（魯京津瓊專用）2020版高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 階段強化練（七）（含解析）

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1、階段強化練(七) 一、選擇題 1．(2019·成都診斷)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是(　　) A．長軸長為 B．焦距為 C．短軸長為 D．離心率為 答案　D 解析　由橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標準方程可得 ＋＝1，所以a＝，b＝，c＝， 長軸2a＝1，焦距2c＝，短軸2b＝， 離心率e＝＝.故選D. 2．雙曲線－＝1的漸近線方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　因為－＝1， 所以a＝，b＝3，漸近線方程為y＝±x， 即為y＝±x，故選C. 3．(2019·河北衡水中學調研)已知雙

2、曲線my2－x2＝1(m∈R)與拋物線x2＝8y有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　∵拋物線x2＝8y的焦點為(0,2)， ∴雙曲線的一個焦點為(0,2)，∴＋1＝4，∴m＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A. 4．(2019·河北衡水中學模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)和直線l：＋＝1，若過C的左焦點和下頂點的直線與l平行，則橢圓C的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　直線l的斜率為－，過C的左焦點和下頂點的直線與l平行，所以＝， 又b2＋c2＝a2?2＋

3、c2＝a2?c2＝a2， 所以e＝＝，故選A. 5．(2019·洛陽、許昌質檢)若雙曲線x2－＝1(b>0)的一條漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1至多有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．[2，＋∞) C．(1，] D．[，＋∞) 答案　A 解析　雙曲線x2－＝1(b>0)的一條漸近線方程是bx－y＝0，由題意圓x2＋(y－2)2＝1的圓心(0,2)到bx－y＝0的距離不小于1，即≥1，則b2≤3，那么離心率e∈(1,2]，故選A. 6．(2019·河北武邑中學調研)已知直線l：y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點

4、，F為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k等于(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由消去y得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， Δ＝(4k2－8)2－16k4>0，又k>0，解得00，x2>0， 由②③解得x1＝4，x2＝1，代入①得k2＝， ∵00，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則E的離

5、心率為(　　) A．2B.C．2D．2 答案　C 解析　由題意，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，即＝，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝＝2，故選C. 8．(2019·河北衡水中學模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案　A 解析　如圖，作OA⊥F1M于點A，F2B⊥F1M于點B. 因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°， 所以|OA|＝

6、a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b. 又點M在雙曲線上， 所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a. 整理，得b＝a.所以＝. 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選A. 9．(2019·湖南五市十校聯考)在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，直線MN與x軸交于點R，若∠NFR＝60°，則|FR|等于(　　) A．2B.C．2D．3 答案　A 解析　由拋物線C：y2＝4x，得焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1， 因為M，N分別為PQ，PF的中

7、點， 所以MN∥QF， 所以四邊形QMRF為平行四邊形，|FR|＝|QM|， 又由PQ垂直l于點Q，可知|PQ|＝|PF|， 因為∠NFR＝60°，所以△PQF為等邊三角形， 所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故選A. 10．已知F1，F2分別是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A.B.C.D．2 答案　A 解析　因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又sin∠MF2F1＝，所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|. 由雙曲線的定義，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，

8、 所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2， 所以離心率e＝＝. 11．(2019·湖南長沙長郡中學調研)已知點P(－1,0)，設不垂直于x軸的直線l與拋物線y2＝2x交于不同的兩點A，B，若x軸是∠APB的角平分線，則直線l一定過點(　　) A.B．(1,0) C．(2,0) D．(－2,0) 答案　B 解析　根據題意，直線的斜率存在且不等于零，設直線的方程為x＝ty＋m(t≠0)，與拋物線方程聯立，消元得y2－2ty－2m＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因為x軸是∠APB的角平分線， 所以AP，BP的斜率互為相反數， 所以＋＝0， 所以2ty1y2

