6、，每個(gè)甲頭八個(gè)兵．”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有( )
A．(87－8)人 B．(89－8)人
C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人
答案 D
解析 由題意可得將官、營(yíng)、陣、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為8，公比也為8，所以將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有：8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故選D.
10．(2019·深圳調(diào)研)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)定點(diǎn)，∠ABC＝60°，AC＝2，P為球O的球面上的動(dòng)點(diǎn)，記三棱錐P－ABC的體積為V1，三棱錐O－ABC的體積為V2，若的最大值
7、為3，則球O的表面積為( )
A. B. C. D．6π
答案 B
解析 由題意，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O′，其半徑為r，球O的半徑為R，且|OO′|＝d，依題意可知max＝＝3，即R＝2d，顯然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，∴球O的表面積為4πR2＝πr2＝.故選B.
11．(2019·西工大附中模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因?yàn)镕1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙
8、曲線上一點(diǎn)，且滿足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a＜c，∴|PF2|＜|F1F2|，∴|PF2|為△PF1F2的最小邊，∴△PF1F2的最小內(nèi)角∠PF1F2＝30°，根據(jù)余弦定理，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|·cos∠PF1F2，即4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×，∴c2－2ca＋3a2＝0，
∴c＝a，所以e＝＝.故選C.
12．(2019·四川診斷)已知定義在R上的函數(shù)f (x)關(guān)于y軸對(duì)稱，其導(dǎo)函
9、數(shù)為f′(x)．當(dāng)x≥0時(shí)，不等式xf′(x)＞1－f (x)．若?x∈R，不等式exf (ex)－ex＋ax－ax·f (ax)＞0恒成立，則正整數(shù)a的最大值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵xf′(x)＞1－f (x)，∴xf′(x)－1＋f (x)＞0，
令F (x)＝x[f (x)－1]，則F′(x)＝xf′(x)＋f (x)－1＞0，又∵f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴F (x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴F (x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又∵exf (ex)－axf (ax)＞ex－ax，可化為ex[f (ex)－1]＞ax[f (ax)
10、－1]，即F (ex)＞F (ax)，又∵F (x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴ex－ax＞0恒成立，令g(x)＝ex－ax，則g′(x)＝ex－a，∵a＞0，∴g(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)min＝a－aln a＞0，則1－ln a＞0，∴0＜a＜e，
∴正整數(shù)a的最大值為2.故選B.
第Ⅱ卷 (選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．(2019·武威十八中一模)學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)A，B，C，D四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品預(yù)測(cè)如下：
甲說：“是C
11、或D作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“B作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說：“A，D兩件作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說：“是C作品獲得一等獎(jiǎng)”．
評(píng)獎(jiǎng)揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是________．
答案 B
解析 若A為一等獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯(cuò)誤，滿足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．
14．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝________.
12、
答案 100
解析 ∵{an}為等差數(shù)列，a3＝5，a7＝13，
∴公差d＝＝＝2，首項(xiàng)a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋d＝100.
15．(2019·淮北一中模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝ln y－ln x的最小值是________．
答案?。璴n 3
解析 根據(jù)題中所給的約束條件，畫出可行域，如圖中陰影部分所示．
又因?yàn)閦＝ln y－ln x＝ln ，當(dāng)取最小值時(shí)z取最小值，根據(jù)表示的是點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，根據(jù)圖形可知，在點(diǎn)C處取得最小值，解方程組解得C(3,1)，此時(shí)z取得最小值ln ＝－ln 3.
16．(2019·浙江高考)
13、已知橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．
答案
解析 如圖，左焦點(diǎn)F (－2,0)，右焦點(diǎn)F′(2,0)．
線段PF的中點(diǎn)M在以O(shè)(0,0)為圓心，2為半徑的圓上，因此OM＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以PF′＝4.
根據(jù)橢圓的定義，得PF＋PF′＝6，
所以PF＝2.
又因?yàn)镕F′＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直線PF的斜率是.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題
14、，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
(一)必考題：60分．
17．(本小題滿分12分)(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因?yàn)閎＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－得sinB＝.
由正弦定理得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角，
所以cosC＝＝.
所以sin(
15、B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
18．(本小題滿分12分)(2019·濟(jì)南市模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P－EBCD，點(diǎn)M為棱PB的中點(diǎn)．
(1)求證：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱錐M－BCE的體積．
解 (1)在題圖1中，
因?yàn)锽E＝AB＝CD且BE∥CD，
所以四邊形EBCD是平行四邊形．
如圖，連接BD，交CE于點(diǎn)O，連接OM，
所以點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
又點(diǎn)M為棱PB的中點(diǎn)
16、，
所以O(shè)M∥PD，
因?yàn)镻D?平面MCE，OM?平面MCE，
所以PD∥平面MCE.
(2)在題圖1中，
因?yàn)镋BCD是平行四邊形，所以DE＝BC，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，
所以AD＝BC，所以AD＝DE，
因?yàn)椤螧AD＝45°，
所以AD⊥DE.
所以PD⊥DE，
又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，
所以PD⊥平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，所以O(shè)M⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，因?yàn)锳E＝2，所以AD＝DE＝，
所以O(shè)M＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，
所以V三棱錐M－BCE＝S△BCE·O
17、M＝.
