(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 基本不等式的應(yīng)用(含解析)

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1、專題10 基本不等式的應(yīng)用 【母題來源一】【2019年江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中,P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是, 則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離是, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立, 則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4. 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).利用基本不等式即可求解. 【母題來源二】【2018年江蘇】在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為___________. 【答案】9 【解析】由題意可知,

2、, 由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得, 化簡(jiǎn)得, 因此 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為. 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”不等式的另一邊必須為定值)、“等(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 【母題來源三】【2017年江蘇】某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則的值是___________. 【答案】30 【解析】總費(fèi)用為, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立. 【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求

3、最值時(shí)要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式:①,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);②,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號(hào)成立的條件,同時(shí)求最值時(shí)注意“1的妙用”. 【命題意圖】 (1)了解基本不等式的證明過程. (2)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(?。┲祮栴}. 【命題規(guī)律】 基本不等式是高考考查的熱點(diǎn),常以填空題的形式出現(xiàn).通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題.主要有以下幾種命題方式: (1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大?。鉀Q此類問題通常將所給不等式(或式子)變形,然后利用基本不等式求解. (2)條件不等式問題.通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不

4、等式的形式求解. (3)求參數(shù)的值或范圍.觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得到參數(shù)的值或范圍. 【方法總結(jié)】 利用基本不等式求最值的常用技巧: (1)若直接滿足基本不等式條件,則直接應(yīng)用基本不等式. (2)若不直接滿足基本不等式條件,則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形,如構(gòu)造“1”的代換等.常見的變形手段有拆、并、配. ①拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng) 對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和,再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng),為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件. ②并——分組并項(xiàng) 目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式,或分組后先由一組應(yīng)用

5、基本不等式,再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值. ③配——配式配系數(shù) 有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值,常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法,使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值,或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后,使積式中的各項(xiàng)之和為定值. (3)若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求,需多次應(yīng)用基本不等式,但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.注:若可用基本不等式,但等號(hào)不成立,則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解. (4)基本不等式的常用變形 ①a+b≥2(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. ②a2+b2≥2ab,ab≤2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. ③+≥2

6、(a,b同號(hào)且均不為零),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. ④a+≥2(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),等號(hào)成立;a+≤-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí),等號(hào)成立. 1.【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2019屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知,,且,則的最小值是____________. 【答案】 【解析】∵, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 因此的最小值是 2.【江蘇省徐州市(蘇北三市(徐州、淮安、連云港))2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知,,且,則的最大值為____________. 【答案】 【解析】化為,即, 解得:, 所以的最大值為. 故答案為. 3.【江蘇省南通市2019屆高

7、三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè),向量a,,若,則的最小值為____________. 【答案】9 【解析】因?yàn)椋?x+(1﹣x)y=0, 又x>0,y>0,所以+=1, 故x+y=(+)(x+y)=5++≥9. 當(dāng)且僅當(dāng)=,+=1同時(shí)成立,即x=3,y=6時(shí),等號(hào)成立. 則(x+y)min=9. 故答案為9. 4.【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬(三模)數(shù)學(xué)試題】在等腰中,,,則面積的最大值為____________. 【答案】4 【解析】以為軸,以的垂直平分線為軸,設(shè),,, ,, , , , , 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立, , , 則面積的最

8、大值為4. 故答案為4. 5.【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查(二)數(shù)學(xué)試題】已知正實(shí)數(shù),b滿足+b=1,則的最小值為____________. 【答案】11 【解析】因?yàn)?,且都是正?shí)數(shù), 所以 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立. 所以的最小值為. 6.【江蘇省揚(yáng)州市2019屆高三第一學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知正實(shí)數(shù),滿足,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________. 【答案】 【解析】由題意知x+4y﹣xy=0,即x+4y=xy,等式兩邊同時(shí)除以xy得, 由基本不等式可得, 當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)x=2y=6時(shí),等號(hào)成立, 所以,x+y的最小值為9. 因

9、此,m≤9. 故答案為. 7.【天津市部分區(qū)2019年高三質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,,則周長(zhǎng)的最大值是____________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 因此, 故周長(zhǎng)的最大值是 8.【天津市南開區(qū)南開中學(xué)2019屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題】已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,則的最大值為____________. 【答案】 【解析】圓可化為, 則圓心為,半徑為, 又因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為, 所以直線過圓心,即, 即, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 的最大值為. 故答案為. 9.【河南省名校聯(lián)考2019屆高

10、三聯(lián)考(四)數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且滿足.若,則當(dāng)取得最小值時(shí),的外接圓的半徑為____________. 【答案】 【解析】由正弦定理得, 由余弦定理得, 即當(dāng)時(shí),取得最小值為, 此時(shí), 設(shè)外接圓半徑為, 由正弦定理得,解得. 故當(dāng)取得最小值時(shí),的外接圓的半徑為. 10.【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列中,,,滿足,則的最小值為____________. 【答案】1 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則首項(xiàng), 由得, 則,, , ,, 則(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)), . 故答案為1. 11.【江西省臨川一中2019屆高三年級(jí)考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖,點(diǎn)在的邊上,且,,,則的最大值為____________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以, 因?yàn)椋?,即? 整理得到, 兩邊平方后有, 所以, 即, 整理得到, 設(shè), 所以, 因?yàn)椋? 所以, 則, 當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立, 故答案為. 9

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