9、＋(m＋1)(y1＋y2)＝0， 結合根與系數之間的關系，整理得出 2t(－2m)＋2tm＋2t＝0,2t(m－1)＝0， 因為t≠0，所以m＝1，所以過定點(1,0)，故選B. 12．(2019·陜西四校聯考)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則＋等于(　　) A．4B．2C．2D．3 答案　A 解析　如圖所示， 設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2， 則根據橢圓及雙曲線的定義： |PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2， ∴|PF1|＝a1＋a2，|

10、PF2|＝a1－a2， 設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝， 則在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos， 化簡得3a＋a＝4c2， 該式可變成＋＝4.故選A. 二、填空題 13．已知雙曲線C：x2－y2＝1，則點(4,0)到C的漸近線的距離為________． 答案　2 解析　雙曲線C：x2－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，點(4,0)到C的漸近線的距離為＝2. 14．(2019·新鄉(xiāng)模擬)設P為曲線2x＝上一點，A(－，0)，B(，0)，若|PB|＝2，則|PA|＝________. 答案　4

11、 解析　由2x＝，得4x2＝4＋y2(x>0)， 即x2－＝1(x>0)， 故P為雙曲線x2－＝1右支上一點， 且A，B分別為該雙曲線的左、右焦點， 則|PA|－|PB|＝2a＝2，|PA|＝2＋2＝4. 15．已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D，則|AB|·|CD|的值是________． 答案　1 解析　設A(x1，y1)，D(x2，y2)， 則|AB|·|CD|＝(|AF|－1)(|DF|－1) ＝(x1＋1－1)(x2＋1－1)＝x1x2， 由y＝k(x－1)與y2＝4x聯立

12、方程消y得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， x1x2＝1，因此|AB|·|CD|＝1. 16．(2019·四省聯考診斷)在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足＝λ，當λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓，現有橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足＝2，△PAB的面積最大值為，△PCD面積的最小值為，則橢圓的離心率為________． 答案　 解析　依題意A(－a,0)，B(a,0)，設P(x，y)， 依題意得|PA|＝2|PB|， ＝2，

13、兩邊平方化簡得2＋y2＝2， 故圓心為，半徑r＝. 所以△PAB的最大面積為·2a·a＝，解得a＝2， △PCD的最小面積為·2b·＝b·＝， 解得b＝1. 故橢圓的離心率為e＝＝＝. 三、解答題 17．(2019·湖南長沙長郡中學調研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：(x－3)2＋(y－b)2＝r2(r為正數，b∈R)． (1)若對任意給定的r∈(0，＋∞)，直線l：y＝－x＋r＋4總能把圓M的周長分成3∶1的兩部分，求圓M的標準方程； (2)已知點A(0,3)，B(1,0)，且r＝，若線段AB上存在一點P，使得過點P的某條直線與圓M交于點S，T(其中|PS|<|PT|

14、)，且|PS|＝|ST|，求實數b的取值范圍． 解　(1)根據題意可得，圓心到直線的距離為r恒成立， 即＝r，整理得|b－1－r|＝r， 去絕對值符號可得b－1－r＝r或b－1－r＝－r， 根據恒成立，可得b＝1， 所以圓M的標準方程為(x－3)2＋(y－1)2＝r2. (2)根據題意，如果存在滿足條件的點，對應的邊界值為過圓心的弦，而從另一個角度，即為線段端點值滿足條件即可，先考慮點A，即為|AM|≤3r， 即(0－3)2＋(b－3)2≤9×，解得2≤b≤4， 再考慮點B，即為|BM|≤3r，即(1－3)2＋b2≤10， 解得－≤b≤， 兩者取并集，得到b的取值范圍是[－

15、，4]． 18.(2019·陜西四校聯考)已知拋物線C：y2＝2px過點A(1,1)． (1)求拋物線C的方程； (2)若過點P(3，－1)的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點(均與點A不重合)．設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值． (1)解　由題意得2p＝1，所以拋物線方程為y2＝x. (2)證明　設M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直線MN的方程為x＝t(y＋1)＋3， 代入拋物線方程得y2－ty－t－3＝0. 所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3. 所以k1·k2＝·＝· ＝＝ ＝＝－， 所以k1·k2是定值． 9