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1、素養(yǎng)提升練(六)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2019·宣城二調)若復數z滿足z(1+2i)=3+i,i為虛數單位,則z的共軛復數=( )
A.1 B.1-i C.2 D.1+i
答案 D
解析 由z(1+2i)=3+i,z====1-i,∴z的共軛復數為1+i,故選D.
2.(2019·清遠聯(lián)考)已知集合A={x∈R|log2(x+1)≤2},B={-2,-1,0,1,
2、2,3,4},則A∩B=( )
A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3} D.{0,1,2}
答案 B
解析 由題可知A=(-1,3],則A∩B={0,1,2,3}.故選B.
3. (2019·瀘州一中模擬)軍訓時,甲、乙兩名同學進行射擊比賽,共比賽10場,每場比賽各射擊四次,且用每場擊中環(huán)數之和作為該場比賽的成績.數學老師將甲、乙兩名同學的10場比賽成績繪成如圖所示的莖葉圖,并給出下列4個結論:①甲的平均成績比乙的平均成績高;②甲的成績的極差是29;③乙的成績的眾數是21;④乙的成績的中位數是18.則這4個結論中,正確結論的個數為( )
3、
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 根據莖葉圖知甲的平均成績大約二十幾,乙的平均成績大約十幾,因此①正確;甲的成績的極差是37-8=29,②正確;乙的成績的眾數是21,③正確;乙的成績的中位數是=18.5,④錯誤,故選C.
4.(2019·中衛(wèi)一模)中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地.”則該人最后一天走的路程為( )
A.24里 B.12
4、里 C.6里 D.3里
答案 C
解析 記每天走的路程里數為{an},則{an}為公比q=的等比數列,由S6=378,得S6==378,解得a1=192,所以a6=192×=6,故選C.
5.(2019·東北三校模擬)已知α是第三象限角,且cos=,則sin2α=( )
A. B.- C. D.-
答案 A
解析 cos=?sinα=-,∵sin2α+cos2α=1,α是第三象限角,∴cosα=-=-,
∴sin2α=2sinαcosα=,故選A.
6.(2019·黃山質檢)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=,且a⊥(a+2b),則b在a方向上的投影為( )
5、
A.1 B.-1 C. D.-
答案 B
解析 由于a⊥(a+2b),故a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=4+2a·b=0,a·b=-2.故b在a方向上的投影為==-1.故選B.
7.(2019·全國卷Ⅰ)函數f(x)=在[-π,π]的圖象大致為( )
答案 D
解析 ∵f(-x)==-f(x),
∴f(x)為奇函數,排除A.
又f==>1,f(π)=>0,排除B,C.故選D.
8.(2019·漢中質檢)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,BC=2,點D為BC的中點,則異面直線AD與A1C所成的角為( )
A. B. C
6、. D.
答案 B
解析 取B1C1的中點D1,連接A1D1,CD1,在直三棱柱ABC-A1B1C1,點D為BC的中點,∴AA1=DD1且AA1∥DD1,∴AD∥A1D1且AD=A1D1,∴∠CA1D1就是異面直線AD與A1C所成的角,AB=AC=,BC=2可以求出AD=A1D1=1,在Rt△CC1D1中,由勾股定理可求出CD1=,在Rt△AA1C中,由勾股定理可求出A1C=2,顯然△A1D1C是直角三角形,
sin∠CA1D1==,∴∠CA1D1=,故選B.
9.(2019·四川二診)在數列{an}中,已知a1=1,且對于任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,則數列{
7、an}的通項公式為( )
A.an=n B.an=n+1
C.an= D.an=
答案 D
解析 令m=1,得an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,∴an-1=2+3+4+…+n,∴an=1+2+3+4+…+n=.故選D.
10.(2019·山師附中模擬)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點且與對稱軸垂直的直線與雙曲線交于A,B兩點,△OAB的面積為,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 右焦點設為F,其坐標為(c,0),令x=c,代入雙曲線方程可得y=±b=
8、±,△OAB的面積為·c·=bc?=,可得e====,故選D.
