（魯京津瓊專用）2020版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 第6講 空間向量及其運算練習（含解析）

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1、第6講　空間向量及其運算 一、選擇題 1.(2017·黃岡模擬)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，則實數m的值等于(　　) A. B.－2 C.0 D.或－2 解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2. 答案　B 2.(2017·海南模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin〈，〉的值為(　　) A. B. C. D. 解析　如圖，設正方體棱長為2，則易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝＝. 答案　B 3.空間四邊形ABCD的各邊和對角

2、線均相等，E是BC的中點，那么(　　) A.·＜· B.·＝· C.·＞· D.·與·的大小不能比較 解析　取BD的中點F，連接EF，則EF綉CD，因為〈，〉＝〈，〉＞90°，因為·＝0，∴·＜0，所以·＞·. 答案　C 4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A.－1 B. C. D. 解析　由題意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝. 答案　D 5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線

3、的長都等于a，點E，F分別是BC，AD的中點，則·的值為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　如圖，設＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°. ＝(a＋b)，＝c， ∴·＝(a＋b)·c ＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 答案　C 二、填空題 6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________. 解析　由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b

4、·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18， ∴cos〈b，c〉＝＝＝－， ∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°. 答案　60° 7.正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD中點，則EF的長為________. 解析　||2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2， ∴||＝，∴EF的長為. 答案　 8.(2017·南昌調研)已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，現用基底{，，}表示向量，有＝x

5、＋y＋z，則x，y，z的值分別為________. 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋＋， ∴x＝，y＝，z＝. 答案　，， 三、解答題 9.已知空間中三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c. (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值. 解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)， ∴|c|＝＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a＝(1，1，0)，b

6、＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝＝，|b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. 10.如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz. (1)寫出點E，F的坐標； (2)求證：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F，C1四點共面，求證：＝＋. (1)解　E(a，x，0)，F(a－x，a，0). (2)證明　∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝

7、(a，x－a，－a)， ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， ∴⊥，∴A1F⊥C1E. (3)證明　∵A1，E，F，C1四點共面， ∴，，共面. 選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數對(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴ 解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋. 11.在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.不確定 解析　如圖，令＝a，＝b，＝c，則·＋·＋· ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋

8、c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案　B 12.若{a，b，c}是空間的一個基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，則(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐標. 已知{a，b，c}是空間的一個基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標是(　　) A.(4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3) D.(2，1，3) 解析　設p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為x，y，z.則 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc

9、＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，① 因為p在{a，b，c}下的坐標為(4，2，3)， ∴p＝4a＋2b＋3c，② 由①②得∴ 即p在{a＋b，a－b，c}下的坐標為(3，1，3). 答案　B 13.(2017·鄭州調研)已知O點為空間直角坐標系的原點，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且點Q在直線OP上運動，當·取得最小值時，的坐標是__________. 解析　∵點Q在直線OP上，∴設點Q(λ，λ，2λ)， 則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)

10、＝6λ2－16λ＋10＝6－.即當λ＝時，·取得最小值－.此時＝. 答案　 14.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點，計算： (1)·；(2)EG的長； (3)異面直線AG與CE所成角的余弦值. 解　設＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝， 則||＝. (3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 6