函數(shù),所以由 f(x)0 得 0 x0 的解集為(-4,0)(0,4).故選 C.3.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù),由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼發(fā)現(xiàn)提出,在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,其定義為:R(x)=1?,當(dāng)?=?(?,?都是正整數(shù),?是既約真分?jǐn)?shù)),0,當(dāng)?=0,1 或0,1上的無理數(shù),若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意x都有f(2-x)+f(x)=0,當(dāng)
22、 x0,1時,f(x)=R(x),則 f(ln 2)-f(73)=.解析:因?yàn)?f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且對任意 x 都有f(2-x)+f(x)=0,所以 f(2-x)=f(-x),所以 f(x+2)=f(x),即 f(x)的周期為 2,因?yàn)楫?dāng) x0,1時,f(x)=R(x),故 f(ln 2)-f(73)=f(ln 2)-f(13)=0-13=-13.答案:-13(2021廣東揭陽高三一模)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R,滿足f(x)=f(2-x),且對任意 1x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立,則滿足 f(2x-1)-f(3-x)0 的 x 的取值范圍是(
23、)A.(-,-223,+)B.(-,043,+)C.-2,23D.0,43解析:因?yàn)楹瘮?shù) f(x)滿足 f(x)=f(2-x),所以函數(shù) f(x)關(guān)于直線 x=1對稱,因?yàn)閷θ我?x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)-6,f(2 021)=3-?2?-4,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(C)A.(-,2111)B.(2,+)C.(-,2111)(2,+)D.(2111,2)解析:因?yàn)?f(x)是定義在 R 上的以 5 為周期的偶函數(shù),所 以 f(2 021)=f(5404+1)=f(1)=f(-1),因 為 f(2 021)=3-?2?-4,f(-1)-6,所以3-?2?-4-6,整理得
24、11?-212?-40,解得 a2,所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(-,2111)(2,+).故選 C.7.(多選題)已知y=f(x+1)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+4)=f(2-x),當(dāng) x-1,1)時,f(x)=2x,則下列說法正確的是(ABD)A.y=f(x)圖象的對稱中心為(1,0)B.y=f(x)圖象的對稱軸方程為 x=3C.4 是函數(shù)的周期D.f(2 021)+f(2 022)=1解析:因?yàn)?f(x+1)是定義在 R 上的奇函數(shù),所以 y=f(x)圖象的對稱中心為(1,0),且 f(1)=0.因?yàn)?f(x+4)=f(2-x),所以 y=f(x)圖象的對稱軸方程為 x=3,故 f(x
25、)的周期 T=8,f(2 021)=f(5)=f(1)=0,f(2 022)=f(6)=f(0)=1,從而 f(2 021)+f(2 022)=1.故選 ABD.8.(2020新高考卷)若定義在 R 的奇函數(shù) f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,且 f(2)=0,則滿足 xf(x-1)0 的 x 的取值范圍是(D)A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3解析:由題意知 f(x)在(-,0),(0,+)上單調(diào)遞減,且 f(-2)=-f(2)=f(0)=0.當(dāng)x0時,令f(x-1)0,得0 x-12,所以1x3;當(dāng)x0時,令 f(x-1)0,得-2x-10,所以-1
26、x1,又 x0,所以-1x0,則下列不等關(guān)系成立的是(C)A.m+n1B.m+n-1 D.m-n0 得,f(2m-n)f(n-2),所以 2m-nn-2,所以 m-n-1.故選 C.13.(多選題)已知函數(shù) f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),則下列說法正確的是(ABC)A.f(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減C.f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱解析:由 f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)可得?+2?0,4-?0,解得-2x4.因?yàn)?f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),令 u(x
27、)=-x2+2x+8,則函數(shù) u(x)的圖象開口向下,對稱軸方程為 x=1.所以函數(shù) u(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增,在(1,4)上單調(diào)遞減,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得 f(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增,在(1,4)上單調(diào)遞減,因?yàn)?f(1-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(1+x),所以函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱,因此 A,B,C 正確,D 錯誤.故選 ABC.14.(2021福建名校聯(lián)盟優(yōu)質(zhì)校高三聯(lián)考)若稱函數(shù) f(x)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”,則必存在常數(shù) a,b,使得對定義域內(nèi)的任意 x 值,均有 f(x)+f(2a-x)=2b,請寫 出一 個 a=2,b=2 的“準(zhǔn)奇
28、函數(shù)”(填寫 解析式):.解析:由 f(x)+f(2a-x)=2b,知“準(zhǔn)奇函數(shù)”f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,若 a=2,b=2,即 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對稱,如 y=1?向右平移 2個單位長度,向上平移 2 個單位長度,得到 f(x)=2+1?-2=2?-3?-2,其圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對稱.答案:f(x)=2?-3?-2(答案不唯一)15.(2021新高考 卷)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R,f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則(B)A.f(-12)=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0解析:因?yàn)楹瘮?shù) f(x+2)為偶函數(shù),則 f(2+x)=
29、f(2-x),可得 f(x+3)=f(1-x),因?yàn)楹瘮?shù) f(2x+1)為奇函數(shù),則 f(1-2x)=-f(2x+1),所以 f(1-x)=-f(x+1),所以 f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即 f(x)=f(x+4),故函數(shù) f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù) F(x)=f(2x+1)為奇函數(shù),則 F(0)=f(1)=0,故 f(-1)=-f(1)=0,其他三個選項(xiàng)未知.故選 B.16.(2021江蘇啟東高三模擬)已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x)在2,+)上單調(diào)遞減,且f(4-x)+f(x)=0,則使得不等式f(x2+x)+f(x+1)0成立的實(shí)數(shù) x 的取值范圍是(C)A.-3x1B.x3C.x1D.x-1解析:f(4-x)+f(x)=0,則 f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,因?yàn)?f(x)在2,+)上單調(diào)遞減,所以 f(x)在 R 上單調(diào)遞減,所以 f(x+1)=-f(3-x),由f(x2+x)+f(x+1)0 得 f(x2+x)-f(3-x)0,所以 f(x2+x)3-x,解得 x1 或 x-3.故選 C.
2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊) 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 學(xué)案