11.(2019·清華附中模擬)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )
A.8+4 B.2+2+4
C.2+6 D.2+4+2
答案 D
解析 由題意可知,該幾何體的直觀圖如圖:
該幾何體為棱長為2的正方體的一部分,三棱錐A-BCD,三棱錐的表面積為×2×2+2××2×2+×(2)2=2+4+2.故選D.
12.(2019·云師附中模擬)已知在菱形ABCD中,∠BCD=60°,曲線C1是以A,C為焦點,通過B,D兩點且與直線x+2y-4=0相切的橢圓,
9、則曲線C1的方程為( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
答案 B
解析 如圖,由題意可得a=2b(b>0),則設橢圓方程為+=1.
聯(lián)立得4y2-4y+4-b2=0.
由Δ=48-16(4-b2)=0,解得b=1.所以曲線C1的方程為+y2=1.故選B.
第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2019·東北三校模擬)已知x,y滿足約束條件則z=3x+y的最大值為________.
答案 3
解析 根據約束條件可以畫出可行域,如圖中陰影部分所示:
由z=3x+y,可知直線y=-3
10、x+z過A(1,0)時,z有最大值為3×1+0=3.
14.(2019·朝陽一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的x的值為________.
答案
解析 運行程序,x=2,n=1,判斷是,x=,n=2,判斷是,x=,n=3,判斷否,輸出x=.
15.(2019·鞍山一中模擬)如下分組的正整數對:第1組為{(1,2),(2,1)},第2組為{(1,3),(3,1)},第3組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4組為{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},…,則第40組第21個數對為________.
答案 (22,20)
解析 由題意可得第一組的
11、各個數對和為3,第二組各個數對和為4,
第三組各個數對和為5,第四組各個數對和為6,
……,
第n組各個數對和為n+2,且各個數對無重復數字,可得第40組各個數對和為42,
則第40組第21個數對為(22,20).
16.(2019·哈三中模擬)函數f(x)=x2-6x+4ln x的圖象與直線y=m有三個交點,則實數m的取值范圍為________.
答案 (4ln 2-8,-5)
解析 由題意得f′(x)=2x-6+=,令f′(x)=0,解得x=1或x=2,易得當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,當x∈(1,2),f′(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈(2,+
12、∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,∴f(1)=-5為極大值,f(2)=4ln 2-8為極小值,∴4ln 2-8
13、sinC-sin(A-B),
即sinB=sin(A+B)-sin(A-B),
整理得sinB=2cosAsinB.
又sinB≠0,則cosA=,則A=.
(2)根據題意,設AB=t,
又由b=AC=2,則AD=1,
在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=t2+1-2×t×1×=7,
即t2-t-6=0,解得t=3或t=-2(舍去).
在△ABC中,a2=BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cosA=9+4-2×3×2×=7,∴a=.
18.(本小題滿分12分)(2019·凱里一中模擬)某工廠生產A,B兩種零件,其質量測試按指標劃分,指標大于
14、或等于80 cm的為正品,小于80 cm的為次品.現隨機抽取這兩種零件各100個進行檢測,檢測結果統(tǒng)計如下:
測試指標
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95]
A零件
8
12
40
30
10
B零件
9
16
40
28
7
(1)試分別估計A,B兩種零件為正品的概率;
(2)生產1個零件A,若是正品則盈利50元,若是次品則虧損10元;生產1個零件B,若是正品則盈利60元,若是次品則虧損15元,在(1)的條件下:
①設X為生產1個零件A和一個零件B所得的總利潤,求X的分布列和數學期望;
②求生產5個零件B所
15、得利潤不少于160元的概率.
解 (1)∵指標大于或等于80 cm的為正品,且A,B兩種零件為正品的頻數分別為80和75,
∴A,B兩種零件為正品的概率估計值分別為P(A)==,P(B)==.
(2)①由題意知,X的可能取值為-25,35,50,110,
P(X=-25)=×=,
P(X=35)=×=,
P(X=50)=×=,
P(X=110)=×=.
∴X的分布列為
X
-25
35
50
110
P
∴X的數學期望為E(X)=(-25)×+35×+50×+110×=79.25.
②∵生產1個零件B是正品的概率為P(B)=,
生產5個零件B所
16、產生的正品數Y服從二項分布,即Y~B,
生產5個零件B所得利潤不少于160元,則其正品數大于或等于4件,
∴生產5個零件B所得利潤不少于160元的概率為
P=P(Y=4)+P(Y=5)=C41+C5=.
