2020屆高考數(shù)學 專題十一 數(shù)列求通項公式精準培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點十一 數(shù)列求通項公式 一、由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式 例1：根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式； （1），，，，； （2），，，，； （3），，，；； （4），，，，． 【答案】（1），；（2），； （3），；（4）． 【解析】（1）各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為，所以它的一個通項公式，． （2）這個數(shù)列的前項的絕對值都等于序號與序號加的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正， 所以它的一個通項公式，． （3）這個數(shù)列，去掉負號，可發(fā)現(xiàn)是一個等差數(shù)列，其首項為，公差為， 所以它的一個通項公式為，． （4）將原數(shù)列改寫為，，，易知數(shù)列，，，的通項為， 故

2、數(shù)列的一個通項公式為． 二、由 與 的關系求數(shù)列的通項公式 例2：（1）已知為數(shù)列的前項和，且，則． （2）記為數(shù)列的前項和．若，則． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，得， 當時，； 當時，， 所以數(shù)列的通項公式為． （2）∵，當時，， ∴，即． 當時，，得． ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴． 三、由遞推關系式求數(shù)列的通項公式 例3：（1）設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為． （2）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為． （3）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）累加法

3、 由題意得，，，， 以上各式相加，得． 又∵，∴． ∵當時也滿足上式，∴． （2）累乘法 ∵， ∴，，，． 以上個式子相乘得． 當時，，上式也成立． ∴． （3）構造法 ∵，∴，∴， ∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比， 又，∴，∴． 對點增分集訓 一、選擇題 1．數(shù)列，，，，的一個通項公式為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：特例淘汰法． 令，淘汰D選項，令，淘汰A，B選項． 解法二：數(shù)列變形為，，，，分子、分母都是等差數(shù)列，分子，分母． 故選C． 2．已知數(shù)列的前項和，則（） A． B． C． D． 【答案】C

4、 【解析】當時，； 當時，，所以，所以，故選C． 3．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，由，得，即． 由，得，則數(shù)列前項和，故選C． 4．設為數(shù)列的前項和，且，則（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當時，； 當時，， 得到，所以．故選C． 5．已知滿足，且，則的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知條件可知，當時， ． 又時，滿足此式． 所以． 令，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 又，，則， 故的最小值為，故選D． 6．已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項

5、公式為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得． 所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列， 所以，即． 7．數(shù)列滿足，若，則（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以，所以，所以． 由此可知，該數(shù)列是一個周期為的周期數(shù)列， 所以． 8．已知數(shù)列滿足，，且，，則（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，則， 于是得到， 上述所有等式全部相加得， 因此，故選B． 二、填空題 9．設數(shù)列滿足，，則通項公式． 【答案】 【解析】由，得， 所以， 又適合上

6、式，故． 10．已知函數(shù)，且，則． 【答案】 【解析】當為奇數(shù)時，， 為定值，所以． 故填． 11．已知數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列的項排成一個數(shù)陣（如圖），則該數(shù)陣中的 第行第個數(shù)為． 【答案】 【解析】由題意可得該數(shù)陣中的第行， 第個數(shù)為數(shù)列的第項， 而，故該數(shù)陣第行、第個數(shù)為． 三、解答題 12．根據(jù)數(shù)列的前幾項，分別寫出下列數(shù)列的一個通項公式． （1），，，； （2），，，，，； （3），，，，； （4），，，，，，，，． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）． 【解析】（1）將各項改寫如下， ，，，，， 易知． （2）將各項絕對

7、值改寫如下， ，，，，，． 綜合考查分子、分母，以及各項符號可知． （3）或． （4）觀察數(shù)列可知，奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列， 所以． 13．已知數(shù)列的通項公式是． （1）若，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？為何值時，有最小值？并求出最小值； （2）對于，都有，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）數(shù)列中有兩項是負數(shù)，時，有最小值，最小值為；（2）． 【解析】（1）由，解得． 因為，所以，所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為，． 因為， 由二次函數(shù)性質，得當或時，有最小值，其最小值為． （2）由于對于，都有知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列， 又因為通項公式，可以看作是關于的二

8、次函數(shù)，考慮到， 所以，即得． 所以實數(shù)的取值范圍為． 14．為數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）設，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，可知． 可得， 即． 由于，可得． 又，解得（舍去）或． 所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，通項公式為． （2）由可知，． 設數(shù)列的前項和為，則 ． 15．設為數(shù)列的前項和，，且． （1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）記為數(shù)列的前項和，若，，求的最小值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）證明：由，得， 所以． 由，可得， 又，所以，得． 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列． （2）由（1）知，所以． 所以 ， ， 所以， 因為對，，所以的最小值為． 14