2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題15 不等式選講 理（含解析）

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1、專題15不等式選講 1．【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明： （1）； （2）． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）因?yàn)?，又，故? ． 所以． （2）因?yàn)闉檎龜?shù)且，故有 =24． 所以． 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需注意取等條件能否成立． 2．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知 （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若時(shí)，，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，． 當(dāng)

2、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以，不等式的解集為． （2）因?yàn)?，所以? 當(dāng)，時(shí)，． 所以，的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型． 3．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)，且． （1）求的最小值； （2）若成立，證明：或． 【答案】（1）；（2）見詳解． 【解析】（1）由于 ， 故由已知得， 當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時(shí)等號(hào)成立． 所以的最小值為． （2）由于 ， 故由已知， 當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立． 因此的最小值為． 由題設(shè)知，解得或． 【名師點(diǎn)睛】?jī)蓚€(gè)問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型．

3、 4．【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】設(shè)，解不等式． 【答案】． 【解析】當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為，解得x<； 當(dāng)0≤x≤時(shí)，原不等式可化為x+1–2x>2，即x<–1，無解； 當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為x+2x–1>2，解得x>1． 綜上，原不等式的解集為． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和推理論證能力． 5．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)． （1）解不等式； （2）若對(duì)于任意，都存在，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）不等式等價(jià)于或或 解得或． （2）對(duì)任意，都存在，使得成

4、立，即的值域包含的值域． ，由圖可得時(shí)，，所以的值域?yàn)椋? ，當(dāng)且僅當(dāng)與異號(hào)時(shí)取等號(hào)， 所以的值域?yàn)椋? 由題，所以，解得． 【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)和用絕對(duì)值不等式求絕對(duì)值函數(shù)中參數(shù)的范圍，是常見考題． 6．【山東省鄆城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，不等式的解集為． （1）求實(shí)數(shù)a的值； （2）設(shè)，若存在，使成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】（1）由得－4≤≤4，即－2≤≤6， 當(dāng)>0時(shí)，，所以，解得＝1； 當(dāng)<0時(shí)，，所以，無解． 所以實(shí)數(shù)的值為1． （2）由已知＝|x＋1|＋|x－2|＝， 不等式g（x）－

5、tx≤2轉(zhuǎn)化成g（x）≤tx＋2， 由題意知函數(shù)的圖象與直線y＝tx＋2相交，作出對(duì)應(yīng)圖象， 由圖得，當(dāng)t<0時(shí)，t≤kAM；當(dāng)t>0時(shí)，t≥kBM， 又因?yàn)閗AM＝－1，， 所以t≤－1或， 即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法及分類思想、方程思想，還考查了思想結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化能力，考查了作圖能力及計(jì)算能力，屬于中檔題． 7．【安徽省合肥市2019屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)． （1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）設(shè)，若的最小值為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），即 或， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

6、（2）∵，∴，∴， 易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ∴． ∴，解得． 【點(diǎn)睛】本道題考查了含絕對(duì)值不等式的解法，考查了結(jié)合單調(diào)性計(jì)算函數(shù)最值，關(guān)鍵得到函數(shù)解析式，難度中等． 8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018屆高三第六次質(zhì)量考評(píng)理科數(shù)學(xué)】已知函數(shù)． （1）若的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值； （2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）或4．（2）． 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得或4． （2）當(dāng)時(shí)，即， 當(dāng)時(shí)，，即， 因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以且? 即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法及不等式的性質(zhì)

7、，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 9．【河南省頂級(jí)名校2019屆高三質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)． （1）解不等式； （2）若，對(duì)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）不等式等價(jià)于或或， 解得或或， 所以不等式的解集為． （2）由知，當(dāng)時(shí)，， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以，解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】本題考查方程有解問題，考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 10．【吉林省吉大附中2018屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷】已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若關(guān)于x的不等式的解集為，求證：． 【答案】（1）或（2）見

8、解析 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為， 當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得， 當(dāng)時(shí)，原等式可化為，解得，不滿足，舍去； 當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得； 不等式的解集為或． （2）即，解得， 而解集是，所以， 解得，從而． 于是只需證明， 即證， 因?yàn)? 所以，證畢． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法和證明，主要注意先確定參數(shù)的值，進(jìn)而對(duì)定義域進(jìn)行分類討論，確定解所在的區(qū)間，屬于中檔題． 11．【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）當(dāng)a=1

9、時(shí)，， 可得的解集為； （2）當(dāng)時(shí)， ， 因?yàn)椋? 所以． 所以，所以． 所以a的取值范圍是[–3，–1]． 【點(diǎn)睛】含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用． 12．【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知不等式，得， 當(dāng)時(shí)，絕對(duì)值不等式

10、可化為，解得，所以； 當(dāng)時(shí)，絕對(duì)值不等式可化為，解得，所以； 當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)無解． 綜上可得所求不等式的解集為． （2）要使函數(shù)的定義域?yàn)椋? 只需的最小值大于0即可． 又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 所以只需，即． 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的常見解法： ①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； ②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； ③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想． 13．【甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)】已知函數(shù)． （1）解不等式； （2）記函數(shù)的最小值為，若均為正實(shí)

11、數(shù)，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意，， 所以等價(jià)于或或． 解得或，所以不等式的解集為； （2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值， 所以，即， 由柯西不等式得， 整理得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立． 所以的最小值為． 【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及柯西不等式的應(yīng)用，熟記不等式解法以及柯西不等式即可，屬于?？碱}型． 14．【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)】已知設(shè)函數(shù)． （1）若，求不等式的解集； （2）若函數(shù)的最小值為，證明：）． 【答案】（1）；（2）詳見解析． 【解析】（1），不等式，即， 當(dāng)

12、時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， ∴解集為； （2）， ∵，∴， ∴ ． 【點(diǎn)睛】考查了含絕對(duì)值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的證明，難度中等偏難． 15．【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，且． （1）若，求的最小值； （2）若，求證：． 【答案】（1）；（2）見解析 【解析】（1）由柯西不等式得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以， 即的最小值為； （2）因?yàn)椋? 所以 ， 故結(jié)論成立． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明的問題，屬于中等題． 16．【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019

13、屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若不等式的解集為，求的值． 【答案】（1）不等式的解集為；（2） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可化為， 由此可得或， 故不等式的解集為； （2）法一：（從去絕對(duì)值的角度考慮） 由，得， 此不等式化等價(jià)于或， 解得或， 因?yàn)?，所以不等式組的解集為， 由題設(shè)可得，故． 法二：（從等價(jià)轉(zhuǎn)化角度考慮） 由，得，此不等式化等價(jià)于， 即為不等式組，解得， 因?yàn)?，所以不等式組的解集為， 由題設(shè)可得，故． 法三：（從不等式與方程的關(guān)系角度突破） 因?yàn)槭遣坏仁降慕饧允欠匠痰母?

14、 把代入得，因?yàn)?，所以? 【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式，不等式問題中求參數(shù)范圍的問題，難度較?。? 17．【廣東省揭陽市2019屆高三高考二模數(shù)學(xué)】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1． （1）解關(guān)于x的不等式； （2）證明：． 【答案】（1）．（2）見解析． 【解析】（1）∵，且，， ∴， ， 解得，所以不等式的解集為． （2）解法1：∵，且， ∴ ． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 解法2：∵，且， ∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 【點(diǎn)睛】主要考查了絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明、以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)于絕對(duì)值不等式的求解，主要運(yùn)用零點(diǎn)分段法，也可以運(yùn)用圖像法．而不等式的證明，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)以及基本不等式． 14