19.(本小題滿分12分)(2019·全國卷Ⅲ)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.
(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.
解 (1)證明:由已知得AD∥BE,
17、CG∥BE,
所以AD∥CG,
所以AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B,
所以AB⊥平面BCGE.
又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)作EH⊥BC,垂足為H.
因為EH?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,
所以EH⊥平面ABC.
由已知,菱形BCGE的邊長為2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=.
以H為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Hxyz,則
A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),
=(1,0,),=(2,-1
18、,0).
設平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),
則即
所以可取n=(3,6,-).
又平面BCGE的法向量可取m=(0,1,0),
所以cos〈n,m〉==.
因此二面角B-CG-A的大小為30°.
20.(本小題滿分12分)(2019·漳州質檢)已知動圓P過點F且與直線y=-相切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若A,B是曲線C上的兩個點且直線AB過△AOB的外心,其中O為坐標原點,求證:直線AB過定點.
解 (1)解法一:由題意可知|PF|等于點P到直線y=-的距離,
∴曲線C是以點F為焦點,以直線y=-為準線的拋物線,∴曲線C的方程為x
19、2=y(tǒng).
解法二:設P(x,y),由題意可知|PF|等于點P到直線y=-的距離,
∴=,整理得曲線C的方程為x2=y(tǒng).
(2)設直線AB:y=kx+m代入x2=y(tǒng),
得2x2-kx-m=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1=2x,y2=2x,Δ=k2+8m>0,
x1x2=-,y1y2=(2x)(2x)=4(x1x2)2=m2,
∵直線AB過△AOB的外心,
∴OA⊥OB,·=0,
∴-+m2=0,∴m=0或m=,
∵直線AB不過點O,∴m≠0,∴m=,
∴直線AB:y=kx+,∴直線AB過定點.
21.(本小題滿分12分)(2019·撫順一模)已知函
20、數f(x)=ln x-ax-3(a≠0).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)若函數f(x)有最大值M,且M>a-5,求實數a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞),由已知得f′(x)=-a,
當a<0時,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)內單調遞增,無減區(qū)間;
當a>0時,令f′(x)=0,得x=,
∴當x∈時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.
(2)由(1)知,當a<0時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增,無最大值,
當a>0時,函數f(x)在x=取得最大值,
即f(x)max=f=ln -4=
21、-ln a-4,
因此有-ln a-4>a-5,得ln a+a-1<0,
設g(a)=ln a+a-1,則g′(a)=+1>0,
∴g(a)在(0,+∞)內單調遞增,
又g(1)=0,∴g(a)
22、立極坐標系.
(1)求曲線C2的普通方程;
(2)若點A,B分別是射線l:θ=與曲線C1,C2的公共點,求|AB|的最大值.
解 (1)設P(x,y),M(x′,y′),∵=2,
∴
∵點M在曲線C1上,∴
∴曲線C1的普通方程為(x′-2)2+(y′-1)2=1,
∴曲線C2的普通方程為(x-4)2+(y-2)2=4.
(2)由得曲線C1的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0,
曲線C2的極坐標方程為ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0,
由得或
∴A或A,
由得或
∴B或B,
∴|AB|的最大值為3.
23.(本小題滿分10分)[選修
23、4-5:不等式選講]
(2019·太原二模)已知函數f(x)=|2x-a|-|x+2a|(a>0).
(1)當a=時,求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若?k∈R,?x0∈R,使得f(x0)≤|k+3|-|k-2|成立,求實數a的取值范圍.
解 (1)當a=時,原不等式為-|x+1|≥1,
∴或
或
∴x<-1或-1≤x≤-或x≥,
∴原不等式的解集為∪.
(2)由題意得f(x)min≤(|k+3|-|k-2|)min,
∵f(x)=-
∴f(x)min=f=-a,
∵-5=-|(k+3)-(k-2)|≤|k+3|-|k-2|,
∴(|k+3|-|k-2|)min=-5,
∴-a≤-5,∴a≥2,
∴a的取值范圍是[2,+∞).
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