（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 搶分練 疑難專用練（二）平面向量

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1、(二)　平面向量 1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(－∞ ,2) C．(－∞，0)∪[2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　a－b＝，由于a－b與b的夾角為鈍角，由夾角公式得＝<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.當(dāng)向量a－b，b共線時，0·m－·1＝0，m＝2，此時a－b＝，與b的夾角不是鈍角，不合題意．故m的取值范圍是m<0或m>2. 2．設(shè)P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若|2－－|＝2，則·＋·的最小值為(　　) A.B．1C．－D．－1 答案　C

2、解析　由|2－－|＝2， 可得|＋＋＋|＝|＋|＝2. 設(shè)BC的中點(diǎn)為D，即||＝1. 點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，O為AD中點(diǎn)． ∴·＋· ＝·(＋) ＝2· ＝2(＋)·(＋) ＝2(＋)·(－)＝2(2－2) ＝22－≥－. 當(dāng)且僅當(dāng)||＝0，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，·＋·取最小值－.故選C. 3．在△ABC中，已知·＝9，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P為線段AB上的點(diǎn)，且＝x·＋y·，則xy的最大值為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　在△ABC中，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∵sinB＝cosA·sinC，

3、∴sin(A＋C)＝cosAsinC， ∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0， ∴cosC＝0，∴C＝90°， ∵·＝9，S△ABC＝6， ∴bccosA＝9，bcsinA＝6，∴tanA＝， ∴sinA＝，cosA＝，bc＝15， ∴a＝4，b＝3，c＝5， 以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)， 則C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)． P為AB上一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ＋(1－λ)＝(3λ，4－4λ)(0≤λ≤1)． 設(shè)＝e1，＝e2，則e1＝(1,0)，e2＝(0,1)， ∴＝(x,0)＋(0，y)＝(x，y)，∴x＝3λ，

4、y＝4－4λ， ∴4x＋3y＝12， 又4x＋3y≥2，即xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝3y，即x＝，y＝2時，等號成立． 4．設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角，且0<θ<，已知對任意實(shí)數(shù)t∈(－1,1)，|b＋ta|無最小值，則以下說法正確的是(　　) A．若θ和|b|確定，則|a|唯一確定 B．若θ和|b|確定，則|a|有最大值 C．若θ確定，則|a|≥|b| D．若θ不確定，則|a|與|b|的大小關(guān)系不確定 答案　B 解析　|b＋ta|2＝t2|a|2＋2ta·b＋|b|2 ＝t2|a|2＋2t|a||b|·cosθ＋|b|2， 因?yàn)槠鋵θ我鈱?shí)數(shù)t∈(－1,1)沒有最小值，

5、 所以－＝－≤－1 或－＝－≥1， 又因?yàn)?<θ<，所以－≤－1， 即≥1， 則當(dāng)θ和|b|確定時，|a|有最大值為|b|cosθ，故選B. 5．(2019·金華調(diào)研)已知向量a，b滿足：|a|＝2，〈a，b〉＝60°，且c＝－a＋tb(t∈R)，則|c|＋|c－a|的最小值為(　　) A.B．4C．2D. 答案　A 解析　如圖所示，設(shè)a＝，c＝，點(diǎn)C是直線l上的動點(diǎn)，該問題即為求CO＋CA的最小值，作點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)O′， 則CO＋CA＝CO′＋CA≥AO′，在△AOO′中，AO＝2，OO′＝，∠AOO′＝150°，由余弦定理得AO′＝＝. 所以|c|＋|c－

6、a|的最小值為. 6．已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝a·b＝2，|c－a|＋|c－2b|＝2，則c·(a＋b)的取值范圍是(　　) A．[4,10] B．[6，＋∞) C．[6,12] D．[12，＋∞) 答案　C 解析　因?yàn)閨a|＝|b|＝a·b＝2， 所以cos〈a，b〉＝，所以向量a，b的夾角為， 則不妨設(shè)a＝＝(2,0)，b＝＝(1，)， 2b＝＝(2,2)，c＝＝(x，y)， 則|c－a|＋|c－2b|≥|c－a－(c－2b)|＝|2b－a|＝2， 即||＋||≥||＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段AD上時，等號成立， 又|c－a|＋|c－2b|＝2，

7、 則c＝(2，y)(0≤y≤2)， 則c·(a＋b)＝(2，y)·(3，)＝6＋y∈[6,12]， 故選C. 7．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||＝||＝·＝2，則點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．4B．4C．2D．2 答案　A 解析　由||＝||＝·＝2， 得cos〈，〉＝， 即向量，的夾角為， 則不妨設(shè)＝(，1)，＝(，－1)， 則由＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R得點(diǎn)P所表示的區(qū)域?yàn)橐?，1)，(，－1)，(－，－1)，(－，1)為頂點(diǎn)的矩形區(qū)域，則其面積為2×2＝4，故選A. 8．在

8、平行四邊形ABCD中，，在上的投影分別為3，－1，則在上的投影的取值范圍是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－1,3) C．(0，＋∞) D．(0,3) 答案　A 解析　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過點(diǎn)A作垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則由，在上的投影分別為3，－1得xB＝2，xC＝3，xD＝1，則不妨設(shè)C(3，a)，D(1，a)(a≠0)， 則＝(－1，a)，＝(1，a)， 則在上的投影為＝， 設(shè)f(a)＝，則易得函數(shù)f(a)為偶函數(shù)， 且f′(a)＝＝， 則易得f(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 又當(dāng)a→0時，f(a)→－1， 當(dāng)a

