廣西2020版高考數學一輪復習 考點規(guī)范練33 基本不等式及其應用 文

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1、考點規(guī)范練33　基本不等式及其應用 一、基礎鞏固 1.下列不等式一定成立的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.lgx2+14>lg x(x>0) B.sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1x2+1>1(x∈R) 答案C 解析因為x>0,所以x2+14≥2·x·12=x, 所以lgx2+14≥lgx(x>0),故選項A不正確; 當x≠kπ,k∈Z時,sinx的正負不定,故選項B不正確; 由基本不等式可知選項C正確; 當x=0時,1x2+1=1,故選項D不正確. 2.已知a>0,b>0,a,b的等比中

2、項是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案B 解析由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(當且僅當a=b=1時,等號成立). 3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a2ab2b=a, ∴2

3、a+b<1ab,即2aba+b0,b>0)對稱,則1a+4b的最小值為(　　) A.8 B.9 C.16 D.18 答案B 解析由圓的對稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1. 所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,當且僅當ba=4ab,即2a=b=23時等號成立,故選B. 5.若正數x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是(　　) A.43 B.53 C.2 D.54 答案C 解析由x>0

4、,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(當且僅當2x=3y時等號成立), 則12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值為2. 6.若兩個正實數x,y滿足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數m的取值范圍是(　　) A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 答案D 解析因為x>0,y>0,2x+1y=1, 所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8, 當且僅當4yx=xy,即x=2y時等號成立. 由x+2y>m2+2m恒成立, 可知m2+2m<8

5、,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1y的最大值為(　　) A.2 B.32 C.1 D.12 答案C 解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3, 又a>1,b>1,所以ab≤a+b22=3, 所以lg(ab)≤lg3, 從而1x+1y≤lg3lg3=1,當且僅當a=b=3時等號成立. 8.已知x>1,則logx9+log27x的最小值是　　　　　.? 答案263 解析∵x>1,∴l(xiāng)ogx9+log27x=2lg3lgx+lgx3l

6、g3≥223=263,當且僅當x=36時等號成立. ∴l(xiāng)ogx9+log27x的最小值為263. 9.某公司購買一批機器投入生產,據市場分析,每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉時間x(單位:年)的關系為y=-x2+18x-25(x∈N*).則當每臺機器運轉　　　　　年時,年平均利潤最大,最大值是　　　　　萬元.? 答案5　8 解析每臺機器運轉x年的年平均利潤為yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-225=8,當且僅當x=5時,年平均利潤最大,最大值為8萬元. 10.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為

7、　　　　　　.? 答案14 解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6. ∵a,b∈R,∴2a>0,18b>0. ∴2a+18b≥22a-3b=22-6=14, 當且僅當2a=18b,即a=-3,b=1時取等號. 11.某種飲料分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價p+q2%,若p>q>0,則提價多的方案是　　　　　.? 答案乙 解析設原價為a,則方案甲提價后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價后為a1+p+q2%2. 由于(1+p%)(1+q%)<(1+p%)+(1+q%)22 =1+p+q2%2, 因此提價多的是方案乙

8、. 12.設a,b均為正實數,求證:1a2+1b2+ab≥22. 證明因為a,b均為正實數,所以1a2+1b2≥21a2·1b2=2ab, 當且僅當1a2=1b2,即a=b時,等號成立, 又因為2ab+ab≥22ab·ab=22, 當且僅當2ab=ab時,等號成立, 所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22, 當且僅當1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42時,等號成立. 二、能力提升 13.已知不等式2x2-axy+y2≥0對任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實數a的取值范圍是(　　) A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤92 答案A

9、 解析因為2x2-axy+y2≥0,且y≠0, 所以2xy2-axy+1≥0. 令t=xy,則不等式變?yōu)?t2-at+1≥0. 由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13,2, 即2t2-at+1≥0在t∈13,2時恒成立. 由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a≤2t+1t. 又2t+1t≥22t·1t=22. 當且僅當2t=1t,即t=22時等號成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤22,故選A. 14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數x,y都成立,則實數a的最小值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析令f(

10、y)=|y+4|-|y|, 則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4. ∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數x,y都成立, ∴2x+a2x≥f(y)max=4, ∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立; 令g(x)=-(2x)2+4×2x, 則a≥g(x)max=4,∴實數a的最小值為4. 15.已知x>0,a為大于2x的常數. (1)求函數y=x(a-2x)的最大值; (2)求y=1a-2x-x的最小值. 解(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2x+(a-2x)22=a28,當且僅當x=

11、a4時取等號, 故函數y=x(a-2x)的最大值為a28. (2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2≥212-a2=2-a2,當且僅當x=a-22時取等號. 故y=1a-2x-x的最小值為2-a2. 16.某工廠某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當年產量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當年產量不少于80千件時,C(x)=51x+10000x-1 450(單位:萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產的商品能全部售完. (1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關于年產量x(單位:

12、千件)的函數解析式; (2)當年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大? 解(1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元,依題意得,當0

13、,L(x)取得最大值L(60)=950. 當x≥80時,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,當且僅當x=10000x時,即x=100時,L(x)取得最大值1000. 因為950<1000,所以當年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大.最大利潤為1000萬元. 三、高考預測 17.若a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍. 解∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3, ∴(a+b)2=(ab-3)2. ∵(a+b)2≥4ab, ∴(ab-3)2≥4ab, 即(ab)2-10ab+9≥0, 故ab≤1或ab≥9. 因此ab的取值范圍是(-∞,1]∪[9,+∞). 7