19．(本小題滿分12分)(2019·蚌埠二模)隨著人民生活水平的日益提高，某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增．由于該小區(qū)建成時(shí)間較早，沒有配套建造地下停車場(chǎng)，小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成了交通的擁堵．該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年小區(qū)登記在冊(cè)的私家車數(shù)量(累計(jì)值，如124表示2016年小區(qū)登記在冊(cè)的所有車輛數(shù)，其余意義相同)，得到如下數(shù)據(jù)：
編號(hào)x
1
2
3
4
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
數(shù)量y(單位：輛)
34
95
124
181
216
(1)若私家車的數(shù)量y與年份編號(hào)x滿足線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸
18、方程，并預(yù)測(cè)2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量；
(2)小區(qū)于2018年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造，劃設(shè)了120個(gè)停車位．為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題，加強(qiáng)小區(qū)管理，物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進(jìn)入小區(qū)．由于車位有限，物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競(jìng)拍的方式將車位對(duì)業(yè)主出租，租期一年，競(jìng)拍方式如下：①截至2018年已登記在冊(cè)的私家車業(yè)主擁有競(jìng)拍資格；②每車至多申請(qǐng)一個(gè)車位，由車主在競(jìng)拍網(wǎng)站上提出申請(qǐng)并給出自己的報(bào)價(jià)，根據(jù)物價(jià)部門的規(guī)定，競(jìng)價(jià)不得超過1200元；③申請(qǐng)階段截止后，將所有申報(bào)的業(yè)主報(bào)價(jià)自高到低排列，排在前120位的業(yè)主以其報(bào)價(jià)成交；④若最后出現(xiàn)并列的報(bào)價(jià)，則以提出申請(qǐng)的時(shí)間在前的業(yè)主成交
19、．為預(yù)測(cè)本次競(jìng)拍的成交最低價(jià)，物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競(jìng)拍資格的40位業(yè)主進(jìn)行競(jìng)拍意向的調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了他們的擬報(bào)競(jìng)價(jià)，得到如下頻率分布直方圖：
(ⅰ)求所抽取的業(yè)主中有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000元的人數(shù)；
(ⅱ)如果所有符合條件的車主均參加競(jìng)拍，利用樣本估計(jì)總體的思想，請(qǐng)你據(jù)此預(yù)測(cè)至少需要報(bào)價(jià)多少元才能競(jìng)拍車位成功？(精確到整數(shù))
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：＝，＝－.
解 (1)由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(34＋95＋124＋181＋216)＝130，
＝
20、＝＝45，
＝－＝130－45×3＝－5，
故所求線性回歸方程為＝45x－5，
令x＝7，得＝310，
所以預(yù)測(cè)2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量為310輛．
(2)(ⅰ)由頻率分布直方圖可知，有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000元的頻率為(0.25＋0.05)×1＝0.3，
共抽取40位業(yè)主，則40×0.3＝12，
所以有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000元的人數(shù)為12人．
(ⅱ)由題意，＝，
所以競(jìng)價(jià)自高到低排列位于前比例的業(yè)主可以競(jìng)拍成功，
結(jié)合頻率分布直方圖，預(yù)測(cè)競(jìng)拍成功的最低報(bào)價(jià)為
1000－×100＝≈974元．
20．(本小題滿分12分)(2019·合肥二模)已知直線l：x－y
21、＋1＝0與焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．
解 (1)∵直線l：x－y＋1＝0與拋物線C相切．
由消去x得，y2－2py＋2p＝0，從而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)由于直線m的斜率不為0，所以可設(shè)直線m的方程為ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x得，y2－4ty－4＝0，
∴y1＋y2＝4t，從而x1＋x2＝4t2＋2，
∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t2＋1,2t)．
設(shè)點(diǎn)A
22、到直線l的距離為dA，點(diǎn)B到直線l的距離為dB，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴當(dāng)t＝時(shí)，可使A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和最小，最小值為.
21．(本小題滿分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f (x)＝2x3－ax2＋2.
(1)討論f (x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)00，則當(dāng)x∈(－∞，0)∪時(shí)，f′(x)>0，
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，
23、故f (x)在(－∞，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增；
若a<0，則當(dāng)x∈∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，
故f (x)在，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)當(dāng)0
24、.
(二)選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
(2019·黃山二模)設(shè)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，曲線C的參數(shù)方程為(α是參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ－ρcosθ＋1＝m.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P(1，m)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝，求m的值．
解 (1)由題可得，曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1.
直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＋1＝m，即x－y－
25、1＋m＝0.
由于直線l過點(diǎn)P(1，m)，傾斜角為30°，
故直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))．
注意：直線l的參數(shù)方程的結(jié)果不是唯一的．
(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程并化簡(jiǎn)得：2＋2＝1?t2＋mt＋m2－1＝0
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8
解得m＝±3.
23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講]
(2019·長(zhǎng)春二模)已知f (x)＝|2－x|－|4－x|.
(1)關(guān)于x的不等式f (x)≥a2－3a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若f (m)＋f (n)＝4，且m＜n，求m＋n的取值范圍．
解 (1)f (x)＝所以f (x)min＝－2，
∵f (x)≥a2－3a恒成立，則a2－3a≤f (x)min＝－2，
解得1≤a≤2.
(2)∵f (x)max＝2，∴f (m)≤2，f (n)≤2，則f (m)＋f (n)≤4，
又f (m)＋f (n)＝4，所以f (m)＝f (n)＝2，于是n＞m≥4，故m＋n＞8.
13
（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（三）文（含解析）