9、→＋∞時，f(a)→＋∞， 所以＝∈(－1，＋∞)，故選A. 9．已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，記I1＝·，I2＝·，I3＝·，則(　　) A．I3

10、， ∴||>||， ∴||||>||||，∴I3

11、跡為z＝0平面上圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓， 根據(jù)數(shù)量積投影計(jì)算，顯然當(dāng)B在B1，A在A1時，(·)max＝6，當(dāng)B在B1，A在A2時，(·)min＝－6， |AB|max＝|A2B1|＝＝， 由于上面圓(x＋1)2＋y2＝4，z＝1在z＝0上的投影與下面z＝0平面上圓心為原點(diǎn)半徑為2的圓有交點(diǎn)， 所以|AB|min為平面z＝1與平面z＝0的距離， 即|AB|min＝1，故選B. 11．已知平面向量a，b的夾角為，且滿足|a|＝2，|b|＝1，則a·b＝________，|a＋2b|＝________. 答案　1　2 解析　∵|a|＝2，|b|＝1，向量a與b的夾角為， ∴

12、a·b＝|a||b|cos＝1， 由此可得2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×1＋4×12＝12， ∴|a＋2b|＝＝2. 12．已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個點(diǎn)，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示， 由＋＝知，ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D四點(diǎn)共圓， ∴ABDC為矩形，即AD為圓的直徑， S＝AB·AC≤·＝AD2，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC時，取等號． ∴當(dāng)AB＝AC時，△ABC的面積取得最大值為×4＝1. 13．已知平面向量a，b，滿足|a|＝2，|a－b|＝2|a＋b|，則|b|的最小值為______

13、__，最大值為________． 答案　　6 解析　方法一　由|a－b|＝2|a＋b|， 得(a－b)2＝4(a＋b)2， 展開整理得3a2＋3b2＋10a·b＝0， 設(shè)向量a，b的夾角為θ，上式即為 12＋3|b|2＋20|b|cosθ＝0， 得cosθ＝－≥－1， 即3|b|2－20|b|＋12≤0，解得≤|b|≤6， 故|b|的最小值為，最大值為6. 方法二　由||a|－|b||≤|a－b|＝2|a＋b|≤2(|a|＋|b|)， 得－2(2＋|b|)≤2－|b|≤2(2＋|b|)，此式顯然成立， 同理|a|＋|b|≥|a－b|＝2|a＋b|≥2||a|－|b||，

14、 即2|2－|b||≤2＋|b|， 得－2－|b|≤4－2|b|≤2＋|b|， 解得≤|b|≤6， 故|b|的最小值為，最大值為6. 14．(2019·杭州模擬)設(shè)O為△ABC的外接圓圓心，若存在正實(shí)數(shù)k，使得＝＋k，則k的取值范圍為________． 答案　 解析　因?yàn)椋剑玨， 所以＝k， 如圖所示，OA＝OB＝OC＝R， 顯然OA＋OC>AC＝BO， 即2R>R，解得k>. 15．已知向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，則b與c夾角的余弦值的取值范圍是________． 答案　 解析　設(shè)b與c的夾角為θ， 由題意得b＋

15、c＝－a， 所以b2＋c2＋2b·c＝1， 所以cosθ＝＝1＋. 因?yàn)閨a|＝|b＋c|≥||b|－|c||， 所以|2k－2|≤1. 所以≤k≤. 所以－1≤cosθ≤－. 16.點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng).若x＝，則y＝________，若S△AMN＝S△ABC，則x＋y＝________. 答案　1　2 解析　因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心， 即點(diǎn)G為△ABC的三條中線的交點(diǎn)， 則當(dāng)x＝時，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)， 則直線MN即為△ABC的一條中線所在的直線，所以點(diǎn)N與點(diǎn)C重合， 則＝，即y＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)G為△

16、ABC的重心， 所以＝(＋)， 則＝－＝(＋)－x＝＋，＝－＝y(tǒng)－(＋)＝－， 由與共線，得存在唯一實(shí)數(shù)λ使得 ＋＝λ， 則 化簡得x＋y＝3xy， 又因?yàn)镾△AMN＝S△ABC， 所以x||·y||sin∠BAC ＝×||·||sin∠BAC， 解得xy＝， 則x＋y＝3xy＝2. 17．(2015·浙江)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2＝，若空間向量b滿足b·e1＝2，b·e2＝，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝__________，y0＝________，|b|＝_______

17、_. 答案　1　2　2 解析　方法一　對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，說明當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1. |b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x＝2－，所以當(dāng)x＝2－時，f(x)取得最小值，代入化簡得f(x

18、)＝(y－2)2－7，顯然當(dāng)y＝2時，f(x)min＝－7，此時x＝2－＝1，所以x0＝1，y0＝2.此時|b|2－7＝1，可得|b|＝2. 方法二　∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝， ∴〈e1，e2〉＝. 不妨設(shè)e1＝，e2＝(1,0,0)，b＝(m，n，t)． 由題意知 解得n＝，m＝， ∴b＝. ∵b－(xe1＋ye2)＝， ∴|b－(xe1＋ye2)|2＝2＋2＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝2＋(y－2)2＋t2.由題意知，當(dāng)x＝x0＝1，y＝y(tǒng)0＝2時，2＋(y－2)2＋t2取到最小值．此時t2＝1，故|b|＝＝2. 11