（名師導學）2020版高考數學總復習 第四章 三角函數、平面向量與復數 第31講 復數練習 文（含解析）新人教A版

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1、第31講　復　　數 夯實基礎　【p71】 【學習目標】 1．理解復數的有關概念，以及復數相等的充要條件． 2．了解復數的代數形式的表示方法，能進行復數的代數形式的四則運算． 3．了解復數代數形式的幾何意義及復數的加、減法的幾何意義． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設i為虛數單位，則(1＋i)4＝(　　) A．－4 B．4 C．－4i D．4i 【解析】(1＋i)4＝(2i)2＝－4，選A. 【答案】A 2．已知復數z＝ (i為虛數單位)，則z的虛部為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．i 【解析】因為z＝＝＝，故虛部為

2、1. 故選C. 【答案】C 3．已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1)i，則|z|＝(　　) A．2 B. C. D．5 【解析】由復數相等的充分必要條件有：即 則z＝1＋2i，|z|＝＝. 故選C. 【答案】C 4．已知i是虛數單位，復數是z的共軛復數，復數z＝＋3i－1，則下面說法正確的是(　　) A．z在復平面內對應的點落在第四象限 B.＝2＋2i C.的虛部為1 D.＝2 【解析】復數z＝＋3i－1＝＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i， 則z在復平面內對應的點(－2，2)落在第二象限， ＝－2－2i，＝＝＝－1＋i，其

3、虛部為1，＝. 因此只有C正確． 故選C. 【答案】C 【知識要點】 1．復數的概念 (1)復數：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫作__復數__，其中i叫作__虛數單位__，全體復數所構成的集合C叫作__復數集__．　　(2)復數的代數形式：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．這一表示形式叫作復數的__代數形式__，其中a與b分別叫作復數z的實部與虛部． (3)復數的相等：復數z1＝a＋bi與z2＝c＋di相等的充要條件是__a＝c且b＝d__，即a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. (4)復數的分類：對于

4、復數a＋bi， 當且僅當__b＝0__時，它是實數； 當且僅當__a＝b＝0__時，它是實數0； 當b≠0時，叫作__虛數__； 當a＝0且b≠0時，叫作__純虛數__． 2．復數的幾何意義 (1)復平面：如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z＝a＋bi可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸．顯然，實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數．　　(2)復數與點：復數集C和復平面內所有點所成的集合是一一對應的，即Ｋ，這是復數的一種幾何意義． (3)復數與向量：復數集C與復平面內的向量所成的集合也是一一對應

5、的(實數0與零向量對應)，即 復數z＝a＋bi←平面向量＝(a，b)，這是復數的另一種幾何意義(如圖所示)． 即有： (4)復數的模：向量的模r叫作復數z＝a＋bi的__模__，記作|z|或|a＋bi|.特別地，若b＝0，則z＝a＋bi＝a是__實數__，它的模為|a|(即a的絕對值)． 顯然，|z|＝|a＋bi|＝r＝____(r≥0，r∈R)． 3．復數的加減法及其幾何意義 (1)復數的加法 ①法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，那么z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，顯然，兩個復數的和仍然是一個確定的復數． ②運

6、算律：?z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． ③幾何意義：設，分別與復數a＋bi，c＋di對應，則有＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐標運算，有＋＝(a＋c，b＋d)，即＋是與復數(a＋c)＋(b＋d)i對應的向量，故復數的加法可以按照向量的加法來進行，這是復數加法的幾何意義． (2)復數的減法 ①法則：(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__，顯然，兩個復數的差是一個確定的復數． ②減法的幾何意義：復數的減法滿足向量的三角形法則，如圖所示，－＝__(a－c，b－d)__，即向量－與復數__(a－

7、c)＋(b－d)i__對應． (3)對于復數z而言，|z－(a＋bi)|＝r(r>0)(其中a∈R，b∈R)表示復平面內復數z對應的點的軌跡為以(a，b)為圓心，r為半徑的圓． 4．復數的乘除法 (1)復數的乘法 ①法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__(ac－bd)＋(bc＋ad)i__． 由此可見，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并即可．顯然，兩個復數的積仍是一個確定的復數． ②運算律：?z1，z2，z3∈C，有： z1·z

8、2＝z2·z1， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)， z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. ③i的運算律： 特別地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，其中n∈N. (2)共軛復數 ①定義：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數(實數的共軛復數是它本身)． 如a＋bi與a－bi互為__共軛復數__． 復數z的共軛復數常記為z. ②幾何意義：若z1與z2是共軛復數，那么在復平面內z1與z2對應的點關于實軸對稱． ③運算：z1＝a＋bi與z2＝a－bi是共軛復數，則 z1·z2＝(a＋bi)·(a－

