（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第二部分 專題六 函數與導數 第2講 基本初等函數、函數與方程練典型習題 提數學素養(yǎng)（含解析）

第2講　基本初等函數、函數與方程 一、選擇題 1．已知函數f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數，且在x∈(0，＋∞)時為增函數，則實數m的值是(　　) A．－2　　　　　　　 B．4 C．3 D．－2或3 解析：選C.f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數?m2－m－5＝1?m＝－2或m＝3. 又在x∈(0，＋∞)上是增函數， 所以m＝3. 2．函數y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過的點是(　　) A．(0，0) B．(0，－1) C．(－2，0) D．(－2，－1) 解析：選C.令x＋2＝0，得x＝－2，所以當x＝－2時，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(－2，0)． 3．若a＝log，b＝e，c＝log3cos ，則(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>a>b 解析：選B.因為0<<<1，所以1＝log>log>0，所以0<a<1，因為b＝e>e0＝1，所以b>1.因為0<cos <1，所以log3cos <log31＝0，所以c<0.故b>a>c，選B. 4．已知函數f(x)＝lg是奇函數，且在x＝0處有意義，則該函數為(　　) A．(－∞，＋∞)上的減函數 B．(－∞，＋∞)上的增函數 C．(－1，1)上的減函數 D．(－1，1)上的增函數 解析：選D.由題意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝lg＝lg ，令>0，則－1<x<1，排除A、B，又y＝－1在(－1，1)上是增函數，所以f(x)在(－1，1)上是增函數，選D. 5．若函數y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域為{y|0<y≤1}，則函數y＝loga|x|的圖象大致是(　　) 解析：選A.若函數y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域為{y|0<y≤1}，則0<a<1，故loga|x|是偶函數且在(0，＋∞)上單調遞減，由此可知y＝loga|x|的圖象大致為A. 6．20世紀30年代，為了防范地震帶來的災害，里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lg A－lg A0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅．已知5級地震給人的震感已經比較明顯，則7級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的(　　) A．10倍 B．20倍 C．50倍 D．100倍 解析：選D.根據題意有l(wèi)g A＝lg A0＋lg 10M＝lg (A0·10M)．所以A＝A0·10M，則＝100.故選D. 7．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a<b)，則(　　) A．a＋b>0 B．a＋b>1 C．2a＋b>0 D．2a＋b>1 解析：選A.作出函數f(x)＝|ln(x＋1)|的圖象如圖所示，由f(a)＝f(b)(a<b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0，所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，又易知－1<a<0，b>0.所以a＋b＋4>0，所以a＋b>0.故選A. 8．已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數的底數)的零點個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C.當x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0，1)時f′(x)>0，此時f(x)單調遞增；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，此時f(x)單調遞減．因此，當x>0時，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根據函數f(x)是定義在R上的奇函數作出函數y＝f(x)與y＝ex的大致圖象如圖所示，觀察到函數y＝f(x)與y＝ex的圖象有兩個交點，所以函數g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數的底數)有2個零點． 9．(2019·重慶市學業(yè)質量調研)已知函數f(x)＝2x＋log3 ，若不等式f>3成立，則實數m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C． D． 解析：選D.由>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上單調遞增，y＝log3 ＝log3 ＝log3在(－2，2)上單調遞增，所以函數f(x)為增函數，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等價于不等式f>f(1)成立，所以解得<m<1，故選D. 10．已知函數f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0，2π]，則f(x)的所有零點之和等于(　　) A．5π B．6π C．7π D．8π 解析：選C.f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0, 可得cos 2x＝0或sin x＝0，因為x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，所以x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因為＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零點之和等于7π，故選C. 11．(多選)已知函數f(x)＝e|x|＋|x|.則關于x的方程f(x)＝k的根的情況，下列結論正確的是(　　) A．當k＝1時，方程有一個實根 B．當k>1時，方程有兩個實根 C．當k＝0時，方程有一個實根 D．當k≥1時，方程有實根 解析：選ABD.方程f(x)＝k化為e|x|＝k－|x|，設y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率為1或－1的直線，折線與曲線y1＝e|x|恰好有一個公共點時，k＝1.如圖，若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是(1，＋∞)．故選ABD. 12．(多選)已知函數f(x)＝|2x－2|＋b的兩個零點分別為x1，x2(x1>x2)，則下列結論正確的是(　　) A．1<x1<2 B．x1＋x2<1 C．x1＋x2<2 D．x1>1 解析：選AC.函數f(x)＝|2x－2|＋b有兩個零點，即y＝|2x－2|的圖象與直線y＝－b有兩個交點，交點的橫坐標就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝－b的圖象如圖所示，可知1<x1<2，2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>2＝2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2. 13．(多選)已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)．下列命題正確的有(　　) A．f(2 016)＋f(－2 017)＝0 B．函數f(x)在定義域上是周期為2的周期函數 C．直線y＝x與函數f(x)的圖象有1個交點 D．函數f(x)的值域為(－1，1) 解析：選ACD.根據題意，可在同一平面直角坐標系中畫出直線y＝x和函數f(x)的圖象如圖所示， 根據圖象可知，A，f(2 016)＋f(－2 017)＝0正確；B，函數f(x)在定義域上不是周期函數，所以B不正確；C，根據圖象可知y＝x與f(x)的圖象有1個交點，所以C正確；D，根據圖象，函數f(x)的值域是(－1，1)，所以D正確． 二、填空題 14．已知函數f(x)＝則f＋f(log2 )＝________． 解析：由題可得f＝log＝2，因為log2 <0， 所以f＝＝2log26＝6，故f＋f＝8. 答案：8 15．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，若<f(1)，則x的取值范圍是________． 解析：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數， 所以f(ln x)－f＝f(ln x)－f(－ln x)＝f(ln x)＋f(ln x)＝2f(ln x)， 所以<f(1)等價于|f(ln x)|<f(1)， 又f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增， 所以－1<ln x<1，解得<x<e. 答案： 16．已知函數f(x)＝log3 －a在區(qū)間(1，2)內有零點，則實數a的取值范圍是________． 解析：因為函數f(x)＝log3－a在區(qū)間(1，2)內有零點，且f(x)在(1，2)內單調，所以f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1. 答案： 17．偶函數f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當x∈[0，1]時，f(x)＝x，則f＝________，若在區(qū)間[－1，3]內，函數g(x)＝f(x)－kx－k有4個零點，則實數k的取值范圍是________． 解析：因為偶函數f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)， 所以f(x)＝f(x＋2)， 即函數f(x)是周期為2的周期函數， 則f＝f＝f＝f＝， 若－1≤x≤0，則0≤－x≤1， 則f(－x)＝－x＝f(x)， 即f(x)＝－x，－1≤x≤0， 由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝k(x＋1)， 函數g(x)＝f(x)－kx－k有4個零點， 等價為函數f(x)與h(x)＝k(x＋1)有4個不同的交點， 作出兩個函數的圖象如圖所示， h(x)過定點A(－1，0)，f(3)＝1， 則k滿足0<h(3)≤1， 即0<4k≤1，得0<k≤，即實數k的取值范圍是. 答案：　 - 7 -