16、1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
設(shè)C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m，8m)．
∵點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
【點(diǎn)評(píng)】(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定．
(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問題，但需要檢驗(yàn)．
方法總結(jié) 【p154】
1．由給定條件求雙曲線的方程，常用待定
17、系數(shù)法，首先是根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出方程的形式(含有參數(shù))，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意：
(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；
(2)已知漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根據(jù)其他條件確定λ的值；若求得λ>0，則焦點(diǎn)在x軸上；若求得λ<0，則焦點(diǎn)在y軸上．
2．由已知雙曲線方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計(jì)算，并要特別注意焦點(diǎn)位置．
3．具有相同漸近線的雙曲線的方程為－＝k(k≠0)，當(dāng)k>0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)k<0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．
4．若雙曲線的漸近線方程為y＝±kx，那么可設(shè)雙曲線方
18、程為k2x2－y2＝λ或y2－k2x2＝λ.
走進(jìn)高考 【p154】
1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為( )
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
【解析】∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，
∴＝，
因?yàn)闈u近線方程為y＝±x，所以漸近線方程為y＝±x.
【答案】A
2．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )
A.B．2C.D.
【解析】法一：∵|PF2|＝
19、b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a，
在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，
在Rt△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，
∴＝?b2＋4c2－6a2＝4b2?4c2－6a2＝3c2－3a2?c2＝3a2?e＝.
法二：如圖，不妨設(shè)a＝1，則漸近線方程l：y＝bx，作PF2⊥l，
直線PF2的方程為：y＝－(x－c)，
由得點(diǎn)P.
故|PF1|＝＝，
即＝×1，c＝.故e＝.
【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用直線PF2的方程與漸近線方程，求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出，再結(jié)合條件＝，建立方程，可求出e.坐標(biāo)搭臺(tái)，方程高歌．
法三：
如圖，過F2作PF2⊥l，延長F2P
20、，作F1Q⊥PF2相交于點(diǎn)Q，
易知|F1Q|＝2|OP|＝2a，|QP|＝|F2P|＝b，
則|F1P|＝a，在△F1PQ中有6a2＝4a2＋b2，得2a2＝b2，
可得：e＝＝＝＝.
【點(diǎn)評(píng)】由條件PF2⊥l，構(gòu)造直角△F1QF2，運(yùn)用勾股定理建立方程，找到2a2＝b2，從而求出e.巧妙構(gòu)圖，多思少算．
法四：
如圖，過F2作PF2⊥l，易知|PF2|＝b，|OP|＝a，
作?PF1MF2，由|F1P|＝|MF2|＝a，
在△F2PM中有6a2＝4a2＋b2，得2a2＝b2，
可得：e＝＝＝＝.
【點(diǎn)評(píng)】巧妙構(gòu)圖，多思少算．
【答案】C
3．(2018·全國卷Ⅰ
21、)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝( )
A.B．3C．2D．4
【解析】因?yàn)殡p曲線－y2＝1的漸近方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)．
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3.
【答案】B
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p264】
A組題
1．已知雙曲線－＝1(m>0)的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則雙
22、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.－＝1B.－＝1
C．x2－＝1D.－＝1
【解析】由題意可得：a2＝m，b2＝m＋6，
則實(shí)軸長為：2，虛軸長為2，
由題意有：2×2＝2，解得：m＝2，
代入－＝1可得雙曲線方程為－＝1.
【答案】D
2．已知雙曲線－y2＝1(a>0)兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是( )
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
【解析】由雙曲線－y2＝1(a>0)的兩焦點(diǎn)之間的距離為4，即2c＝4，所以c＝2，
又由c2＝a2＋b2，即a2＋1＝22，解得a＝，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
【答案】A
3
23、．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．(1，) B．(1，)
C．(，) D．(，)
【解析】過右焦點(diǎn)F的直線與漸近線y＝x平行時(shí)，與左支無交點(diǎn)，與右支有一個(gè)交點(diǎn)．
結(jié)合圖象可知：1<<3.
則1<<9，
又e＝，
故0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·
24、＝( )
A．－B.C．15D．－15
【解析】由題得∴a＝3，b＝4.
所以雙曲線的方程為－＝1，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，
所以·＝(－3，0)·＝－15.
【答案】D
5．直線l：y＝2(x－)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率為________．
【解析】雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，
因?yàn)檫^雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F的直線l：y＝2(x－)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以＝2，0＝2(c－)，
又因?yàn)閍2＋b2＝c2，
解得c＝，a＝1，
所以e＝＝.
【答案】
6
25、．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為________．
【解析】雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，|F1F2|＝10，
由3|PF1|＝4|PF2|，設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝x，
由雙曲線的性質(zhì)知x－x＝2，解得x＝6.