9、bi)＝__a2＋b2__， 顯然，z1·z2＝__|z1|2＝|z2|2__． ④性質：|z1|＝|z2|. (3)復數的除法 (a＋bi)÷(c＋di)＝ ＝＝__＋i__(c2＋d2≠0)． 由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商仍是一個確定的復數． 對兩個復數z1，z2，有＝. 5．常用結論：＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i. 典 例 剖 析　【p72】 考點1　復數的概念 (1)設復數z1＝1＋i，z2＝i，其中i為虛數單位，則的虛部為(　　) A．－1 B．1 C．i D．－i 【解析】1＝1－i，＝＝－1－i，虛部為－1， 故選

10、A. 【答案】A (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】若z1＝z2，等價于?m2＋m－2＝0?m＝－2或m＝1， ∴“m＝1”?“z1＝z2”但“z1＝z2”?/　“m＝1”， ∴“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 【答案】A (3)若復數(a∈R)為純虛數，則|3－ai|＝(　　) A. B．13 C．10 D. 【解析】由復數的運算法則有： ＝＝＋i， 復數(a∈R)為純虛

11、數，則 即a＝－2，|3－ai|＝＝. 故選A. 【答案】A 【小結】復數的分類及對應點位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部、虛部滿足的方程即可． 考點2　復數代數形式的運算 (1)已知i為虛數單位，復數z＝－＋i的共軛復數為，則＋＝__________． 【解析】復數z＝－＋i的共軛復數為＝－－i. ＝＝1. 所以＋＝－i. 【答案】－i (2)已知i是虛數單位，則＋＝________． 【解析】原式＝＋＝＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2. 【答案】－2 【小結】復數的

12、運算關鍵是兩點： (1)i的周期性；(2)除法中分母實數化即共軛復數性質． 考點3　復數的幾何意義 (1)在復平面內與復數z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數為(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 【解析】因為z＝＝1＋i，所以其在復平面內對應的點為(1，1)，關于虛軸對稱的點為A(－1，1)，故A對應的復數為－1＋i. 【答案】D (2)設復數z滿足|z|＝1，則|z－2|的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題意，復數z在復平面內對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，要求|z－2|的最小值，只需找

13、出圓上的點到點(2，0)的距離最小的點即可．連接圓心(0，0)與點(2，0)，長度為2，故|z－2|min＝1. 【答案】A (3)已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，則的最大值是________；最小值是________． 【解析】|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.表示過圓上的點(x，y)及(0，0)兩點的直線斜率.如圖，當過(0，0)的直線與圓相切時取到斜率的最值，故＝＝，＝－. 【答案】　－ 【小結】研究復數模的問題，可利用數形結合法，考慮模的幾何意義求解． 考點4　在復數集中的方程問題 (1)設復數z滿足z(1＋i)＝2＋4i，其中i為虛數

14、單位，則復數z的共軛復數為____________． 【解析】因為z＝＝＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，所以復數z的共軛復數為3－i. 【答案】3－i (2)已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面上對應的點分別為A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________． 【解析】由條件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)， 根據＝λ＋μ得 (3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴解得 ∴λ＋μ＝1. 【答案】1 (3)若z·－(z＋1)(z－1)＝|z|，則復數z＝________．

15、 【解析】設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則(x＋yi)(x－yi)－[(x＋1)＋yi]·[(x－1)－yi] ＝， x2＋y2－(x2－1)－y2＋2yi＝. 根據復數相等的定義得 解得x＝±1，y＝0. 【答案】±1 【小結】利用復數相等實現復數問題向實數問題的轉化，體現了轉化思想． 【能力提升】 例5對任意復數ω1，ω2，定義ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共軛復數．對任意復數z1，z2，z3有如下四個命題： ①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)； ②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)； ③(z1*z2)*z3＝z1*(

16、z2*z3)； ④z1*z2＝z2*z1. 則真命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題意得(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3＝z1*z3＋z2*z3，故①正確； z1*(z2＋z3)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故②正確； (z1*z2)*z3＝z1z2　z3，而z1*(z2*z3)＝z1z2z3，故③錯誤； z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，故④不正確．故選B. 【答案】B 【小結】復數與新定義問題結合，把握好新定義的結構特征是關鍵． 方 法 總 結　【p7

17、2】 1．利用復數相等的充要條件轉化為實數問題是求解復數常用的方法． 2．實數的共軛復數是它本身，兩個純虛數的積是實數． 3．復數問題幾何化，利用復數、復數的模、復數運算的幾何意義，轉化條件和結論，有效利用數和形的結合，取得事半功倍的效果． 走 進 高 考　　【p72】 1．(2018·全國卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 【解析】i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D. 【答案】D 2．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. 【解析】z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i， ∴|z|＝1. 【答案】C 3．(2018·江蘇)若復數z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數單位，則z的實部為________． 【解析】復數z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的實部是2. 【答案】2 - 7 -