（江蘇專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題（含解析）

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1、考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1、如果方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么實數(shù)m的取值范圍是____． 【答案】(－∞，－3) 【解析】設f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，由題意得， 解得 所以m<－3，故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3)． 2、 若冪函數(shù)y＝mxn(m，n∈R)的圖象經(jīng)過點，則n＝___． 【答案】－ 【解析】由題意可得 解得n＝－，故n的值為－. 3、已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，則a，b的值為____． 【答案】，0 【解析】由題意得，f(－x)＝f(x)，即ax2

2、－bx＋3a＋b＝ax2＋bx＋3a＋b，即2bx＝0對任意x恒成立，所以b＝0.又因為a－1＝－2a，解得a＝，所以a，b的值分別為，0. 4、函數(shù)y＝－x2＋2＋3的單調(diào)減區(qū)間是____． 【答案】[－1，0]和[1，＋∞) 【解析】令f(x)＝－x2＋2|x|＋3， 所以f(x)＝ 即f(x)＝ 所以當x≥0時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(1，＋∞)；當x<0時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(－1，0)，故單調(diào)減區(qū)間為(－1，0)和(1，＋∞)． 5、若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間上的最大值為4，則a的值為____． 【答案】－1或1 【解析】由題意得，f(x)＝x2－2x

3、＋1＝(x－1)2，對稱軸為直線x＝1.當a≥0時，f(a＋2)＝4，即(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝4，解得a＝1或a＝－3(舍去)； 當a<0時，f(a)＝4，即a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)． 綜上，a的值為1或－1. 6、 若不等式x4＋2x2＋a2－a－2≥0對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___. 【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞) 【解析】由題意得x4＋2x2＋a2－a－2≥0，即(x2＋1)2≥－a2＋a＋3，所以－a2＋a＋3≤1，解得a≥2或a≤－1， 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 7、設α∈，則使函數(shù)y

4、＝xα為奇函數(shù)且定義域為R的所有α的值為____． 【答案】1，3 【解析】當α＝－1時，y＝x－1＝，此時函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，不符合題意；當α＝時，y＝x＝，此時函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，不符合題意；當α＝1時，y＝x，此時函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，符合題意；當α＝2時，y＝x2，此時函數(shù)的定義域為R，是偶函數(shù)，不符合題意；當α＝3時，y＝x3，此時函數(shù)的定義域為R，且為奇函數(shù)，符合題意，綜上α的值為1和3. 8、求函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2(x∈[2，4])的最小值． 【答案】f(x)min＝ 【解析】f(x)圖象的對稱軸是直線x＝a，可分以下三種情況： ①

5、當a＜2時，f(x)在[2，4]上為增函數(shù)，所以f(x)min＝f(2)＝6－4a； ②當2≤a≤4時，f(x)min＝f(a)＝2－a2； ③當a＞4時，f(x)在[2，4]上為減函數(shù)，所以f(x)min＝f(4)＝18－8a. 綜上所述，f(x)min＝ 9、已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值為g(t)，求g(t)的表達式． 【答案】g(t)＝ 【解析】由題意得，f(x)＝(x－1)2＋1. ①當t＋1<1，即t<0時，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1; ②當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，g(t)＝f(1)＝1; ③當t>1時，g(t)＝

6、f(t)＝t2－2t＋2. 綜上所述，g(t)＝ 10、若點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義 h(x)＝試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間． 【答案】1 單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0，1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1，0)和(1，＋∞). 【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，如例1圖所示， 則有h(x)＝ 根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1， 單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0，1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1，0)和(1，＋∞). 11、已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點. (1)

7、 求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式； (2) 求當x為何值時：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)1或x<－1時，f(x)>g(x)；②當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)； ③當－1

8、象，如圖所示. 由圖象可知，函數(shù)f(x)，g(x)的圖象均過點(－1，1)和(1，1)， 所以 ①當x>1或x<－1時，f(x)>g(x)； ②當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)； ③當－1

9、y軸對稱， 所以m2－2m－3是偶數(shù)， 當m＝2時，22－2×2－3＝－3為奇數(shù)， 當m＝1時，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)， 所以m＝1. 又y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)， 所以(a＋1)－<(3－2a)－等價于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a， 解得a<－1或0的解集為(1，3)． (1) 若函數(shù)f(x)＝f(x)－mx在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍； (2) 求函數(shù)G(x

10、)＝f(sinx)在x∈上的最值． 【答案】(1) (－∞，2] (2) 最大值為0，最小值為－3 【解析】(1) 因為f(x)>0的解集為(1，3)， 所以二次函數(shù)與x軸的交點為(1，0)和(3，0)， 所以可設f(x)＝a(x－1)(x－3)． 又因為函數(shù)圖象過點(0，－3)，代入f(x)得3a＝－3，解得a＝－1， 所以f(x)＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3，所以f(x)＝－x2＋4x－3－mx＝－x2＋(4－m)x－3. 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增， 所以－≥1，解得m≤2， 故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2]． (2)

11、由題意得，G(x)＝－sin2x＋4sinx－3＝－(sinx－2)2＋1. 因為x∈，所以sinx∈[0，1]， 所以當sinx＝0時，G(x)min＝－3； 當sinx＝1時，G(x)max＝0， 故函數(shù)G(x)的最大值為0，最小值為－3. 14、已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)． (1) 試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性； (2) 若該函數(shù)經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍． 【答案】(1) [0，＋∞) 增函數(shù) (2) 【解析】(1) 因為m2＋m＝m(m＋1)，m∈N

12、*，且m與m＋1中必有一個為偶數(shù)，所以m(m＋1)為偶數(shù)． 所以函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． (2) 因為函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，)，所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1， 所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2. 又因為m∈N*，所以m＝1. 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<， 所以a的取值范圍為. 15、已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x|x－a|. (1) 當a＝2時，寫出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2) 當a>2時，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值； (3) 設a

13、≠0，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(m，n)上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍(用a表示)． 【答案】(1) (－∞，1]，[2，＋∞) (2) f(x)min＝ (3) a≤m2，x∈[1，2]，所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－＋. 當1<≤，即2，即a>3時，f(x)min＝f(1)＝a－1， 所以f(x)min＝ (3) f(x)＝ ①

14、當a>0時，圖象如圖1所示. 由得x＝a， 所以0≤m<，a

15、在第一象限是增函數(shù)． 故－k2＋k＋2>0，解得－10時， 而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0， ∴g(x)max＝＝， g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2. ②當q<0時，g(x)max＝g(－1)＝2－3q＝， g(x)min＝＝－4， q不存在．

16、 綜上所述，存在q＝2滿足題意． 17、設函數(shù)f (x)＝x2＋2bx＋c(c

17、≤－1，由b＝－知b≥0. (2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0，∴c0， ∴f(m－4)的符號為正． 18、設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在區(qū)間[－2,2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}． (1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值； (2)若A＝{1}，且a≥1，記g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值． 【答案】(1) M＝10 m＝1 (2) 【解析】(1)由f(0)

18、＝2可知c＝2， 又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的兩實根， ∴，解得a＝1，b＝－2. ∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]． 當x＝1時，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1； 當x＝－2時，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10. (2)由題意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有兩相等實根x＝1， ∴，即. ∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]， 其對稱軸方程為x＝＝1－， 又a≥1，故1－∈[，1)， ∴M＝f(－2)＝9a－2， m＝f()＝1－. g(a)＝M＋m＝9a－－1. 又g(a)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)遞增的， ∴當a＝1時，g(a)min＝. 9