（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù) 第31講 復數(shù)練習 文（含解析）新人教A版

第31講　復　　數(shù) 夯實基礎　【p71】 【學習目標】 1．理解復數(shù)的有關概念，以及復數(shù)相等的充要條件． 2．了解復數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進行復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算． 3．了解復數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復數(shù)的加、減法的幾何意義． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設i為虛數(shù)單位，則(1＋i)4＝(　　) A．－4 B．4 C．－4i D．4i 【解析】(1＋i)4＝(2i)2＝－4，選A. 【答案】A 2．已知復數(shù)z＝ (i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．i 【解析】因為z＝＝＝，故虛部為1. 故選C. 【答案】C 3．已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1)i，則|z|＝(　　) A．2 B. C. D．5 【解析】由復數(shù)相等的充分必要條件有：即 則z＝1＋2i，|z|＝＝. 故選C. 【答案】C 4．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)是z的共軛復數(shù)，復數(shù)z＝＋3i－1，則下面說法正確的是(　　) A．z在復平面內(nèi)對應的點落在第四象限 B.＝2＋2i C.的虛部為1 D.＝2 【解析】復數(shù)z＝＋3i－1＝＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i， 則z在復平面內(nèi)對應的點(－2，2)落在第二象限， ＝－2－2i，＝＝＝－1＋i，其虛部為1，＝. 因此只有C正確． 故選C. 【答案】C 【知識要點】 1．復數(shù)的概念 (1)復數(shù)：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫作__復數(shù)__，其中i叫作__虛數(shù)單位__，全體復數(shù)所構成的集合C叫作__復數(shù)集__．　　(2)復數(shù)的代數(shù)形式：復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．這一表示形式叫作復數(shù)的__代數(shù)形式__，其中a與b分別叫作復數(shù)z的實部與虛部． (3)復數(shù)的相等：復數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di相等的充要條件是__a＝c且b＝d__，即a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. (4)復數(shù)的分類：對于復數(shù)a＋bi， 當且僅當__b＝0__時，它是實數(shù)； 當且僅當__a＝b＝0__時，它是實數(shù)0； 當b≠0時，叫作__虛數(shù)__； 當a＝0且b≠0時，叫作__純虛數(shù)__． 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復平面：如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z＝a＋bi可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸．顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．　　(2)復數(shù)與點：復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有點所成的集合是一一對應的，即Ｋ，這是復數(shù)的一種幾何意義． (3)復數(shù)與向量：復數(shù)集C與復平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對應的(實數(shù)0與零向量對應)，即 復數(shù)z＝a＋bi←平面向量＝(a，b)，這是復數(shù)的另一種幾何意義(如圖所示)． 即有： (4)復數(shù)的模：向量的模r叫作復數(shù)z＝a＋bi的__模__，記作|z|或|a＋bi|.特別地，若b＝0，則z＝a＋bi＝a是__實數(shù)__，它的模為|a|(即a的絕對值)． 顯然，|z|＝|a＋bi|＝r＝____(r≥0，r∈R)． 3．復數(shù)的加減法及其幾何意義 (1)復數(shù)的加法 ①法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數(shù)，那么z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，顯然，兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù)． ②運算律：?z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． ③幾何意義：設，分別與復數(shù)a＋bi，c＋di對應，則有＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐標運算，有＋＝(a＋c，b＋d)，即＋是與復數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應的向量，故復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行，這是復數(shù)加法的幾何意義． (2)復數(shù)的減法 ①法則：(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__，顯然，兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù)． ②減法的幾何意義：復數(shù)的減法滿足向量的三角形法則，如圖所示，－＝__(a－c，b－d)__，即向量－與復數(shù)__(a－c)＋(b－d)i__對應． (3)對于復數(shù)z而言，|z－(a＋bi)|＝r(r>0)(其中a∈R，b∈R)表示復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點的軌跡為以(a，b)為圓心，r為半徑的圓． 4．復數(shù)的乘除法 (1)復數(shù)的乘法 ①法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__(ac－bd)＋(bc＋ad)i__． 由此可見，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并即可．顯然，兩個復數(shù)的積仍是一個確定的復數(shù)． ②運算律：?z1，z2，z3∈C，有： z1·z2＝z2·z1， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)， z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. ③i的運算律： 特別地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，其中n∈N. (2)共軛復數(shù) ①定義：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫互為共軛復數(shù)(實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身)． 如a＋bi與a－bi互為__共軛復數(shù)__． 復數(shù)z的共軛復數(shù)常記為z. ②幾何意義：若z1與z2是共軛復數(shù)，那么在復平面內(nèi)z1與z2對應的點關于實軸對稱． ③運算：z1＝a＋bi與z2＝a－bi是共軛復數(shù)，則 z1·z2＝(a＋bi)·(a－bi)＝__a2＋b2__， 顯然，z1·z2＝__|z1|2＝|z2|2__． ④性質(zhì)：|z1|＝|z2|. (3)復數(shù)的除法 (a＋bi)÷(c＋di)＝ ＝＝__＋i__(c2＋d2≠0)． 