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
∵|F1F2|＝10，∴∠F1PF2＝90°，
∴△PF1F2的面積為×8×6＝24.
【答案】24
7．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線C的實(shí)軸長為6，離心率為.
26、(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)，且|PF1|＝10，求|PF2|.
【解析】(1)由題易知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5.
故b2＝c2－a2＝16，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2)因?yàn)閍＋c＝8，|PF1|＝10>8，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的左支上也可能在雙曲線的右支上．
①若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
②若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝4.
綜上，|PF2|＝16或4.
8．已知雙曲線C：－＝1(a>
27、0，b>0)的離心率為，且＝，
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求m的值．
【解析】(1)由題意得解得
∴b2＝c2－a2＝2，
所以雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，
由得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ＞0)，
∴x0＝＝m，
y0＝x0＋m＝2m，
∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上，
∴m2＋(2m)2＝5，故m＝±1.
B組題
1．設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2
28、的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足·＝0，則的值為( )
A.B．1C．2D．不確定
【解析】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，
設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得
|PF1|－|PF2|＝2m，①
由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a.②
又∵·＝0，∴⊥，可得∠F1PF2＝90°，
故|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③
①平方＋②平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，④
將④代入③，化簡得a2＋m2＝2c2，即＋＝2，可得＋＝2，
因此，＝＋＝2.
【答案】C
2．已知點(diǎn)A，B是雙曲線－＝1
29、右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·的最小值為________________________________________________________________________．
【解析】法一：當(dāng)kAB存在時(shí)，設(shè)lAB：y＝kx＋b，
聯(lián)立消去y得x2－2kbx－b2－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
由A，B均在雙曲線右支上知x1x2>0，所以k2－1>0，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
＝x1x2＋kb＋b2
＝＋＋b2
＝＝2＋>2，
當(dāng)kAB不存在時(shí)，
則·＝x1x2＋y1y2＝m2＋2－m2＝2，
綜上，·≥2，即·的最小值為2.
30、
法二：由于A，B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，故采取“一定一動(dòng)”的原則，不妨先在B點(diǎn)確定的情況下，讓A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最小值，然后再讓B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即取最小值的最小值．
如圖，不妨設(shè)直線OB：y＝kx，
由可得
x＝，y＝，
故＝＝，
顯然點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到在點(diǎn)A處的雙曲線的切線(即AC)與OB垂直時(shí)，此時(shí)在上的投影達(dá)到最小值，
此時(shí)切線AC的方程為x＋ky－＝0，
故在上的投影等于點(diǎn)O到直線AC的距離為，
故·＝·＝·＝2.
法三：設(shè)A，B，
·＝x1x2＋y1y2≥x1x2＋·＝x1x2－≥x1x2－＝x1x2－，
又因?yàn)閤1≥，x2≥，所以x1x2≥2，
所以·≥x1x2－＝2.
法四：設(shè)A，B
31、，
x－y＝2，x－y＝2，
兩式相乘得＝4，
即xx＋yy＝4＋xy＋yx，
等式兩邊同時(shí)加上2x1x2y1y2，得＝4＋≥4，
故·＝x1x2＋y1y2≥2.
【答案】2
3．已知P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值．
【解析】(1)由點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1上，有－＝1.
由題意有·＝，即x－5y＝a2，
32、
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.
(2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則?、?
設(shè)＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x－5y＝5b2，有
(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化簡得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.?、?
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
②
33、式可化為λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
4．如圖，曲線L由曲線C1：＋＝1(a>b>0，y≤0)和曲線C2：－＝1(y>0)組成，其中F1，F(xiàn)2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，F(xiàn)3，F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)．
(1)若F2(2，0)，F(xiàn)3(－6，0)，求曲線L的方程；
(2)如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上；
(3)對(duì)于(1)中的曲線L，若直線l1過點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D，求△CDF1的面積的最大值．
【解析】(1)由F2(2，0)、F3(－6，0)，得解之得
∴曲線L的方程為
(2
34、)∵直線l平行于曲線C2的漸近線，∴kl＝，
令l的方程為y＝(x－m)，
則由得2x2－2mx＋(m2－a2)＝0.
由得a≤m0)．則由
得(4t2＋5)y2＋48ty＋64＝0.
由Δ＝(48t)2－4·64·(4t2＋5)>0，得t2>1.
令C(x3，y3)，D(x4，y4)，則
于是|y3－y4|＝＝16·，
于是S△CDF1＝·|F1F4|·|y3－y4|＝·8·16·＝64·.
令p＝，則S△CDF1＝64·＝64·.
∵p>0，∴S△CDF1≤64·＝.
當(dāng)且僅當(dāng)4p＝，即p＝，即t＝時(shí)，
(S△CDF1)max＝.
備課札記
22
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第67講 雙曲線練習(xí) 理（含解析）新人教A版
