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1、中檔題專練(四)
1.如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F在圓O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(1)設(shè)FC的中點(diǎn)為M,求證:OM∥平面DAF;
(2)求證:AF⊥平面CBF.
2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,cosB=45.
(1)若c=2a,求sinBsinC的值;
(2)若C-B=π4,求sinA的值.
3.如圖,已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸為AB,過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直,橢圓E上一點(diǎn)與橢圓E的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三
2、角形的最大面積為2,且橢圓E的離心率e=32.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上異于A、B的任意一點(diǎn),連接AP并延長交直線l于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).
①若點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)F2為橢圓的右焦點(diǎn),F1關(guān)于直線PN的對(duì)稱點(diǎn)為Q,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為455,55時(shí),求證:點(diǎn)P,Q,F2三點(diǎn)共線;
②試判斷直線PN與橢圓E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
答案精解精析
1.證明 (1)設(shè)DF的中點(diǎn)為N,連接MN,AN,則MN∥12CD,MN=12CD,
又∵AO∥12CD,AO=12CD,∴MN∥AO,MN=AO,∴四邊形MNAO為平行四邊形,∴OM∥AN,又∵AN?平
3、面DAF,OM?面DAF,
∴OM∥平面DAF.
(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,CB?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴CB⊥平面ABEF,∵AF?平面ABEF,
∴AF⊥CB.
∵AB為圓O的直徑,
∴AF⊥BF.∵CB∩BF=B,CB,BF?平面CBF,∴AF⊥平面CBF.
2.解析 (1)解法一:在△ABC中,因?yàn)閏osB=45,所以a2+c2-b22ac=45.
因?yàn)閏=2a,所以c22+c2-b22c×c2=45,即b2c2=920,所以bc=3510.
又由正弦定理得sinBsinC=bc,所以sinBsinC=3510.
解
4、法二:因?yàn)閏osB=45,B∈(0,π),所以sinB=1-cos2B=35.
因?yàn)閏=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sin(B+C)=65cosC+85sinC,
即-sinC=2cosC.又因?yàn)閟in2C+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=255,
所以sinBsinC=3510.
(2)因?yàn)閏osB=45,所以cos2B=2cos2B-1=725.
又0
5、sinA=sin3π4-2B=sin3π4cos2B-cos3π4sin2B=22×725--22×2425=31250.
3.解析 (1)依題設(shè)條件可得:ab=2,ca=32.又a2-c2=b2,解得a2=4,b2=1,
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(2)①證明:直線AP的方程為y=14+25(x+2),
求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,22+5,點(diǎn)N的坐標(biāo)為2,12+5,直線PN的斜率k=-1,
∴直線PN的方程為y=-x+5,
設(shè)左焦點(diǎn)F1(-3,0)關(guān)于直線PN的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x1,y1),則y1x1+3=1,y12=-x1-32+5,
解得x1=5,y1=5+3, 即Q
6、(5,5+3),
所以直線PQ的斜率k1=4+15,又直線PF2的斜率k2=55455-3=14-15=4+15,
所以k1=k2,即點(diǎn)P,Q,F2三點(diǎn)共線.
②直線PN與橢圓E相切于點(diǎn)P.證明如下:
設(shè)P(x0,y0),又A(-2,0),所以直線AP的方程為y=y0x0+2·(x+2),令x=2,得y=4y0x0+2,即M2,4y0x0+2.
又B(2,0),N為MB的中點(diǎn),所以N2,2y0x0+2,于是直線PN的方程為y-y0=2y0x0+2-y02-x0·(x-x0),即y=x0y0x02-4(x-x0)+y0.
因?yàn)閤024+y02=1,所以x02-4=-4y02,所以y=x0y0-4y02(x-x0)+y0,整理得y=4-x0x4y0.
由x24+y2=1,y=4-x0x4y0消去y并整理得(x02+4y02)x2-8x0x+16-16y02=0,即x2-2x0x+x02=0,此方程的根的判別式Δ=(-2x0)2-4x02=0,
所以直線PN與橢圓E相切于點(diǎn)P.
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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔題專練四