由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商仍是一個確定的復數(shù)． 對兩個復數(shù)z1，z2，有＝. 5．常用結論：＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i. 典 例 剖 析　【p72】 考點1　復數(shù)的概念 (1)設復數(shù)z1＝1＋i，z2＝i，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為(　　) A．－1 B．1 C．i D．－i 【解析】1＝1－i，＝＝－1－i，虛部為－1， 故選A. 【答案】A (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】若z1＝z2，等價于?m2＋m－2＝0?m＝－2或m＝1， ∴“m＝1”?“z1＝z2”但“z1＝z2”?/　“m＝1”， ∴“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 【答案】A (3)若復數(shù)(a∈R)為純虛數(shù)，則|3－ai|＝(　　) A. B．13 C．10 D. 【解析】由復數(shù)的運算法則有： ＝＝＋i， 復數(shù)(a∈R)為純虛數(shù)，則 即a＝－2，|3－ai|＝＝. 故選A. 【答案】A 【小結】復數(shù)的分類及對應點位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部、虛部滿足的方程即可． 考點2　復數(shù)代數(shù)形式的運算 (1)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝－＋i的共軛復數(shù)為，則＋＝__________． 【解析】復數(shù)z＝－＋i的共軛復數(shù)為＝－－i. ＝＝1. 所以＋＝－i. 【答案】－i (2)已知i是虛數(shù)單位，則＋＝________． 【解析】原式＝＋＝＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2. 【答案】－2 【小結】復數(shù)的運算關鍵是兩點： (1)i的周期性；(2)除法中分母實數(shù)化即共軛復數(shù)性質(zhì)． 考點3　復數(shù)的幾何意義 (1)在復平面內(nèi)與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 【解析】因為z＝＝1＋i，所以其在復平面內(nèi)對應的點為(1，1)，關于虛軸對稱的點為A(－1，1)，故A對應的復數(shù)為－1＋i. 【答案】D (2)設復數(shù)z滿足|z|＝1，則|z－2|的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題意，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，要求|z－2|的最小值，只需找出圓上的點到點(2，0)的距離最小的點即可．連接圓心(0，0)與點(2，0)，長度為2，故|z－2|min＝1. 【答案】A (3)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，則的最大值是________；最小值是________． 【解析】|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.表示過圓上的點(x，y)及(0，0)兩點的直線斜率.如圖，當過(0，0)的直線與圓相切時取到斜率的最值，故＝＝，＝－. 【答案】?。? 【小結】研究復數(shù)模的問題，可利用數(shù)形結合法，考慮模的幾何意義求解． 考點4　在復數(shù)集中的方程問題 (1)設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2＋4i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的共軛復數(shù)為____________． 【解析】因為z＝＝＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，所以復數(shù)z的共軛復數(shù)為3－i. 【答案】3－i (2)已知復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面上對應的點分別為A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________． 【解析】由條件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)， 根據(jù)＝λ＋μ得 (3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴解得 ∴λ＋μ＝1. 【答案】1 (3)若z·－(z＋1)(z－1)＝|z|，則復數(shù)z＝________． 【解析】設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則(x＋yi)(x－yi)－[(x＋1)＋yi]·[(x－1)－yi] ＝， x2＋y2－(x2－1)－y2＋2yi＝. 根據(jù)復數(shù)相等的定義得 解得x＝±1，y＝0. 【答案】±1 【小結】利用復數(shù)相等實現(xiàn)復數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 【能力提升】 例5對任意復數(shù)ω1，ω2，定義ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共軛復數(shù)．對任意復數(shù)z1，z2，z3有如下四個命題： ①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)； ②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)； ③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)； ④z1*z2＝z2*z1. 則真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題意得(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3＝z1*z3＋z2*z3，故①正確； z1*(z2＋z3)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故②正確； (z1*z2)*z3＝z1z2　z3，而z1*(z2*z3)＝z1z2z3，故③錯誤； z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，故④不正確．故選B. 【答案】B 【小結】復數(shù)與新定義問題結合，把握好新定義的結構特征是關鍵． 方 法 總 結　【p72】 1．利用復數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題是求解復數(shù)常用的方法． 2．實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身，兩個純虛數(shù)的積是實數(shù)． 3．復數(shù)問題幾何化，利用復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結論，有效利用數(shù)和形的結合，取得事半功倍的效果． 走 進 高 考　　【p72】 1．(2018·全國卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 【解析】i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D. 【答案】D 2．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. 【解析】z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i， ∴|z|＝1. 【答案】C 3．(2018·江蘇)若復數(shù)z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為________． 【解析】復數(shù)z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的實部是2. 【答案】2 - 7 -